数学建模建立函数模型解决实际问题

1、数学建模建立函数模型解决实际问题课标要求素养要求收集、阅读一些现实生活、生产实际或通过生活中具体的数学模型，进行提出者经济领域中的数学模型，体会人们是问题、分析数据、建立模型、检验模型如何借助函数刻画实际问题，感悟数学来发展数据分析、数学抽象及数学建模模型中参数的现实意义.素养.课前预习-X-II知识探究Ell训llllllllllllllll教材知识探究卜肆引入数学建模是在20世纪60和70年代进入一些西方国家大学的我国的几所大学也在80年代初将数学建模引入课堂经过30多年的发展现在绝大多数本科院校和许多专科学校都开设了各种形式的数学建模课程和讲座，为培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的

2、能力开辟了一条有效的途径大学生数学建模竞赛最早是1985年在美国出现的，1989年在几位从事数学建模教育的教师的组织和推动下，我国几所大学的学生开始参加美国的竞赛，而且积极性越来越高，近几年参赛校数、队数占到相当大的比例可以说数学建模竞赛是在美国诞生，在中国开花、结果的.问题你知道什么是数学建模吗？提示数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程主要过程包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，求解模型、检验结果、得出结论，最终解决实际问题.上新知梳理1用函数构建数学模型解决实际问题的步骤观察实际情景：对实际问题中的变

3、化过程进行分析；发现和提出问题：析出常量、变量及其相互关系；收集数据、分析数据：明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型；选择函数模型：根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；求解函数模型：通过运算推理，求解函数模型；检验模型：利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的.2数学建模活动的要求(1)组建团队；(2)开展研究报告；(3)撰写研究报告；(4)交流展示.教材拓展补遗微判断1在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据.W)2在用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出

4、其中的常量、变量及其相互关系(/)3求出函数模型后，还需要利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，从而达到解决问题的目的(/)微思考数学建模活动是一个科学的研究过程，科学研究通常要经历哪几个步骤？提示科学研究通常需要经历四个基本步骤选题;开题;做题；结题.课堂互动hiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiniiiiiiiiffia!剖析lii冊删删NMMBNMIINI题型一数学建模主要步骤的探究【例1】提出问题在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指挥多少种情况的汽车运行线路？建立模型此问题需要分是否可以原路调头的情况来讨论.（1）每条线路都有往返双

5、向线；设4条路分别为A，B，C，D；以A为起始，如允许原路调头，则有A-A，A-B，A-C，A-D，如不允许原路调头，则有A-B，A-C，A-D.求解模型第一步：始线路条数；第二步：终线路条数.如允许原路调头：则N二4X4二16（种）可能；如不允许原路调头：则N二4X3二12（种）可能.检验结果如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况，如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况.【例2】提出问题两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3小时，点完细蜡烛要1小时现同时点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍.问两根蜡烛燃烧了多长时间？建立模

6、型设两根蜡烛的长度为l厘米，且、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y（厘米/小时），则有y=l=3x；点燃两根蜡烛一段时间后同时熄灭，剩余粗、细蜡烛的长度分别为R、r，则R二3r.l-rl-3r求解模型根据条件有：丁=-（燃烧时间相同）yx化简为l=4r，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的也即燃烧了,所以燃烧的时间为fl|1y1|（小时）.检验结果为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.【例3】提出问题李明玩套圈游戏，游戏规则为：套中小鸡一次得9分，套中小猴一次得5分，套中小狗一次得2分，李明共套10次，且每个小玩具都至少被套中一次.已知李明共得61分，求其中小鸡被套中过多少次.建立模型设每次

7、不可能同时套中2个及2个以上的玩具；为了保证“每个小玩具都至少被套中一次”，可设小鸡、小猴、小狗分别被套中x,y,z次,x,y,zN+，然后解不定方程组.求解模型由条件得不定方程组x+y+z=10,9x+5y+2z=61,-2X消去z得7x+3y二41.厂x=5,正整数解为x=2,x二5,（不合方程）,y=2,y二9y二2、z=3,检验结果验证得小鸡、小猴、小狗分别被套中5、2、3次，总共得分61分.【例4】提出问题甲、乙两人去沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可带一个人4天的食物和水.如果允许将部分食物存放于途中，问其中1人最远可深入沙漠多少千米？（要求最后两人返回出发点

8、）建立模型要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？经过商议让甲走得更远（最远走4X20=80（千米），但回程就没有食物和水了）,需要乙在适当的地点留下足够的食物和水.第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2天走到30千米处留下1份食物和水后马上往回返，到20千米处再吃1份，第3天走20千米回出发点.第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千米处吃1份，第4天走到65千米处然后往返，到50千米处吃1份（到此为止甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处

9、食物和水是乙留下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点.求解模型所谓“错位推进法”，对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留下食物和水”，根据分析与假设推知结论：其中的一位沙漠探险家最多可深入沙漠65千米.检验结果从“第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以走，但已经回出发点了，考虑一下甲还可以再往前推进5千米吗？题型二数学建模活动主要过程的探究【例5】关于外卖垃圾问题的分析与解决选题餐饮业作为我国第三产业中一个传统服务性行业，经历了改革开放进步、数量型扩张、规模连锁发展和品牌提升战略4个阶段，取得突飞猛进的发展.为了满足当今社会快速的生活节奏

10、，“外卖”这一餐饮方式便应运而生.“外卖”这个词是舶来品，原意是离店销售.目前，无论是地处繁华地带的市中心，还是相对冷清的城郊地区，原先并不涉足外卖的餐馆都经营了外卖快餐.外卖有好有坏，它既方便了我们的生活，但同时也制造了大量的垃圾，这些垃圾造成了生态环境的破坏，海洋动物的死亡，也已经威胁到了我们的生活.本文就此问题，展开对外卖垃圾该如何处理的分析与讨论.开题从具体的处理方式考虑.通过资料我们了解到填埋是我国最重要的垃圾处理方式.而填埋对环境的影响则大多体现在填埋场对周围土地的污染.因此，我们想要在不减少填埋场地所能填埋垃圾的数量的情况下，减少对土地的污染.而填埋数量与填埋场的体积有关.目前，

11、填埋场的深度基本已达最大.因此我们通过改变填埋场的形状，寻找更好的可建为填埋场的图形.在此过程中，我们猜测填埋场对周围土地的污染是以c为半径的.并假设填埋场形状可以为任意形状.在尝试过长方形、正方形、圆形、正三角形后，我们通过公式及定量分析得出圆形为更好的一种选择.因此，在一定的条件下，填埋场建为圆形可以更有效的减少对周围土地的污染.一、固体废物数据的搜集与处理我们通过技术手段（代码见附件），在知名外卖网站“饿了么”上面定点抓取了一个地区方圆7500m左右所有已在该网站上注册的店铺的数据约32109条，合计月销量267305份，并写了一个简单的基于字典的分类算法，分类了135655份月销量，并

12、按照一个理想数值为每一种商品产生的垃圾进行估算.分类结果如下：外卖网站数据分类结果商品类型饭类面类汉堡烤肉饺子菜类饮料汤类数量3425812409641611420299631841105887647占比29.23%10.59%5.47%9.74%2.56%27.16%9.03%6.52%根据我们的理想数值，其产生的垃圾如下:网站ele.me理论单月垃圾产生量垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量113496195355111254126872010占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根据网络搜集的市场份额与分类算法的处理偏差可以合理计算出附近外卖垃圾的月总量.

13、线上外卖网站理论单月垃圾产生量垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸数量3026565209472966773381192027占比23.00%39.60%22.55%0.26%14.60%根据以上的数据我们可以清楚地看到：饭类、面类、菜类占比较高，根据本小组的实践，这类外卖都会产生塑料碗、塑料袋、一次性筷子，而这些塑料是最难处理的，当塑料上沾上油的时候，清洗也是件困难的事情.在这些外卖产生的垃圾中，塑料袋最多，一次性筷子其次，塑料碗也较多.二、固体废弃物处理情况由问题一我们推出的一个区域的废弃物再结合网络上的数据我们可以合理推理：垃圾回收方式占比质量(kg)未处理(kg)填埋(kg)焚烧(

14、kg)回收(kg)12077.2085326.08462959988.45529940.0899096822.5786709根据我们在网络上了解的知识：大部分的塑料都是以填埋的方式处理；筷子、包装纸等可回收的一般是能回收则回收，但是难以回收的会放弃;塑料制品一般是填埋.根据以上的信息并结合我们手上的数据，可以猜想：预测垃圾单类回收方法占比垃圾种类一次性筷子塑料袋塑料碗锡箔包装纸质量(kg)1513.281041.898900.3145.64576.08未处理(kg)75.66104.19445.029.5923.04填埋(kg)75.66771.007743.274.1134.56焚烧(kg)

15、15.13125.03356.010.4651.85回收(kg)1346.8241.68356.0131.49466.63做题改变填埋场形状以降低污染问题分析填埋作为重要的处理方式，可以优化填埋所进行的具体措施来减少污染.我们了解到，填埋的污染主要为土地污染，因此减少土地污染即可.我们通过查找资料得知，填埋对土地的污染大多是以填埋场地为中心，并往四周拓展一定区域，我们假定其是以均匀半径进行拓展因此可以尝试在同体积的情况下减小其污染的土地因为目前的填埋场深度基本已达最大深度，所以在此暂不考虑对深度的拓展假设垃圾填埋场为规则的立体图形因此要保证同体积的情况下，深度一样，则表面积一样所以我们的目的便

16、是使在相同的表面积下，什么图形所构成的表面会对土地污染数量最小.2模型建立我们通过网上的信息了解到，目前的填埋场形状大多为长方形如图：1壇埋场111(周围为污染区)设长为a，宽为b，对四周土地进行污染的半径为c总污染面积为S.那么S=ab+2ac+2bc+nc2=ab+2c(a+b)+nc2在表面积固定的情况下：ab为定值，c、n均为定值，因此使(a+b)最小即可.由均值不等式可得：a+b三2、.ab且当a=b时取等号.因此若使S最小，即a=b，因此我们得出结论：垃圾填埋场呈正方形比呈长方形要好.之后，我们再比较其他形状的垃圾填埋场和传统垃圾填埋场谁更好.为了方便计算和更好的解决问题，以下模型

17、均与正方形所造成的土地污染进行对比，若更好，则模型优化成立.圆形在这里为方便，把正方形的图与圆形的图放在一起做对比.i塡埋场设正方形边长为d对四周土地进行污染的半径为c,圆的半径为r.d2=nr2,正方形总污染为S=nc2+4dc+d2,正方形圆形总污染为S=T+cn=色+2+c2n=d2+2dcpn+c2n,圆形n丿Inn丿作差得SS=c2n+2dc、.：n+d2nc24dcd圆形正方形=2dc：n4dc=2dc(*n2),又因为；兀一2v0,因此SvS，所以圆形更好.圆形正方形因此在之后的比较中用圆形即可.(2)正三角形因为我们要使圆形与三角形的表面积相同，则e2=nr2,r=因此通过计算

18、可得e2+nc2+3ce,S三角形污染面积+ec/j3n+c2n,33-S圆形污染面积S三角形污染面积=24e2+e&羽兀+c2n4e2nc23ce=ec&y/3n3)vO,因此SS，所以圆形更好.圆形污染面积三角形污染面积综上所述，目前的填埋场形状为长方形，而我们通过计算得出，圆形实则为更好的一种方案.因此我们可以通过把长方形的填埋场改建为圆形的填埋场，这样可以有效的减少土地污染体积.模型优化成立.结题1.模型优点：该模型可以有效的减少土地污染体积；该模型不需要耗费大量的人力物力.模型缺点：该模型没有考虑渗滤液处理区等方面的限制条件；该模型只能用于填埋场形状为圆形的填埋场.我们了解到填埋是我

19、国目前最重要的垃圾处理方式.而填埋造成的环境污染主要体现在对周围土地的污染.因此我们想在不影响填埋数量的情况下，通过改变填埋场形状来减少对土地的污染.在此模型中，我们采用了枚举法，通过比较不同的形状带来的污染，最后得出结论.在一定的条件下，圆形较好.最后，我们通过调查问卷和数据抓取的方式，得到订外卖的主体为服务业的年轻人.大量的外卖垃圾正威胁着我们的环境，但并非无解决方法.但是，最重要的还是我们自身需建立起环境保护意识，自觉保护环境，维护生态平衡.只有这样，我们才能继续绿色、健康的生存和发展下去.【例6】牙膏价格与重量关系的数学建模选题在超市购物时，我们注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如洁

20、银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元.我们可以通过单位商品价格关于商品重量的函数来分析大包装便宜还是小包装便宜.开题1.分析问题商品价格是由成本决定的，成本可分为生产成本、包装成本和其他成本.生产成本与重量W成正比，包装成本与表面积成正比，其他成本与W无关.单位重量商品总价格价格=总重量.牙膏可以近似为圆柱体来思考.模型假设设如下变量：商品价格为C,商品重量为W,单位重量价格为c,商品包装面积为S,生产成本为C1，包装成本为C2，其它成本为C3.研究的大体思路、方法与步骤分析商品价格C与商品重量W的关系.价格由生产成本、包装和其它成本等决定，这些成本中有的与重量W成正比，

21、有的与表面积成正比，还有与W无关的因素.求单位重量价格c与W的关系，可以用简图分析最后结合实验结论，对商家或顾客提出合理的建议.研究此问题的意义实际生活中，经常会遇到大、小包装的问题，如洗衣粉、洗发水、纯净水等.在选择购买时，可依据下面的数学模型做选择.做题1.模型建立与求解商品价格由成本决定，商品成本=生产成本+包装成本+其他成本，故c=q+C2+C3，生产成本与重量W成正比，设C1=k1W(k1为大于0的常数)，包装成本与表面积S成正比，商品包装包括牙膏包装和牙膏盒包装，牙膏包装与牙膏表面积有关，牙膏盒为长方体，设牙膏盒包装面积s2,牙膏可以近似为无底的圆柱体,设牙膏包装面积s1即圆柱体侧

22、面积.设此圆柱体的半径为R,高为L,S=2nRL,由题意，我们需要将包装面积与商品重量联系在一起，故我们将牙膏体积V近似为圆柱体积的一半，则V=nR2L，W设牙膏密度为p,则#=万，一般地，为了美观，牙膏的半径与长度有一定比例关系，在这里：设R=k2L(k2为大于0的常数)，根据，可以得出：23,由得出s1=2n我们可以把牙膏盒看成一个长为L,宽高都为2R的长方体，故牙膏盒包装面积再根据求得S2=8l+*2k23+48(1+pn(2k,则包装成本C2=k3kk3、k4为大于0的常数，是包装价格与包装面积的比值.其他成本C3为固定常数，与W、S无关.2pnS2=8R2+8RL,2+C3.W所以C

23、1c=W=ki+k5XT+貞1+十即C=C1+C2+C3=k1W+kl由于k1，k2,k3,k4,p都是大于零的常数，所以商品价格关于商品重量的函数是单调增函数，所以商品重量增大，商品价格增大.C对于单位重量价格c与商品重量W的关系，我们已知c=由于k1，k2,k3,k4,p都是大于零的常数，我们发现包装成本与商品重量成正比,2可以简化为C2=k5XW3,2模型解释c-W的简图如图所示:由函数解析式及图象可知单位商品价格关于商品重量的函数是一个减函数，即随着W的增加，c的减少幅度减少，当W很大时，则c不再减少，所以说，不要盲目追求大包装商品.结题对于商家，一般来说，小包装商品的利润较高，但成本也相应的增多，所以应该包装大小适宜，在适当情况下，可以尽量生产小包装的商品；对于顾客，在用得完的情况下，尽量买较大的包装，可以节省包装的费用，但是也不能盲目地认为越大包装的商品就越便宜，可能会有其他消耗，如用不完的情况.建模选题川lllllilll数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、