上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题(解析版)

1、上海市青浦高级中学高三上学期9月质量检测数学试题一、单选题1 .设集合 A （x,y）|x y 1,ax y 4,x ay 2,则A.对任意实数 a,B.对任意实数a, （2,1） A3C.当且仅当a0时，（2,1） AD.当且仅当a 2 时，（2,1） A【答案】D【解析】分析：求出（2,1） A及（2,1） A所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.33详解：若（2,1）A,则a 2且a 0,即若（2,1） A,则a 2,3此命题的逆否命题为：若a万，则有（2,1） A,故选D.点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必 TOC o 1-5 h z

2、要条件的一种非常有效的方法，根据p,q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.设 A x| p（x）, B x|q（x）,若 A B-Up q；若A BUp q ,当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式2.在平面直角坐标系中， 记d为点P cosqsin 9到直线x my 2 0的距离，当、m变化时，d的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】P为单位圆上一点，而直线 x my 2 0过点A 2,0 ,则根据几何意义得 d的最大值为OA 1.【详解】Q cos2sin21, P为单位圆上一点，而直线 x my 2 0过点A 2,0 ,所以d的最大值为OA

3、1 2 1 3,选C.【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为正视图 恻f左）视图123【解析】分析：根据三视图还原几何体,利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三角形的个数 详解：由三视图可得四棱锥 P ABCD,在四棱锥P ABCD中，PD 2, AD 2,CD 2, AB 1 ,由勾股定理可知： PA 2拒 PC 272, PB 3,BC J5 ,则在四棱锥中，直角三角形有:PAD, PC

4、D, PAB共三个，故选C.点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原, 分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等 相关问题的求解.uuur i uur.设的边AB上一定点P0满足PoB AB,且对于边AB上任一点P ,恒有4uur uur uur uurPB PC P0B P)C ,则()A. ABC B. BAC C. AB AC D. AC BC22【答案】Duuruur【解析】设| AB | 4,则| P0B| 1 ,过点C作AB的垂线，垂足为H ,在AB上任取一点P ,uuuuuu设Hp0 a ,则由数量积的

5、几何意义可得 |PB|2 (a 1)|PB| a 0恒成立，只需22(a 1) 4a (a 1)0即可，由此能求出ABC是等腰三角形， AC BC .【详解】uuuuur设| AB | 4 ,则|P0B| 1 ,过点C作AB的垂线，垂足为H ,在AB上任取一点P ,设HP。 a ,则由数量积的几何意义可得,uur uuir uur uuu uuuuuuPB PC | PH | | PB | |PB |2 (a 1)| PB |,uur uurRB PC a,uuu uuir uur uuir于是PB PC P)B RC恒成立，uuuuuu整理得|PB|2 (a 1)| PB| a 0恒成立，2

6、2只需 (a 1) 4a (a 1)0即可，于是a 1,因此HB 2,即H是AB的中点，故 ABC是等腰三角形,所以AC BC .本题考查平面向量的运算、向量的模及向量的数量积的概念、向量运算的几何意义的应用,考查利用向量解决简单的几何问题的能力.二、填空题.已知集合 A=x|x|2, B= -2, 0, 1, 2,则 AI B=【答案】0,1【解析】根据集合的交运算进行计算即可.【详解】Q|x 2,2 x 2,因此 AIB=2,0,1,22,20,1故答案为：0,1【点睛】本题主要考查集合的基本运算，根据集合交集的定义是解决本题的关键.比较基础.,若函数 f x 1 JX , g x 小x

7、JX ,则 f (x) g x 【答案】1.x (0 x 1)【解析】根据偶次根式被开方数大于等于零可求得f x ,g x定义域，取交集得到f x g x的定义域，将f x ,g x解析式相加可得所求结果.【详解】Q f x定义域为：x x 0 ； g x定义域为：x 0 x 1f x g x的定义域为 x 0 x 1f x g x 1 . x , 1 x x 1 、1 x 0 x 1故答案为：1 .1x0 x1【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.在2x 1 7的二项展开式中，第四项的系数为 . TOC o 1-5 h z 【答案】560

8、【解析】利用二项展开式的通项公式，求得第四项的系数【详解】一一一 一一，._3_43二项展开式中，第四项的系数为C73 241560.故答案为：560【点睛】本小题主要考查二项展开式通项公式的运用，属于基础题.某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选 2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 L【答案】10【解析】分析：先确定总基本事件数，再从中确定满足条件的基本事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中恰好选中 2名女生的方法有 3310种，因此所求概率为 一.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂

9、的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法(理科)：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目2.已知某圆锥体的底面半径 r 3,沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为一 的3扇形，则该圆锥体的表面积是 .【答案】【解析】试题分析：由已知沿圆锥体的母线把侧面展开后得到的扇形的弧长为2”,/ - 6 _ g从而其母线长为 一互一,从而圆锥体的表面积为 S-S版【考点】圆锥体的表面积.10 .已知直线 li：3x k 2y 6 0 与直线 l2：k

10、x 2k 3 y 2 0,记 D2k 3,则D=0是直线11与直线12平行的选填“充分非必要”、“必要非充分”“充要”、“既非充分又非必要”)条件.【答案】必要非充分【解析】解D 0求得k的值.由此IK 求得k的值.由此判断出充分、必要条件【详解】2令 D 0得3 2k 3 k 2 k 0,k 8k 9 0,解得 k 9或 k 1.当lll2时,3 2k 33 2 6k9.故D=0是直线li与直线12平行的必要非充分条件 故答案为：必要非充分【点睛】必要条件的判断，属本小题主要考查两条直线平行的条件，考查行列式的计算，考查充分、 于基础题.11 .设函数f x cos0 ,若f x f 一 对

11、任意白勺实数x都成立，则4的最小值为【解析】根据题意 f x取最大值4 ,根据余弦函数取最大值条件解得的表达式,进而确定其最小值【详解】因为f x f 一 对任意白实数x都成立，所以f x取最大值f 一44所以一一2kk Z), 8k 2(k Z),463因为 0,所以当k 0时，取最小值为2.3【点睛】函数 y Acos( x ) B(A 0,0）的性质(1)ymax =A+B, yminA B.2兀(2)周期T .(3)由 XkXk Z）求对称轴，最大值对应自变量满足x2kXk Z),最小值对应自变量满足X+2k (k Z),(4)由 一 2k2-2k x2x 2一 2k (k22k （k

12、 Z）求增区间；由Z）求减区间.12 .若x, y满足x+1 yf 0对任意的x 0,2都成立，则f x在0,2上是增函数”为 假命题的一个函数是 .【答案】f x x -（答案不唯一）2【解析】根据题目所给命题为假命题， 构造函数f x在区间0,2满足条件“ f x f 0对任意的x 0,2都成立”且不是增函数.【详解】由于原命题是假命题，故存在“f x f 0对任意的x 0,2都成立”且不是增函数.设f x为二次函数，则f x在0,2必须是先增后减，此时只需二次函数对称轴满足212 ,且二次项系数a 0即可.如f x x -.2a22 3 故答案为：f x x -（答案不唯一）2【点睛】本

13、小题主要考查函数的单调性和最值，考查二次函数的性质，属于基础题 2222.已知椭圆M :勺 * 1 a b 0 ,双曲线N :3 * 1 ,若双曲线N的两条渐 a bm n近线与椭圆M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的焦距与长轴长的比值为 .【答案】、:3 1【解析】根据正六边形的性质以及椭圆的定义求得2a,由此求得椭圆 M的焦距与长轴长的比值（也即离心率）【详解】2c由正六边形的性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c J3c ,根据椭圆的定义可知,3 1_2c.3 1 cc 73c 2a ,所以椭圆M的焦距与长轴长的比值为 2a故答案为：,3 1.【点睛】本小题主

14、要考查椭圆的定义，考查椭圆的几何性质， 考查正六边形的几何性质，属于基础题.在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ABC 120, ABC的平分线交AC于点D,且BD 1 ,则4a c的最小值为 L【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值详解：由题意可知,SA ABCSA ABDSA BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得1.1acsin120 -a22,“1，. ”1sin60-c1sin 60,化简得 ac21c,一 a1 /一1,因此 c14a c (4a c)(一 a1、 l c 4aLec 4a 八)55 2,， 9,c a c .

15、 a c当且仅当c 2a 3时取等号，则4a c的最小值为9.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数 卜“定”（不等式的另一边必须为定值 卜“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.在实数集R中,我们定义的大小关系为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系 ，记为.定义如下：对于任意两个复数：zi& bi, z2a2di ab a2, b, b2R , ZiZ2 当且仅当 “ a1 a?” 或 “ a1且“b2” .按上述定义的关系,给出以下四个命题若 ZiZ2,则 Z

16、| Z2 ;若 ZiZ2, Z2 Z3,则 Zl Z3；若ZiZ2,则对于任意z C, Zi zZ2 z；对于复数z0,若ZiZ2，则Z4 ZZ2.其中所有真命题的序号为 .【答案】【解析】根据新定义“序”的关系，对四个命题逐一分析，由此判断出真命题的序号.【详解】对于，由于ZiZ2,所以“aa?”或“aa?且bb? ”.当a1包 2 ,满足ai a2但ZiZ2 ,所以错误.对于，根据“序”的关系的定义可知，复数的“序”有传递性，所以正确对于，设Z c di ,由Zi Z2,所以“ ai a2 ”或“a a2且bi b2”，可得“a c a2 c” 或 “ a c a2 c且b d b2 d

17、”，即 4 z Z2 z成立，所以正确.对于，当Zi3i,Z22i, z 2i 时，zzi6,zz24,zziZZ2,故错误.故答案为：【点睛】本小题主要考查新定义复数 “序”的关系的理解和运用，考查分析、思考与解决问题的能力， 属于基础题.、解答题2.已知函数 f x sin xcosx cos x求fx的最小正周期和单调递减区间;(2)若 fx在区间0, m上恰好有十个零点，求正数m的最小值.(1)最小正周期为巴递减区间为,kZ”等(1)利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简解析式，进而求得 f x的最小正周期和的单调减区间(1)令f x0求得函数f x的零点，结合在区间0,m上恰好有十

18、个零点,求得m的最小值.2冗T 2(2)令 f内，f xsin2x 21 cos2x2二sin 2x 2x的最小正周期为,冗%.由2k冗一2恰有十个零点,2x,k2ku3冗一，解得ku2x故由kjt2即2xZ .由于x 0,mZ 得 k取 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，恰好 10 个零点.当k39冗m的最小值为839冗10时，x .所以正数8本小题主要考查利用二倍角公式、降次公式和辅助角公式进行三角恒等变换，考查三角函数 最小正周期、单调区间的求法，考查三角函数零点问题，属于中档题18 .如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P, Q分别为A1B1, BC

19、的中 点八、(1 )求异面直线 BP与ACi所成角的余弦值；(2)求直线CCi与平面AQCi所成角的正弦值.【答案】(1) 30 20(2)在 5【解析】分析：(1)先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据向量数量积求得向量uuv uuvBP, AG的夹角，再根据向量夹角与异面直线所成角的关系得结果；(2)利用平面的方向量的求法列方程组解得平面 AQCi的一个法向量，再根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与所求向量夹角之间的关系得结果.详解：如图，在正三棱柱 ABC-AiBiCi中，设AC, A1C1的中点分别为 O, Oi,则OB，uuv uuiv uuuvOC, OOiXOC, OOi

20、XOB,以OB,OC,OOi为基底，建立空间直角坐标系O-xyz .因为 AB = AAi=2 ,所以 A 0, 1,0 ,B .3,0,0 ,C 0,1,0 ,A 0, 1,2 ,Bi .3,0,2 ,Ci 0,1,2aP为A1B1的中点，所以(1 )因为2,2uuv从而BP3iuuuv,2 ,ACi220,2,2uuvuuuv故 cosBP, AGuuv BP3.1020因此，异面直线 BP与ACi所成角的余弦值为3.1020(2)因为Q为BC的中点，所以uuu/因此AQuuuvACiunur0,2,2 ,CCi0,0,2 .设 n = (xy, z)为平面AQCi的一个法向量,uuivA

21、Q n 则 uuuvACi n0,0,2y3 八 2y 0,2z 0.不妨取n设直线CCi与平面AQCi所成角为则sinuuuvcosCG, nuuiufCCi所以直线CCi与平面AQCi所成角的正弦值为 内5点睛：本题考查空间向量、 异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问 题的能力.利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破” ：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”219.已知抛物线 C: y =2 px经过点P (1, 2).过点Q (0, 1)的直线l与抛

22、物线C有两个不同的交点 A , B,且直线PA交y轴于M ,直线PB交y轴于N .(I )求直线l的斜率的取值范围；uuuuuuir uuur uuur11(n)设O为原点，QM QO , QN QO,求证：一 一为定值.【答案】(1)取值范围是(-8, -3 ) U (-3 , 0) U ( 0, 1)(2)证明过程见解析【解析】【详解】分析：(1)先确定p,再设直线方程，与抛物线联立，根据判别式大于零解得直线l的斜率的取值范围，最后根据 PA, PB与y轴相交，舍去k=3 , (2)先设A (x1，y1), B (x2,2 k 41uuuv uuu/y2),与抛物线联立，根据韦达定理可得 X1 X2 , xx2 下.再由QM = QO ,kkuuivuuuvQN= QO得=1 yM ,1 yN .利用直线PA, PB的方程分别得点 M, N的纵坐1标，代入化简一可得结论.详解：解：(D因为抛物线 y2=2 px经过点P (1 , 2),所以4=2 p,解得p=2 ,所以抛物线的方程为y2=4x.由题意可知直线l的斜率存在且不为 0,设直线l的方程为y=kx+1 (kw0).4x 2 2 得k x2k 4 x 1 0.kx 1., 2依题意2k 44 k 1 0,解得 k0 或 0k,L ,Xn和1M (，) = 2 Xi yiyi(I)当 n=3 时，若 i,i,0