2020-2021中考数学知识点过关培优 易错 难题训练∶圆与相似及答案

1、2020-2021中考数学知识点过关培优易错难题训练：圆与相似及答案一、相似在平面直角坐标系中，二次函数1的图象与轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C.求这个二次函数的解析式；点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点卩，使厶ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于轴，垂足为E.是否存在点Q,使以点B、Q、E为顶点的三角形与AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；【答案】(1)解：由抛物线|：-过点A(-3，0)，B(1，0)，P=9a3b2则-丁解得二次函数的关系解析式(2)

2、解：连接PO,作PM丄x轴于M,PN丄y轴于N.设点P坐标为(m,n),则PM二,AO=3.当，时，0C=2.24LX_冥八二=2.-1：-|=.X3X-丁*2)+；K2X(-m)=1V0,rffl.当此时.时，函数丄肚P、2n4J324r一丁二-X-.7有最大值.5.存在点.：,使厶ACP的面积最大.(3)解：存在点Q,坐标为:分BQE-AOC，EBQ-AOC，QEB-AOC三种情况讨论可得出【解析】【分析】(1)由题意知抛物线过点A(3,0),B(1,0),所以用待定系数法即可求解；(2)因为三角形ACP是任意三角形，所以可做辅助线，连接PO,作PM丄x轴于M,PN丄y轴于N.则三角形AC

3、P的面积=三角形APM的面积+矩形PMON的面积-三角形AOC的面积-三角形PCN的面积。于是可设点P的横坐标为m,则纵坐标可用含m的代数式表示出来，即M(m,-m+2),则三角形ACP的面积可用含m的代数式表示，整理可得是一个二次函数，利用二次函数的性质即可求解；(3)根据对应顶点的不同分三种情况(BQE-AOC,EBQ-AOC,QEB-AOC)讨论即可求解。如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩形，点A、C的坐标分别是A(0,2)和C(,0)，点D是对角线AC上一动点(不与A、C重合)，连结BD,作，交x轴于点E,以线段DE、DB为邻边作矩形BDEF.BAAPFDOECE（

4、1）填空：点B的坐标为;（2）是否存在这样的点D,使得DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD的长度；若不存在，请说明理由；DE（3）求证：；设AD=x,矩形BDEF的面积为y,求y关于x的函数关系式（可利用的结论），并求出y的最小值【答案】（1）八（2）解：存在，理由如下：OA=2,OC=2J，tanzACO=-=,ZACO=30,ZACB=60如图（1）中，当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，.zDCE=zEDC=30,.zDBC=zBCD=60,.DBC是等边三角形，.DC=BC=2，在RtAAOC中，TZACO=30，OA=2，.AC=2AO=4，.AD

5、=AC-CD=4-2=2，.当AD=2时，DEC是等腰三角形，如图（2）中，当E在0C的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CD=CE,ZDBC=ZDEC=ZCDE=15,.ZABD=ZADB=75,.AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或.（3）如图，过点D作MN丄AB于点M,交OC于点N。直线AC的解析式为y=-33x+2,设D（a，-33a+2），DN=-33a+2,BM=23-aTZBDE=90,ZBDM+ZNDE=90,ZBDM+ZDBM=90,ZDBM=ZEDN,TZBMD=ZDNE=90,BMDADNE,DEBD=DNBM=-33a+223-a=33.如图（2）中，作

6、DH丄AB于Ho在RtAADH中，TAD=x，ZDAH=ZACO=30,DH=12AD=12x，AH=AD2-DH2=32x，BH=23-32x，在RtABDH中，BD=BH2+DH2=12x2+23-32x2,DE=33BD=3312x2+23-32x2,矩形BDEF的面积为y=3312x2+23-32x22=33x2-6x+12,即y=33x2-23x+43,y=33x-32+3T330,x=3时，y有最小值3.【解析】【解答】（1）T四边形AOCB是矩形，BC=OA=2,OC=AB=，zBCO=ZBAO=90,【分析】（1）根据点A、C的坐标，分别求出BC、AB的长，即可求解。(2)根据

7、点A、C的坐标，求出ZACO,ZACB的度数，分两种情况讨论：如图(1)中，当E在线段CO上时，DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC；如图中，当E在OC的延长线上时，DCE是等腰三角形，只有CD=CE，ZDBC=ZDEC=ZCDE=15，分别求出AD的长，即可求解。如图，过点D作MN丄AB于点M,交OC于点N。利用待定系数法求出直线AC的解析式，设D(a，-a+2)，分别用含a的代数式表示出DN、BM的长，再证明BMDADNE，然后根据相似三角形的性质，得出对应边成比例，即可求解；如图(2)中，作DH丄AB于H。设AD=x，用含x的代数式分别表示出DH、BH的长，利用勾股定理求出B

8、D、DE的长再根据矩形的面积公式，列出y与x的函数关系式，求出顶点坐标，即可求解。3(1)【探索发现】如图1，ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O用S表示三角形的面积，有SAABD：S“cd=BD：CD,这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM丄AD，交AD延长线于点M,过点C作CN丄AD于点N,可得1(-A0BM):(-W*CN)S小“：S-，又可证BDMCDN,BM:CN=BD:CD,S“：Sf=BD：CD由此可得S_：S；S_：S“_=;右ABDACDBAOBCOCAOCBOD,E,F分别是BC,AC,AB的中点，则沐BFO:S“BC=(2)

9、【灵活运用】如图2,正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,CD上，连接AF,BE和CE,AF分别交BE,CE于点G,M.BC若AE=DF判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；若点E,F分别是边AD,CD的中点，且AB=4.则四边形EMFD的面积是多少？【拓展应用】如图3,正方形ABCD中，AB=4,对角线AC,BD相交于点O.点F是SEMDMEDMF边CD的中点.AF与BD相交于点P,BG丄AF于点G,连接0G,请直接写出沐OGP的值.【答案】(1)AE：EC；AF：BF；1：6(2)解：结论：AF=BE,AF丄BE.理由：如图2中,四边形ABCD是正方形，AB=AD,ZBAE=Z

10、ADF=90,TAE=DF,BAE竺ADF(SAS),BE=AF,ZABE=ZDAF,TZABE+ZAEB=90,ZDAF+ZAEB=90,ZAGE=90,AF丄BE.(3)解：如图2-1中，连接DM.根据对称性可知厶DME,DMF,关于直线DM对称,.S=S,DMEDMFTAE=DE,TS“d厂皿2=4,J二SEM=SADME=SADMF-c=S四边形Fd5故答案为4）拓展应用：如图3中，BCS5四边形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD=4,AC=BD=4-订：，0A=0B=0D=0C=2J.,TDF=FC,DF=FC=2,TDFIIAB,DFDP1:.OP：OB=OP：0A=1：3,

11、TBG丄PA,AO丄OB,ZAGB=ZAOB=90,TZOAP+ZAPO=90,ZPBG+ZBPG=90,ZPAO=ZPBG,TZAPO=ZBPG,AOP-BGP,TZGPO=ZBPA,刊一丹竺丹一-M-站M-丹GPO-BPA，16二SBP=SBD=二GOP=【解析】【解答】(1)探索发现：由题意：沐BAO：江bc=AE：EC；江CAO：江cbo=AF:BF；若D,E,F分别是BC,AC,AB的中点，则沐BFO:S“BC=1：6,故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6.【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可【灵活运用】(1)结论：af=be,AF丄BE.证明BAE竺ADF(SAS)即

12、可解决问题.(2)根据对称性可知DME,DMF,关于直线DM对称，推出沐dme=SDMF,由AE=DE，推出SEM=SADME=SDMF,求出九.?営_J_ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由厶GPO-BPA,推出：占朗兀即可解决问题.4.如图1,抛物线平移后过点A(8,0)和原点，顶点为B,对称轴与轴相交于点C,与原抛物线相交于点D.Hl图？晉用图求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积F鷄；如图2,直线AB与轴相交于点P,点M为线段0A上一动点，F：为直角，边MN与AP相交于点N,设；，试探求：为何值时匚：为等腰三角形；为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少.9v1壬bx【答

13、案】(1)解：设平移后抛物线的解析式所以顶点B(4,3),所以S阴影=OCCB=12(2)解：设直线AB解析式为y=mx+n,将A(8,0)、B(4,3)分别代入得所以直线AB的解析式为，作NQ垂直于x轴于点Q,8-124-.?：TOC o 1-5 h z当MN=AN时，N点的横坐标为，纵坐标为,24-H8-1NQMQ8J91t二一启由三角形NQM和三角形MOP相似可知:力归，得.，解得（舍去）.3快=-（8当AM=AN时，AN=，由三角形ANQ和三角形APO相似可知，48-1AQ二-H庁，MQ=占，呃MQ二由三角形NQM和三角形MOP相似可知得：解得：t=12（舍去）；当MN=MA时，址口_

14、工门故门规是钝角，显然不成立，故;tr由MN所在直线方程为y=，与直线AB的解析式y=-x+6联立，亠2t得点N的横坐标为XN=-，即t2-xNt+36-xN=0，9由判别式厶=X2n-4（36-）0，得xN6或xN-14，又因为0Vxn8,所以xN的最小值为6,此时t=3，.S7/j当t=3时，N的坐标为（6,），此时PN取最小值为【解析】【分析】（1）平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过点原39v旷*bx点，因此设函数解析式为：,将点A的坐标代入就可求出b的值，再求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积=以OC,BC为边的矩形的面积。（2）利用待定系数法先求出直线A

15、B的函数解析式，作NQ垂直于x轴于点Q,再分情况讨论：当MN=AN时，就可表示出点N的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值；当AM=AN时再由ANQ和厶APO相似，NQM和MOP相似，得出对应边成比例，分别求出t的值，然后根据当MN=MA时，ZMNA=ZMAN6或xN-14，然后由0VxNr-1,tV4,DP0,t-10.解得：t1,1VtV4.DNAC84ADFNAABC,fn=BC=6=3DN=PN-PD,DN=3-(t-1)=4-t,4-14FN=3(34-t)FN=4.FM=3-(34-t)3tTOC o 1-5 h zS=S+S,梯形FMHD矩形

16、DHQP3t3S=x(+3)x(4-t)+3(t-1)=-t2+3t+3(1VtV4).48(3)当圆与边PQ相切时，如图：当圆与PQ相切时，r=PE，由(1)可知，PD=(t-1)cm,.PE=DE-DP=4-(t-1)=(5-t)cm.r以0.2cm/s的速度不断增大，r=1+0.2t,101+0.2t=5-t,解得:t=s3当圆与MN相切时，r=CM.由(1)可知，DP=Ct-1)cm,贝9PE=CQ=(5-t)cm,MQ=3cm,MC=MQ+CQ=5-t+3=(8-t)cm,1+0.2t=8-t,解得：t=35TP到E点停止，二t-14,35即t5,t=s(舍).610CAOB综上所述

17、：当t=s时，OO与正方形PQMN的边所在直线相切.点睛：本题主要考查的是圆的综合应用,解答本题主要应用了勾股定理、相似三角形的性质和判定、正方形的性质,直线和圆的位置关系,依据题意列出方程是解题的关键.如图所示，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P沿BA方向，从点B运动到点A,速度为1cm/s,若AB10cm，点0到AC的距离为4cm.求弦AC的长；问经过多长时间后，APC是等腰三角形.14【答案】(1)AC=6；(2)t=4或5或飞s时，APC是等腰三角形；【解析】【分析】(1)过0作0D丄AC于D,根据勾股定理求得AD的长，再利用垂径定理即可求得AC的长；(2)分AC=PC、AP=AC、A

18、P=CP三种情况求t值即可.【详解】(1)如图1,过0作0D丄AC于D,易知A0=5,0D=4,从而AD=一工|$匸-0匸=3,AC=2AD=6；(2)设经过t秒厶APC是等腰三角形，则AP=10-t如图2,若AC=PC,过点C作CH丄AB于H,TZA=ZA,ZAHC=ZODA=90,AHC-ADO,in-t.AC：AH=OA：AD,即卩AC：=5：3,解得t=s,经过一s后厶APC是等腰三角形；5如图3,若AP=AC,由PB=x,AB=10，得到AP=10-x,又：AC=6,则10-t=6，解得t=4s,.经过4s后厶APC是等腰三角形;如图4,若AP=CP,P与0重合,则AP=BP=5，经

19、过5s后厶APC是等腰三角形.14综上可知当t=4或5或S时，APC是等腰三角形.【点睛】本题是圆的综合题，解决问题利用了垂径定理，勾股定理等知识点，解题时要注意当BPC是等腰三角形时，点P的位置有三种情况.14.如图，在ABC中，AB=AC,以AB为直径的O0与边BC交于点D,DE丄AC,垂足为E,交AB的延长线于点F.求证：EF是O0的切线；(2)若上C=60,AC=12，求BD的长.右tanC=2,AE=8,求BF的长.10【答案】见解析;(2)2n；3).【解析】分析：(1)连接OD,根据等腰三角形的性质：等边对等角，得上ABC=ZC,ZABC=ZODB,从而得到/C=ZODB，根据同

20、位角相等，两直线平行，得到ODIIAC，从而得证0D丄EF,即EF是O0的切线；1根据中点的性质，由AB=AC=12，求得OB=OD=込AB=6,进而根据等边三角形的判定得到OBD是等边三角形，即ZBOD=600,从而根据弧长公式七届即可；DE连接AD，根据直角三角形的性质，由在RtADEC中，tanC二二2设CE=x，则CEAEDE=2x，然后由RtDE中，tanZADE二DE二2，求得DE、CE的长，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可.详解：(1)连接ODAB=ACZABC=ZCOD=OBZABC=ZODBZC=ZODBODIAC又:DE丄ACOD丄DE,即OD丄EFEF是OO的切线1

21、(2)TAB=AC=12OB=OD=-AB=62由(1)得：ZC=ZODB=60oOBD是等边三角形ZBOD=60o60兀x6小BD=二2兀即BD的长2兀180(3)连接ADTDE丄ACZDEC=ZDEA=9OoDE在RtADEC中，tanC二二2设CE=x，则DE=2xCETAB是直径ZADB=ZADC=900ZADE+zCDE=9Oo在RtADEC中,ZC+ZCDE=9OoAEZC=ZADE在RtAADE中，tanADE二二2DETAE=8,DE=4则CE=2AC=AE+CE=10即直径AB=AC=10则OD=OB=5TOD/AEODF-AEFOF_ODAF_AE即：BF+5_5BF+10

22、一81010解得：BF=即BF的长为-3.点睛：此题考查了切线的性质与判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、直角三角形以及相似三角形的判定与性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用15.已知AC=DC,AC丄DC,直线MN经过点A,作DB丄MN,垂足为B,连结CB.ASCCB-VE图y感知如图，点A、B在CD同侧，且点B在AC右侧，在射线AM上截取AE=BD,连结CE,可证BCDEC4,从而得出EC=BC,ZECB=90,进而得出/ABC=度；探究如图，当点A、B在CD异侧时，感知得出的ZABC的大小是否改变？若不改变，给出证明；若改变，请求出ZABC的大小.应用在直线

23、MN绕点A旋转的过程中，当ZBCD=30，BD=J时，直接写出BC的长.【答案】【感知】：45；【探究】：不改变，理由详见解析；【拓展】：BC的长为+1或-1.【解析】【分析】感知证明BCDZECA(SAS)即可解决问题；探究结论不变，证明BCDZECA(SAS)即可解决问题；应用分两种情形分别求解即可解决问题.【详解】解：【感知】，如图中，在射线AM上截取AE=BD，连结CE.:ACDC，DB丄MN,ZACD=ZDBA=90.ZCDB+ZCAB=180，TZCAB+ZCAE=180.ZD=ZCAE，TCD=AC，AE=BD，.BCD竺ECA(SAS)，.BC=EC，ZBCD=ZECA，TZA

24、CE+ZECD=90，.ZECD+ZDCB=90，即ZECB=90，.ZABC=45.故答案为45【探究】不改变.理由如下：如图，如图中，在射线AN上截取AE=BD，连接CE,设MN与CD交于点0.TACDC,DB丄MN,ZACD=ZDBA=90,TZAOC=ZDOB,.ZD=ZEAC,CD=AC,.BCD竺ECA(SAS),.BC=EC,ZBCD=ZECATZACE+ZECD=90,.ZECD+ZDCB=90,即ZECB=90,.ZABC=45【拓展】如图-1中，连接AD.ZACD+ZABD=180,.A,C,D,B四点共圆,.ZDAB=ZDCB=30,.AB=BD,.EB=AE+AB=.；,TECB是等腰直角三角形，EBE匚+l如图