对一道求三角形内角平分线夹角题的探究

1、 对一道求三角形内角平分线夹角题的探究 巨明杰+李红红一、问题的提出义务教育数学课程标准明确提出了学生要理解三角形角平分线的含义，探索并证明三角形、多边形的内角和。笔者在现行华东师大版七年级数学下册第九章“三角形”的教学中，发现教材、教辅无不涉及“已知三角形的一个内角，求另两个内角角平分线夹角”的问题。如图1所示，在ABC中，A=，点O是ABC与ACB的平分线BF和CE的交点，求BOC.解BF和CE分别是ABC与ACB的平分线，OBC=ABC，OCB=ACB.OBC+OCB=（ABC+ACB）=（180-）=90-.BOC=180-（OBC+OCB）=180-（90-）=90+.该题是在已知三

2、角形一个内角的情况下，求出了另两个内角平分线的夹角。我们逐步引导学生将求两内角平分线的夹角改为一内一外角或两外角角平分线的夹角；或将三角形改为多边形的情况作了深入探究，发现了其中的规律，激发了学生的学习兴趣，在教学中收到了较好的效果。现介绍如下，仅供同仁们参考。二、问题的探究1.将内角平分线改为外角平分线情形一：求三角形的一条内角平分线与一条外角平分线的夹角如图2，在ABC中，A=，点O是ABC与外角ACD的平分线BO和CO的交点，求BOC.解BO和CO分别是ABC与ACD的平分线，OBC=ABC，OCD=ACD.2OCD=2OBC+，2（OCD-OBC）=.又BOC=OCD-OBC，即2BO

3、C=.BOC=.情形二：求三角形的两条外角平分线的夹角如图3，在ABC中，A=，点O是三角形两外角DBC与ECB的平分线BO和CO的交点，求BOC.解BO和CO分别是DBC与ECB的平分线，OBC=DBC，OCB=ECB2（OBC+OCB）=360-（180-），又BOC=180-（OBC+OCB），2（180-BOC）=180+，2BOC=180-.BOC=90-.2.将三角形改为多边形（1）四边形的情形情形一：如图4，在四边形ABCD中，点O是两内角ABC与DCB的平分线BO和CO的交点，证明：BOC=（A+D）.证明BO和CO分别是ABC与DCB的角平分线，OBC=ABC，OCB=DCB

4、.2（OBC+OCB）=360-（A+D）.2（180-BOC）=360-（A+D），360-2BOC=360-（A+D），BOC=（A+D）情形二：如图5，在四边形ABCD中，点O是内角ABC与外角DCE平分线BO和CO的交点，证明：BOC=（A+D）-90.证明BO和CO分别是ABC与DCE的角平分线，OBC=ABC，OCE=DCE.180-DCE+2OBC=360-（A+D）180-2（OCE-OBC）=360-（A+D），又OCE-OBC=BOC.180-2BOC=360-（A+D），即2BOC=（A+D）-180，BOC=（A+D）-90.情形三：如图6，在四边形ABCD中，点O是两

5、外角EBC与FCB平分线BO和CO的交点，证明：BOC=180-（A+D）.证明BO和CO分别是EBC与FCB的角平分线，180-2OBC+180-2OCB=360-（A+D），又OCB+OBC=180-BOC，即360-2（180-BOC）=360-（A+D），BOC=180-（A+D）.（2）五边形的情形情形一：如图7，在五边形ABCDE中，点O是两内角ABC与BCD平分线和BO和CO的交点，则BOC=（A+D+E）-90.情形二：如图8，在五边形ABCDE中，点O是内角ABC与外角DCF平分线和BO和CO的交点，则BOC=（A+D+E）-180.情形三：如图9，在五边形ABCDE中，点O是两外角FBC与GCB平分线BO和CO的交点，则BOC=270-（A+D+E）.此情形一、情形二、情形三类似四边形三种情形的证法，望读者自证。（3）n边形的情形通过上面的探究，我们发现多边形相邻的内、外角平分线夹角与其余角的和有一定的关系。即对于任意一个n（n3）边形A1，A2An，其：相邻两内角平分线的夹角A2OA3=（A1+A4+A5An）-（n-4）90；一内角与相邻一外角平分线的夹角A2OA3=（A1+A4+A5An）-（n-3）90；相邻两外角平分线的夹角A2OA3=（n-2）90-（A1+A4+A5An）.以上内容的探究过程主要运用角平分线的性质以及多边形内角和