新高考2021届高考数学小题必练17新定义类创新题(含答案)

1、 高考数学小题必练高考数学试题坚持以能力为立意，全面考查学生的数学知识、方法和数学思想以“新定义”为背景的创新试题，通过在试题中给出新的定义，考查学生的现场学习能力(即自学能力)、阅读理解能力、探究与猜想等创新能力，并考查类比迁移、数形结合和归纳转化等数学思想方法1【2020全国II卷】0-1周期序列在通信技术中有着重要应用,若序列aia2a满足ae0,1(7=1,2,),12ni且存在正整数m，使得a二a(i二l，2，)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足a二a(i二l，2，)的i+mii+mi最小正整数m为这个序列的周期，对于周期为m的0-1序列a1a2a，12n1nC(k)=工aa(k

2、=1,2，,m-1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足m1i+ki=1C(k)5(k=1，2,3,4)的序列是()A11010B11011C10001D11001【答案】c【解析】由a=a知，序列a的周期为m，由已知，m=5，C(k)=工aa,k=1，2,3,4,TOC o 1-5 h zi+mii5ii+ki=1对于选项A,C(1)=工aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+0+0)=,5ii+151223344556555i=115112C(2)=乙aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(0+1+0+1+0)=，不满足;5ii+2513243546

3、5755i=1对于选项B,15113C(1)=乙aa=(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+1+1)=，不满足;5ii+15122334455655i=1对于选项D,15112C(1)=faa二(aa+aa+aa+aa+aa)=x(1+0+0+0+1)，不满足，5ii+15122334455655i1故选c.【点睛】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，根据定义将各选项一一代入，然后分别判断即可2.【2020山东卷】信息熵是信息论中的一个重要概念，设随机变量X所有可能的取值为1,2，,n,且P(X=i)=p0i=1,2,n)，工p1，定义X的信息熵H(X)工plogP，()ii

4、i2ii=1i=1若n1，则H(X)=0若n2，则H(X)随着p的增大而增大i若P-(i1,2,n)，则H(X)随着n的增大而增大in若n2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,m,且P(Y=j)=p+p(j=1,2,m)，/2m+1j则H(X)%ii2m+1i11由于p0(i=1,2,2m)，所以一ipp+pii2m+1i11所以p.-log2p：”log2-，所以H(X)H(Y)，所以D选项错误，i2pi2p+pii2m+1i故选AC.【点睛】本题主要考查新定义“信息熵”的理解和应用，需要结合对数运算、对数函数及不等式性质进行求解考島椁橄一、单选题.1设向量a=(a1，b1)，b=(行b2

5、)，定义一种运算“”向量ab=(a1，b1)叫b2)=(咕吐2)，TOC o 1-5 h z1n已知m=(2,2)，n=(-,0)，点P(x，y)在y=sinx的图象上运动，点Q在y=f(x)的图象上运动且满足OQ=mOP+n(其中O为坐标原点)，则y=f(x)的最小值为()1A.1B.2C.2D.-2【答案】B【解析】由题意知，点P的坐标为(x,sinx)，n1n则OQ=mOP+n=(-x,2sinx)+(,0)=(x+,2sinx)，323又因为点Q在y=f(x)的图象上运动，所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,方面留下了很多宝贵的成果，设函数f(x)在(a,b)上的导函数为广(x),

6、广(x)在(a,b)的导函数为广(x),即f(2x+3)=2sinxnf(x)=2sin(2x3)，所以函数y=f(x)的最小值为-2, 故应选B2.数列a满足：对任意的neN*且n3，总存在i,jgN*，使得a二a+a(i丰j,in,j3)，所以数列2n是“T数列”；nnin-i令a二n2，则a二1，a二4，a二9，所以a丰a+a，所以数列n2不是“T数列”；ni233i2令a二3，则a二3，a二9，a二27，所以a丰a+a，所以数列3“不是“T数列”；n-1=(15)n-2+n-1，则a=nn123312n-3=a+a(n3)，n-1n-2所以数列(-)n-1是“T数列”，2综上，“T数列

7、”的个数为2.ab3.在R上定义运算：广ad-becdx-1若不等式a+1、多选题.a31对任意实数x恒成立，则下列实数a的x描述中正确的有()A.a有最大值2Da有最小值一，2-THC.a有最小值2【答案】BC【解析】原不等式等价于x(x1)-(a3)(a+1)1，即x2-x-1(a+1)(a-3)对任意实数x恒成立,又x2-x-1=(x-卜-4-4，:-4a2-2a-3，解得弓ab45定义运算ab=|则关于正实数x的不等式4(x+)V5(2x)的解集为.b,aVbx【答案】(Z)44.4(x+)=x+，xxfa,ab40Vx2【解析】,ab=|b,vb，+匚45,同理可得5(2x)=2x,

8、4不等式4(x+)V5(2x)的解集为(1,+x).x6设全集U=1,2,3,4,5,6，用U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：2,4表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M=2,3,6，则M表示6位字符串为(2)若A=1,3，集合AB表示的字符串为101001，U则满足条件的集合B的个数为个.U【答案】100110，4【解析】M表示的6位字符串是011001，则M表示的6位字符串为100110；U若A=1,3，集合AB表示的字符串为101001，集合B可能是6，#6，3,6，1,3,6，故满足条件的集

9、合B有4个.7丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式若在(a,b)上f(x)0恒成立，则称函数f(x)在(a,b)上为“凸函数”已知f(x)=弋-x3+-x2在(1,4)432上为“凸函数”，则实数-的取值范围是51【答案】,+8)8【解析】f(x)=x3-tx2+3x，f(x)=3x2-2tx+3，函数f(x)=乂-x3+-x2在(1,4)上是“凸函数”，.在(a,b)上,f(x)0恒成立，432313x22tx+3(x+)，2x31令g(x)=(x+)，显然g(x)在(1,4)上单调递增，2x5151g(x)xf(x)+xf(x)，1211221221则称f(x)为“H函数”.给出下列函数：y=x3+x+1:y=3x2(sinxcosx)y=ex+1；厂InIxI,x丰0f(x)=L“，其中“H函数”的个数是.0,x=0【答案】【解析】对于任意给定的不等实数x，x，不等式xf(x)+xf(x)xf(x)+xf(x)恒成立，1211221221不等式等价为(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的不减函数(即无递减区间).函数y=x3+x+1，则y=2x2+1，在一“，”函数为减函数，不