2020-2021备战中考数学锐角三角函数综合练习题含答案

1、2020-2021备战中考数学锐角三角函数综合练习题含答案一、锐角三角函数1.在厶ABC中，AB=BC，点O是AC的中点，点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线，垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系；如图2,当/ABC=90时，请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系，并说明理由若|CF-AE|=2,EF=2叮3，当POF为等腰三角形时，请直接写出线段OP的长.EPi00BBCC團1S2CS备用團【答案】(1)OF=OE；(2)OF丄EK,OF=OE,理由见解析；(3)OP的长为6迈或2/3丁【解析】【分

2、析】(1)如图1中，延长EO交CF于K,证明AOECOK,从而可得OE=OK,再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得OF=OE；如图2中，延长EO交CF于K,由已知证明ABEBCF,AOECOK，继而可证得EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得OF丄EK,OF=OE；分点P在AO上与CO上两种情况分别画图进行解答即可得.【详解】(1)如图1中，延长EO交CF于K,TAE丄BE,CF丄BE,二AEIICK,:.厶EAO=ZKCO,TOA=OC,ZAOE=ZCOK,AAOE竺COK,AOE=OK,1TEFK是直角三角形，AOF=EK=OE；2(2)如图2中，延长EO交CF于K,Z

3、ABC=ZAEB=ZCFB=90,ZABE+ZBAE=90,ZABE+ZCBF=90,AZBAE=ZCBF,TAB=BC,AABE竺BCF,ABE=CF,AE=BF,TAOE竺COK,AAE=CK,OE=OK,AFK=EF,AEFK是等腰直角三角形，AOF丄EK,OF=OE；(3)如图3中，点P在线段AO上，延长EO交CF于K,作PH丄OF于H,T|CF-AE|=2,EF=2*3,AE=CK,AFK=2,在RtAEFK中，tanZFEK=,AZFEK=30,ZEKF=60,3AEK=2FK=4,OF=eK=2,2AB，点P是CD边上的任意一点（不含C,D两端点），过点P作PFIIBC，交对角线

4、BD于点F.（H1）厲石（图习得用图）（1）如图1,将厶PDF沿对角线BD翻折得到厶QDF，QF交AD于点E.求证：DEF是等腰三角形；（2）如图2,将厶PDF绕点D逆时针方向旋转得到PDF，连接PC，FB.设旋转角为a（0VaV180）.若0VaVZBDC，即DF在ZBDC的内部时，求证：DPC-DFB.如图3,若点P是CD的中点，DFB能否为直角三角形？如果能，试求出此时tanZDBF的值，如果不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；2或.解析】【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知ZDFQ=ZADF，所以DEF是等腰三角形；(2)由于PFIIBC,所以DP

5、F-DCB，从而易证DPF-DCB；由于DFB是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论【详解】(1)由翻折可知：ZDFP=ZDFQ，TPFIIBC，ZDFP=ZADF，ZDFQ=ZADF,.DEF是等腰三角形；(2)若OVaVZBDC，即DF在ZBDC的内部时，TZPDF=ZPDF，ZPDF-ZFDC=ZPDF-ZFDC,ZPDC=ZFDB,由旋转的性质可知：DPF仝DPF，TPFIBC，DPF-DCB，.DPF-DCB.DC_DPdbdF，.DPC-DFB；当ZFDB=90时，如图所示，1DF=DF=BD，2.DF_1BD2，DF1.tanZDBF=二；BD2

6、，A3当ZDBF=90,此时DF是斜边，即DFDB,不符合题意;当ZDFB=90时，如图所示，1DF=DF=BD,2ZDBF=30,tanZDBF,13【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.4.如图，将一副直角三角形拼放在一起得到四边形ABCD,其中ZBAC=45,ZACD=30,点E为CD边上的中点，连接AE，将厶ADE沿AE所在直线翻折得到ADEDZE交AC于F点.若AB=6cm.AE的长为_cm；试在线段AC上确定一点P,使得DP+E

7、P的值最小，并求出这个最小值；(3)求点D到BC的距离.【答案】(1)；(2)12cm；(3)认Vcm.【解析】试题分析：(1)首先利用勾股定理得出AC的长，进而求出CD的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半进而得出答案：ZBAC=45，ZB=90,.AB=BC=cm，.AC=12cm.AC12CD-一r(cm)TZACD=30,ZDAC=90,AC=12cm,:点E为CD边上的中点，.AE=DC=：cm.首先得出厶ADE为等边三角形，进而求出点E,D关于直线AC对称，连接DD交AC于点P,根据轴对称的性质，此时DP+EP值为最小，进而得出答案.连接CD,BD,过点D作DG丄BC于点G

8、,进而得出厶ABD仝CBD(SSS)，则ZDBG=45,DG=GB，进而利用勾股定理求出点D到BC边的距离.试题解析：解：(1)(2)TRtAADC中，ZACD=30,.ZADC=60,TE为CD边上的中点，DE=AE.ADE为等边三角形.将厶ADE沿AE所在直线翻折得厶ADZE,ADZE为等边三角形，ZAEDz=60.TZEAC=ZDAC-ZEAD=30,ZEFA=90，即AC所在的直线垂直平分线段ED.点E,D关于直线AC对称.如答图1连接DD交AC于点P,此时DP+EP值为最小，且DP+EP=DD.TADE是等边三角形，AD=AE=W,DD=f葺=2*，即DP+EP最小值为12cm.(3

9、)如答图2,连接CD,BD,过点D作DG丄BC于点G,TAC垂直平分线ED，AE=AD，CE=CD，TAE=EC,AD=CD=*：.BD1一BDrAD-CD在厶ABD和CBD中，T,ABD仝CBD(SSS).ZDBG=ZDBC=45.DG=GB.设DG长为xcm,则CG长为匕cm,22在RtAGDC中，由勾股定理得F：fl0)，平移抛物线y=-x2，使其顶点D在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，得到抛物线C2.抛物线C2交x轴于A,B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C,设点D的横坐标为a.（1）如图1,若m=当OC=2时，求抛物线C2的解析式；是否存在a,使得线段BC上有一点P,满足点B与点

10、C到直线OP的距离之和最大且AP=BP?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；（2）如图2,当0B=2-m（OVmV）时，请直接写出到厶ABD的三边所在直线的距离相等的所有点的坐标（用含m的式子表示）.71【答案】y=-x2+x+2.1（2）P1C-m,1）,P2Q-m,-3）,P3（-iT7吟-m,3）,P4（3-m,3）.【解析】试题分析：（1）首先写出平移后抛物线C2的解析式（含有未知数a）,然后利用点C（0,2）在C2上，求出抛物线C2的解析式；认真审题，题中条件AP=BP”意味着点P在对称轴上，点B与点C到直线OP的距离之和最大”意味着OP丄BC.画出图形，如图1所示，利用三角函

11、数（或相似），求出a的值；（2）解题要点有3个：i）判定ABD为等边三角形；ii）理论依据是角平分线的性质，即角平分线上的点到角两边的距离相等；iii）满足条件的点有4个，即ABD形内1个（内心），形外3个.不要漏解.试题解析：（1）当m=，时，抛物线C1：y=（x+）2.T抛物线C2的顶点D在抛物线C1上，且横坐标为a,D(a,(a+-)2).抛物线C2：y=-(x-a)2+(a+)2(I).OC=2,C(0,2).T点C在抛物线C上，1-(0-a)2+(a+儿)2=2,解得：a，代入(I)式，7得抛物线C2的解析式为：y=-x2+x+2.在式中，111令y=0,即：-(x-a)2+(a+)

12、2=0,解得x=2a+或x=-,B(2a+,0)；11令x=0,得：y=a+，C(0,a+).设直线BC的解析式为y=kx+b，则有:直线BC的解析式为：y=-x+(a+b.假设存在满足条件的a值TAP=BP,点P在AB的垂直平分线上，即点P在C2的对称轴上；点B与点C到直线OP的距离之和0)与BC交于点P,与x轴交于点E,则OP丄BC,OE=a.图1点P在直线BC上,1111P(a,馆+丨)，PE=a+解得：a=.1存在a=，使得线段BC上有一点P,满足点B与点C到直线OP的距离之和最大且AP=BP(3)T抛物线C2的顶点D在抛物线q上，且横坐标为a，D(a,(a+m)2).抛物线C2：y=

13、-(x-a)2+(a+m)2.令y=0,即-(x-a)2+(a+m)2=0,解得：x1=2a+m,x2=-m,B(2a+m,0).v0B=2.-m,2a+m=2、，-m,AB=0B+0A=2、.：-m+m=2:.iT7iT7如图2所示，设对称轴与x轴交于点E,则DE=3,BE=AB=，OE=OB-BE=-m.ZABD=60.又:AD=BD,ABD为等边三角形.作ZABD的平分线，交DE于点P1，则P1E=BEtan30；x=1,P1(V-m,1)；在厶ABD形外，依次作各个外角的平分线，它们相交于点P2、P3、P4.在RtABEP2中，P2E=BEtan60=八=3,P2（二厂-m,-3）；易

14、知adp3、bdp4均为等边三角形，dp3=dp4=ab=2L,且p3p4iix轴.二P3（八-m,3）、P4（3、-m,3）.综上所述，到ABD的三边所在直线的距离相等的所有点有4个，其坐标为：P1（1：-m,1）,P2（I:-m,-3）,P3（-m,3）,P4（3：-m,3）.【考点】二次函数综合题.某条道路上通行车辆限速60千米/时，道路的AB段为监测区，监测点P到AB的距离PH为50米（如图）.已知点P在点A的北偏东45方向上，且在点B的北偏西60方向上，点B在点A的北偏东75方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以内，可认定为超速？（参考数据：=1.7,J2=1.4）.【答案】车辆

15、通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定为超速【解析】分析：根据点到直线的距离的性质,构造直角三角形,然后利用解直角三角形的应用,解直角三角形即可.详解：如图，由题意知/CAB=75,ZCAP=45,ZPBD=60,ZPAH=ZCAB-ZCAP=30,50PHTZPHA=ZPHB=90,PH=50,AH=、3=50,tanPAHV3TACIIBD,ZABD=180-ZCAB=105,ZPBH=ZABD-ZPBD=45,则PH=BH=50,AB=AH+BH=5073+50,60千米/时=斗米/秒,50*3+50_二时间t=50=3+33=8.1(秒)，丁即车辆通过AB段的时间在8.1秒以内，可认定

16、为超速.点睛：该题考查学生通过构建直角三角形，利用某个度数的三角函数值求出具体边长，即实际路程，并进行判断相关的量。如图，在平面直角坐标系xOy中，点P是OC外一点，连接CP交OC于点Q,点P关于点Q的对称点为P,当点P在线段CQ上时，称点P为OC友好点”.已知人（1,0），B（0，2），C（3，3）（1）当O0的半径为1时，点A，B，C中是O0“友好点”的是;已知点M在直线y=-半x+2上，且点M是O0友好点”，求点M的横坐标m的取值范围；（2）已知点D（2爲，0），连接BC，BD,CD,OT的圆心为T（t，-1），半径为1,若在ABCD上存在一点N,使点N是OT“友好点”，求圆心T的横坐标

17、t的取值范围.【答案】（1）B；0m3；（2）-4+3朽t3.【解析】【分析】m2+平m+21L2丿22，由此）根据友好点”的定义，OB=2r=2，所以点B是O0友好点”;设M（m,-斗m+2），根据“友好点”的定义，OM=求解即可；(2)B(0,2),C(3,3),D(2p3,0),OT的圆心为T(t,-1)，点N是OT“友好点”，NT2r=2,点C不是OO友好点”,A(1,0)在OO上，不是OO友好点”，故答案为B；如图，设M(m，巾+2)，根据“友好点”的定义,OM=(m2+整理，得2m2-2、；3m0,解得0m、：3；点M的横坐标m的取值范围：0m冷：3；(2).B(0，2)，C(3,

18、3)，D(2j3，0)，OT的圆心为T(t，-1)，点N是OT“友好点”,NT0)，以A为圆心AB长为半径的BD交y轴正半轴于点D,BD与BC有交点时，交点为E,P为BD上一点.若c=6J3+2,BC=，DE的长为;当CP=6込时，判断CP与OA的位置关系，井加以证明；若c=10，求点P与BC距离的最大值；分别直接写出当c=1,c=6,c=9,c=11时，点P与BC的最大距离(结果无需化DAAESO【答案】(1)12,n；详见解析；(2)5；5(3)答案见详解【解析】【分析】先求出AB,AC,进而求出BC和/ABC，最后用弧长公式即可得出结论；判断出厶APC是直角三角形，即可得出结论；分两种情

19、况,利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；画图图形,同(2)的方法即可得出结论详解】1)如图1Tc=6、打+2,C=6訂+2,AC=6、/3+2-2=6*3,TAB=6,AC在RtABAC中，根据勾股定理得，BC=12,tanZABC=V3,AB.ZABC=60,TAE=AB，.ABE是等边三角形，.ZBAE=60，.ZDAE=30，30兀x6.DE的长为=n180故答案为12,n；CP与OA相切.证明：TAP=AB=6,AC=OC-OA=6j3,.AP2+CP2=108，又AC2=(6.3)2=108,.AP2+PC2=AC2.ZAPC=90,即：CP丄AP.而AP是半径，CP与OA相

20、切.若c=10，即AC=10-2=8，贝BC=10.若点P在BE上,AP丄BE时，点P与BC的距离最大，设垂足为F,贝PF的长就是最大距离，如图2，11SABC=C=2QAF，AF=AB-ACBC24PF=AP-AF=-.5；如图3若点P在DE上，作PG丄BC于点G,当点P与点D重合时，PG最大.此时，PGABsinZACB=CPBC即PG=AB-CPBC若c=10,点p与BC距离的最大值是5；3)当c=1时，如图4，ABPM过点P作PM丄BC,sinZBCP=-BCCD；PM=AB-CDBC6x7=_4=42后T37_?I7=3T当c=6时，如图5,同c=10的情况，PF=6-当c=9时，如

21、图6,同c=10的情况，PF=685点P和点D重合时，点p到BC的距离最大，同c=10时情况，心留【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键10.如图，在菱形ABCD中,ZB二60。，AB=4.点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿边AD向终点D运动，过点P作PQ丄AC交边AB于点Q，过点P向上作!3PN/AC，且PN=PQ，以PN、PQ为边作矩形PQMN.设点p的运动时间为t2（秒），矩形PQMN与菱形ABCD重叠部分图形的面积为S.（1）用含t的代数式表示线段PQ的长.（2）当点M落在边BC上时，求t的值

22、.（3）当0t1时，求S与t之间的函数关系式，(4)如图，若点O是AC的中点，作直线OM.当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：时，直接写出t的值C2【答案】(1)PQ二2摘；(2)5；(3)-13t2+40岛16+3；(4)t=或8t=7【解析】【分析】由菱形性质得ZD=ZB=60,AD=AB=CD=4,ACD是等边三角形，证出APQ是等腰三角形，得出PF=QF,PF=PAsin60f31,即可得出结果；当点M落在边BC上时，由题意得：PDN是等边三角形，得出PD=PN，由已知得PN=PQ=3t，得出PD=3t，由题意得出方程，解方程即可；2(3)当0t5时，PQ=2订31，P

23、N=TPQ=3t，S=矩形PQMN的面积=PQXPN，即可得出4结果；当5t1时，PDN是等边三角形，得出PE=PD=AD-PA=4-2t,乙FEN=ZPED=60,得出NE=PN-PE=5t-4,FN=朽NE=空3(5t-4),S=矩形PQMN的面积-2EFN的面积，即可得出结果；4(4)分两种情况：当0t5时，ACD是等边三角形，AC=AD=4,得出0A=2,OG是MNH的中位线，得出OG=4t-2,NH=2OG=8t-4,由面积关系得出方程，解方程即可；EFOFEF2-t当5t2时，由平行线得出厶0EiMEQ,得出eq=MQ，即=3T，解得EF=经壬邑，得出EQ=j3t+厶色二邑，由三角

24、形面积关系得出方程，解方4t-24t-2程即可【详解】(1)在菱形ABCD中，ZB=60,zD=ZB=60,AD=AB=CD=4,ACD是等边三角形，ZCAD=60,PQ丄AC,APQ是等腰三角形，PF=QF,PQ=2p31；(2)当点M落在边BC上时，如图2所示:CA图2由题意得:PDN是等边三角形.PD=PN，TPN哼pQ耳心3Z,.PD=3t，TPA+PD=AD，即2t+3t=4，4解得：t=5.(3)当0t5时，如图1所示:PQ=2*31,PN=PQ=x2爲t=3t,22S=矩形PQMN的面积=PQxPN=2tx3t=6*312；当5t1时，如图3所示:A图3PDN是等边三角形,PE=

25、PD=AD-PA=4-2t,ZFEN=ZPED=60,NE=PN-PE=3t-(4-2t)=5t-4.FN=p3NE=p3(5t-4),1.s=矩形PQMN的面积-2AEFN的面积=6胆t2-2x.3(5t-4)2=-19t2+40$3t-16,2即S=-19t2+401-16f3；（4）分两种情况：当0VtW5时，如图4所示:ACD是等边三角形,.AC=AD=4,O是AC的中点，.OA=2，OG是厶MNH的中位线，.OG=3t-(2-t)=4t-2,NH=2OG=8t-4,=3x6P3t2,11MNH的面积=2MNxNH=2ztx(8t-4)解得:t=3；当5t2时，如图5所示:ACIIQM

26、,OEFMEQ,EFOFEF2-1.冃口EQMQ，即EF+杼3t解得：4t-2EQ3t+W兰,4t-2MEQ的面积=x3tx(.：3t+)=x6*3t2,24t-23冃8解得：t=；2综上所述，当直线OM将矩形PQMN分成两部分图形的面积比为1：2时，t的值为3或8【点睛】本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握菱形和矩形的性质，综合运用知识，进行分类讨论是解题的关键11.在RtAABC中，ZACB=90,CD是AB边的中线，DE丄BC于E,连结CD,点P在射线CB上(

27、与B，C不重合)如果ZA=30,如图1，ZDCB等于多少度；如图2,点P在线段CB上，连结DP,将线段DP绕点D逆时针旋转60,得到线段DF,连结BF,补全图2猜想CP、BF之间的数量关系，并证明你的结论；如图3,若点P在线段CB的延长线上，且ZA=a(0VaV90)，连结DP，将线段DP绕点逆时针旋转2a得到线段DF,连结BF,请直接写出DE、BF、BP三者的数量关系(不需证明)【答案】(1)ZDCB=60.结论：CP=BF理由见解析；(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由见解析.【解析】【分析】根据直角三角形斜边中线的性质，结合ZA=30,只要证明厶CDB是等边三角形即可；根据全等三

28、角形的判定推出厶DCP竺DBF，根据全等的性质得出CP=BF,求出DC=DB=AD,DEIIAC,求出ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB,DP=DF，根据全等三角形的判定得出厶DCPDBF，求出CP=BF，推出BF-BP=BC，解直角三角形求出CE=DEtana即可.【详解】(1)IZA=30,ZACB=90,ZB=60,TAD=DB,CD=AD=DB,.CDB是等边三角形,.ZDCB=60.如图1,结论：CP=BF.理由如下:TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZDCB=60,.CDB为等边三角形.ZCDB=60T线段DP绕点D逆时针旋转60得到线段DF,TZPDF=60,DP=D

29、F,.ZFDB=ZCDP,在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,.CP=BF.(2)结论：BF-BP=2DEtana.理由：TZACB=90,D是AB的中点，DE丄BC,ZA=a,.DC=DB=AD,DEIIAC,.ZA=ZACD=a，ZEDB=ZA=a，BC=2CE，.ZBDC=ZA+ZACD=2a，TZPDF=2a，.ZFDB=ZCDP=2a+ZPDB，T线段DP绕点D逆时针旋转2a得到线段DF,.DP=DF，在厶DCP和厶DBF中DC=DBZCDP=ZBDF,、DP=DFDCP竺DBF,CP=BF,而CP=BC+BP,.BF-BP=BC,在RtA

30、CDE中，ZDEC=90,CE.tanZCDE=,DE.CE=DEtana,.BC=2CE=2DEtana,即BF-BP=2DEtana.【点睛】本题考查了三角形外角性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，直角三角形的性质，旋转的性质的应用，能推出厶DCPDBF是解此题的关键，综合性比较强，证明过程类似.12.已知：如图，在RtAABO中，ZB=90,ZOAB=30,OA=3.以点0为原点，斜边OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，以点P（4,0）为圆心，PA长为半径画圆，OP与x轴的另一交点为N,点M在OP上，且满足ZMPN=60.OP以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左运动，

31、设运动时间为ts,解答下列问题：（发现）（1）MnN的长度为多少；（2）当t=2s时，求扇形MPN（阴影部分）与RtAABO重叠部分的面积.（探究）当0卩和厶ABO的边所在的直线相切时，求点P的坐标.（拓展）当MN与RtAABO的边有两个交点时，请你直接写出t的取值范围.备用圏1备用图2【答案】【发现】（1）mn的长度为n；（2）重叠部分的面积为；【探究】：点p38的坐标为（10）；或（巫,0）或（-空3,0）；【拓展】t的取值范围是2Vt3或334tV5，理由见解析.【解析】【分析】3发现：(1)先确定出扇形半径，进而用弧长公式即可得出结论；(2)先求出PA=1，进而求出PQ,即可用面积公式

32、得出结论；探究：分圆和直线AB和直线0B相切，利用三角函数即可得出结论;拓展：先找出MN和直角三角形的两边有两个交点时的分界点，即可得出结论.【详解】发现(1)TP(4,0),0P=4.OA=3,J.AP=1,MN的长度为60兀x1180兀故答案为；(2)设OP半径为r,则有r=4-3=1,当t=2时，如图1,点N与点A重合，.PA=r=1,设MP与AB相交于点Q.在RtAABO中，:乙OAB=30,ZMPN=60.pQA=90。，.pQ=*pA二2AQ=Apxcos30二弓,.S重叠部分_1忑亠APQ-2PQXAQ.即重叠部分的面积为工3.8探究如图2,当OP与直线AB相切于点C时，连接PC,则有PC丄AB,PC=r=1.TZOAB=30,.AP=2,.OP=OA-AP=3-2=1；.点P的坐标为(1,0)；如图3,当OP与直线OB相切于点D时，连接PD,则有PD丄OB,PD=r=1,PDiPDIIAB,.ZOPD=ZOAB=30,.cosZOPD=,-OP二二,-占P的OPcos30o3八坐标为耳，0)如图4,当OP与直线OB相切于点E时，连接PE,则有PE丄OB,同可得:op=塑；点P的坐标为（兰3,0）；3拓展t的取值范围是2t3,4t2,直到OP运动到与AB相切时，由探究得：0P=1,t二=3,MN与RtAABO的