2013年北约自主招生试题与答案解析word版

1、 .专业.专注.2013“北约”自主招生试题2013-03-16(时间 90 分钟,满分 120 分)一、选择题(每题 8 分,共 48 分)21.以和1 2 为两根的有理系数多项式的最高次数最小为()3356A.2B.C.D.【解】由x 2,可知 ,同理由x21 2 x可知(1 x) 2;3321所以方程(x 2)(1 x) 2 0的次数最小,其次数为 5,故选 C.232.在66的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有种停放方法.2051840014400A. 720B.C.D.【解】红色车选 3 列有C 20种方法,再从这三列中选三

2、行有 种方法,另外将红色车C203366放在已选好的三列三行中有3 2 6种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有32 6种方法,因此方法数有(20 206)6 14400种.故选 D.3.已知(),则)x2 2y 5, y 22x 5 x yx 2x y y值为(322310122x 5两式作差得 x y 2(x y)1416A.B.C.D.【解】由 2y 5与 y ,代入两式中分别化出t 2t 1 0的两个不等实根,于是x22x 2x 1 0 、 y 2y 1 0 x, y是方程,所以222x y 2, xy 1,也所以D.x3 2 x2y2 y3( x y)( x y) 3

3、 xy 2( xy) ( 2) 7 2 16.故选22. word 可编辑 . .专业.专注.4.在数列 中, 1, 4 2 ( ),则n1值为()aa1Saann1n2013A.3019 220123019 220133018 22012B.C.)可知,D. 无法确定【解】由a 1 S4a 2 n 1,(1n1n当 1时, S 4a 2,所以a 5;n212当 时,有2S 4a 2(n 2),由-式得,nnn1a 4a 4a (n 2),即a2a 2(a a )(n 2) 且 a 2a 3,n1nn1n1nnn12132aaa所以(),同除以2 得,且1;1a2a 3 2 n N*nn1n1

4、n2220n1nnn13a所以1 n,故令n 2012时,得 2 3019,故选 A.2012an1222013n5.在ABC 中 D 为 BC 中点 DM 平分 ADB 交 AB于点 M DN 平分 ADC 交 AC 于 N,B则BM CN MN 与的关系为()MD CN MN CN MN CN MNA. BMB. MNC. BMACND.无法确定 DB 连接 ME, NE,MN【解】如图,在 DA取 DE,BMME MB ,EN NC,D则显然可证E且有,即,AME NE MN上述不等式当且仅当MED180BM CN MNCN DEN 180,也即 ,BC这显然与三角形内角和定理矛盾,故等

5、号取不到,. word 可编辑 . .专业.专注.也即选 A.BC AC ABA B C6.模长都为 1 的复数 A,B,C满足A B C 0,则的模长为()1A.12B.C.D. 无法确定2【解】由题知AA BB CC1,所以BC AC AB2BC AC AB BC AC AB,A B CA B C B CABC AC ABA B C2BC AC AB BC AC AB也即A B C B CA3 BA C A AB CB AC BC3 AB AC BA BC C A CB1,故选 B.二、解答题(每题 18 分,共 72 分)7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证

6、明你的结论.【解】:至多有 4 个.首先可以取 1,3,7,9 这四个数,它们任意三个数之和分别为 11,13,17,19 符合质数定义.下面再证明 5 个正整数是不符合题意的.若有 5 个正整数,则考虑这五个数被 3 除的余数,如果有一个数的余数为 0,那么考虑余下的 4 个数被 3 除的余数,如果余数既有 1 也有 2,那么这两个数与前面余数为 0 的数的和刚好为 3 的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为 3 的倍数不是质数,也不符合题意,如果这 5 个数被 3 除的余数都不等于 0,则由抽屉原理,至少有 3 个数被 3 除的余数相

7、同,这三个数的和是 3 的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在 5 个正整数符合题意,即至多有 4 个正整数符合题意.8.已知a a a a 0,且| a 2a | a 2a | | a 2a |.1232013122320131. word 可编辑 . .专业.专注.证明: a a a 0 .a1232013【证明】:观察可知a a a a 0 ,1232013即(2 ) (2 ) (2a a ) (2a a ) 0 a a a a21322013201212013又| 2 | 2 | | a 2a | ,不妨设| a 2a | t ,a1aaa3222013112则可写为 (201

8、3 ) 0(0 2013, ) ,即(2k 2013)t 0,ktk tkk N又显然a 2a ,a 2a , ,a 2a ,a 2a2k 2013 0,则有t 0,于是有,所以 a 2 a2013,即.a 012232012201320131111也所以 a 0 ,即证.a a a12320139.对于任意 ,求32cos cos6 6cos4 15cos2的值.6【解】32cos cos6 6cos4 15cos261 co s2 32(3) co s66 cos 415 co s 224 (1 cos 2 3 cos 233 cos 2 ) (3cos 2 4 cos 2 ) 6co s

9、24 15 cos234 12 cos 2 6 c os 4 4 6(1 cos4 ) 6 cos 4即求.10210.有一个 的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重m n新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.,使得数阵中的每一行从原题叙述:已知有 个实数,排列成 阶数阵,记作m n m na ij mnaa .现将a i 1,2,3, ,m j j左到右都是递增的,即对意的,当时,都有的12ij mnij1ij2m n 阶数阵,记作a每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列 ,形成一个新的,ij mni 1,2,3,na i1 ia a.试判断即对任意的,当时,都有中每一行的 个n2ij mni ji j12数的大小关系,并说明理由. word 可编辑 . .专业.专注. a【解】:数阵中每一行的 个数从左到右都是递增的,理由如下:nij mn显然,我们要证明数阵a中每一行的 个数从左到右都是递增的,我们只需证明,nij mn a an1,2,3, ,( 1)对于任意i 1,2,3,m,其中j.,都有iji( j1) a apq,若存在一组p(q1)a a1,2,3, ,m,i ,i , ,i 1,2, ,m,其中 k令,k (q1)ik(q1)12kt p a a.a aa则当时,都有i qi (q1)t(q1)p(