数学建模习题-影-院-座-位-设-计

1、数学建模习题影院座位设计摘要本文研究了电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角0这一前提条件，建立了满意程度最大的相关模型，并进行求解。问题一，首先建立在满足仰角条件情况下的优化模型，接着通过主观臆断分别对视角和仰角赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10。时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用Matlab软件解得当地板线的倾角为15.0543。时，所有观众的平均满意程度最大。问题三，在问题二的基础上

2、，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以2.5。变化，增加到20。后保持不变，第一排抬高1.2米。本文所建立的模型通俗易懂，求解简单明了，对模型进行验证发现与现实生活中的实际情况十分吻合，因此具有很强的实用性和推广意义。关键词：离散加权平均满意度优化模型 /15一、问题重述影院座位的满意程度主要取决于视角和仰角P,视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，一般要求仰角P不超过300；记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H，影院

3、的地板线通常与水平线有一个倾角9，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为d,D，观众的平均座高为c(指眼睛到地面的距离)，已知参数h=1.8.H=5，d=4.5,D=19，c=1.1(单位m)。求解以下问题：地板线的倾角9=100时，求最佳座位的所在位置。地板线的倾角9一般超过200，求使所有观众的平均满意程度最大时的地板线倾角。地板线设计成什么形状，可以进一步提高观众的满意程度。二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角a和仰角卩，a越大越好，而卩越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满

4、意程度达到最大。本文通过对水平视角a和仰角卩取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型

5、假设忽略因视力或其他方面因素影响观众的满意度；观众对座位的仰角的满意程度呈线性；观众对座位的水平视角的满意程度呈线性；最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；5相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m；对于同一排座位，观众的满意程度相同；所有观众的座位等高为平均座高；影院的的地板成阶梯状。四、符号说明d水平视角卩仰角0地板线与水平线的倾角d第一排离屏幕水平距离D最后一排离屏幕水平距离h屏幕的高度H屏幕上边缘离地面的高度5视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离S观众对水平视角为的满意程度aSB观众对仰角为卩的满意程度s平均满意程度c,c视角a、仰角P在综合满意度S中的权重a卩il相邻两排座位间沿地板线方向

6、的间距五、模型的建立与求解问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角a和仰角P，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过300。5.1.1模型I的建立：仰角在满足条件的范围内，观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图1所示：其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为(x,xtan0)，屏幕上下点的坐标分别为A(-d,H-c)，B(-d,H-h-c

7、),AP的斜率记为k,BP的斜率记为k。APBP由斜率公式得：xtan9-H+cxtan9-H+h+c(1.1)k=-tanp=,k=-tan(p-a)=APx-(-d)BPx-(-d)贝V直线AP和BP的斜率与夹角a满足如下关系：(1.2)k一kh(x+d)tana二一bpa=1+kk(x+d)2+(xtan9H+c)(xtan9H+h+c)BPAP仰角满足条件：Pg0。,30。所以：0tanPWv3/3n0 xtan9一H+cW3x(-d)(1.3)Hc-133dHcx33+tan9tan9由公式(1.1)(1.2)得到模型为：h(x+d)maxa=arctan(x+d)2+(xtan9H

8、+c)(xtan9H+h+c)0 xD-ds.Hcx33dHc:x勺33+tan9tan95.1.2模型I的求解当9=10。时，用Matlab软件运算求解(程序见附录1),得最大视角为a=13.9522。，仰角为P=30。，x=1.7274米。即P点的坐标为(1.7274,0.3046)为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5+1.7274=6.2274米。5.1.3模型II的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l(查阅相关资料间距一般取0.8米)，则在水平方向的间距为lcos9，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。对模型I进行修正，将座位连

9、续情况进行离散化可以得到：xtan9H+c(k1)lcos9tan9H+ctanP=-=-(2.1)x(d)(k1)lcos9(d)tana=h(k1)lcos9+d)(k1)lcos9+d)2+(k1)lcos9tan9H+c)(k1)lcos9tan9H+h+c)(2.2)其中，k=1,2,3,n,n为地板线上的座位的总排数，且n=上丄+1=19。lcos9一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念。本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念。由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角a、仰角p的满意度函数1如下：(2.3)

10、(2.4)tana-tanaTOC o 1-5 h zSkminaktana-tana HYPERLINK l bookmark18 o Current Document maxmintanp-tanp HYPERLINK l bookmark24 o Current Document S1kminpktanp-tanp HYPERLINK l bookmark26 o Current Document maxmin式中a,p为第k排座位上观众视角和仰角，a,P表示在9给定的情况下最优kkmaxmax满意度，a,p表示在9给定的情况下最差满意度。minmin视角a、仰角p在综合满意度S中的权重

11、分别为c,c，建立第k排座位综合满意kapcS+cSS=aakPPkkc+cap根据地板线倾角9-10。，度函数如下：(2.5)通过计算可以得出5.4210。a15.89754.0451op40.9149。，主观给定权重C0.6,C0.4，根据模型的建立，可以得出:apTOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark34 o Current Document cS+cS0.6S+0.4Sc HYPERLINK l bookmark36 o Current Document Saak且阻必阻3.1596tana0.5025tanp+0.1357(2.6) HYPERLINK

12、l bookmark38 o Current Document kc+c0.6+0.4kkap将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为:maxSk3.1596*h(k1)lcos9+d)(k1)lcos9+d)2+(k1)lcos9tan9H+c)(k1)lcos9tan9H+h+c)+。5025*9黑存+0.13570 xDdHc-爲3dS.t.HccX-,k1,2,3,1933+tan9tan9x(k1)lcos95.1.4模型II的求解用Matlab软件运算求解(程序见附录2)可得:x2.3635米，k4排，最大满意度为50.6176，最大视角为a13.1282。，仰

13、角为P26.9084。，最佳位置离屏幕的水平4距离为4.5+2.36356.8635米。问题二5.2.1模型皿的建立要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求$的最大值。由模型II可知，第k排观众的满意度为s，则观众平均满意程度函数为：S兰Skfn，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角P和视角a所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1)仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2)所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。由式(1.1)可知，地板线倾角9的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即x取

14、某一定值)，在0逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角0越大，仰角不超过条件的座位所占的比例越大。化变角0/邙随0的变化曲线0随0的变化曲线瞩变化%瞩变化图2视角和仰角卩随0变化的变化曲线第一排观众的仰角为0二40.9149。，不满足仰角的条件，由模型II可知第k排座位所对应的仰角的正切值：(k-1)lcos0tan0-H+c7tan卩=,k=1,2,3,nk(k-1)lcos0-(-d)其中n为地板线上的座位的总排数：n=上丄+1，随着地板线倾角0的变化，相lcos0邻两排座位间的间距/不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地

15、板线倾角0不超过20。，所以19n20，并限制最后一排观众的视咼不要超过屏幕的上边缘,即015.0543。由模型I可求出第k排座位所对应的水平视角的正切值为：h(k-1)lcos0+d)tana二一(k-1)lcos0+d)2+(k-1)lcos0tan0-H+c)(k-1)lcos0tan0-H+h+c)5.2.2模型皿的求解让地板线倾角0在0。,20。内逐一取值,步长为0.01。；让x在0,14.5内逐一取值，步长为0.01。对一个取定的0，判断x所在的位置仰角是否超过30。，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角0和视角a的取值；否则，只需要考虑视角a的取值，把所有座位的综合满意度

16、相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的咼度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时0的取值。当取地板线倾角为0变化时，通过计算可以得出5.1143。a15.8975。，0。040.9149。cS+cS0.6S+0.4S3.1)由模型II的(2.5)式得：S=亠卫E阻=如险=kc+c0.6+0.4a卩所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为：hSkmaxS二n19n200。015.0543。，甘亠怖曲叫st,k=1,2,n其中n取整数0 x20。时，令(i-1)A0=20。当0=20。时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由

17、于A0=2.5。，则地板线倾角增加到第8排到达20。，然后保持不变。对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用matlab数学软件求得：满意度函数的最大值Smax=O.66430.6572。可以通过利用Matlab软件来描点，如图3所示：图3从上图可以看出，报告厅座位的前8排呈折线状，以A0=2.5。递增,当倾角增加到0=20。时保持不变，且第一排应抬高1.2米。六、模型的评价与推广模型的评价模型的优点:模型抓住影响观众满意程度的主要因素(仰角和视角),合理构造满意度函数,过程清晰明了,结果科学合理。模型具有较好的通用性,实用性强,对现实有很强的指导意义。模型的不足以及需要改进的地方:模型主观假

18、设同一排座位观众的满意程度相同,实际情况并非如此,这就使得我们的模型对解决实际问题时有一定的局限性。模型建立的过程中,以观众眼睛所在的点为坐高点,没有考虑前排观众额部对后排观众的遮挡,需要进一步的考虑在内。模型的推广本文中所建立模型的方法和思想对其他类似的问题也很适用,所建立的模型可用于大型场所的座位的设计与安排，以及彩民对中奖率的满意程度等问题上。同时对于已知剖面来分析物体的形状这一类型问题的处理有很好的参考价值.例如:运用该模型去解决会议厅、报告厅的布局,灯塔高度的设计等相关的问题。因此具有很强的实用性和推广性。七、参考文献金炜东，线性型满意度及其组合运算，铁道学报，第19卷第5期：50页

19、到54页，1997年10月李祖苑，影院座位设计，,中国科技论文在线，（访问时间：2009年8月8日）刘学智，影院座位的安排，,中国科技论文在线，（访问时间：2009年8月9日）龚坚，计算机视觉，北京：科学技术出版社，1998年，37页到76页,赛才网，（访问时间：2009年8月7日）Jrs剂”iclearclcHnH1hnL8-I19-d45-chl1-HosPT314159207S-forQnoo1-20forHrrfloor(145、cos(Q、180*pi)+1)XH(11)*COS(Q、180*pi)-THr+an(Q、180*pi)-A=(d+x)(d+x)2+(干CT*x)*(Hh

20、cT*x)-iffAendendendforQnoo1-20forHrrfloor(145、cos(Q、180*pi)+1)XH(11)*COS(Q、180*pi)-Tnr+an(Q、180*pi)-A=(d+x)(d+x)2+(干CT*x)*(干hiffNAfprinr+f(ois-%dn厂e-fprinr+f(/isdF1)-endendendf弄划clearclcHnH1hnL8-I19-d45-10/15c=1.1;l=0.8;pi=3.1415926;t=10;forQ=0:0.1:20forl=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/1

21、80*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);iftBt=B;endendendforQ=0:0.1:20forl=1:floor(14.5/cos(Q/180*pi)+1)x=(l-1)*cos(Q/180*pi);T=tan(Q/180*pi);B=(H-c-T*x)/(d+x);ift=Bfprintf(Qis:%dn,Q);fprintf(kis:%dn,l);endendendt附录三clear;%clc;H=5;h=1.8;D=19;d=4.5;c=1.1;Q=0.1763;%tan(10/180*pi);s=0;forx=2.36353.151

22、43.93924.72715.51496.30287.09067.87858.66639.454210.242011.029811.817712.605513.393414.1812t=3.1596*(h*(x+d)/(x+d厂2+(x*Q-H+c)*(x*Q-H+h+c)-0.5025*(-(x*Q-H+c)/(x+d)+0.1357;ifs2+(X*QH+C)*(x*QH+h+c)0-5025*(X*QH+C)一(x+d)To-1357-ifSNC+fprinr+f(.nXisCT.X).fprinr+fnkis-%CT-X、p8*cos(10、180*pi)+1)-fpzrinr+f(nais-%CT-(ar+an(h*(x+d)一(x+d)2+(X*QH+C)*(x*QH+h+c)、pi*180)-fprinr+fnbis-%dn厂(ar+an(X*QH+C)、(x+d)、pi*180)-endendsisclear-clc-HnH1hnL8-119一d45-chl1-HosPT314159200-for罕一-20forQnoo01-20ZHh*(kl)*l*cos(Q