利用空间向量求空间角和距离

1、利用空间向量求空间角和距离夯基保分练1.如图所示，在正方体ABCD-AjBjCiDj中，已知M, N分别是BD和AD的中点，iJBjM与DjN所成角的余弦值为(八0CC. i0解析：选C建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 Bj(2,2,2) , M(i,i,0), Di(0, 0,2), N(i,0,0), . BUM = (T,i, 2), DiN=(i,0, 一2),BiM与DjN所成角的余弦值为. |BiM DiN|I 1 +|bM|d：n| = + i + 4* 4斤.30=i0 .2.如图，已知长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AD二AA函，AB= 3,AE

2、二%B,则DCi与平面DiEC所成角的3E为线段AB上一点，且正弦值为()22B-7,12解析：选A如图，以D为坐标原点，DA, DC , DD i所在直线分另1J为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则Ci(0,3,i),Di(0,0,i),E(i,i,0), iC(0,3,0), .DCi = (03i), DiE=(i,i, - i), DiC= (0,3,-i).设平面DiEC的法向量为n=(x, v, z),n DiE= 0,n DiC= 0,x+y一z= 0,取 y=i,得 n=(2,i,3).3y一 z= 0,一DCn335 一 35 ,岭与平面DEC所成的角的正弦值为 噜.3.

3、在正方体ABCD -AjBjCiDj中，点E为BBj的中点，则平面AED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为A.2解析：选B以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设棱长为i,则 Ai(0,0,i),0,i, D(0,i,0), AiD = (0,i ,i),V一z=O, 即.i送,y=2,ni=(i,2,2). z=2,iAiE= i, 0, -2 ,y,设平面AiED的一个法向量为ni=(i, y, z),n iD =0, 则ni AE =0,又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,i),22 cos = = 3.a I 34.如图，正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长

4、都相等,E,F, G分别为AB,AAi, AiCi的中点，则BiF与平面GEF所成角的正弦值为A.5D.智解析：选A设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA, DB, DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示,如5,2), F(i,0,i),*E2.乎,0 , G(0,0,2),即平面AiED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为bTf =(i, - V3, - i), eF = 2,兴 i , GF = (i,0, - i).设平面GEF的法向量n=（x, v, z）,13 则 EF n=0,GF n= 0,即 2x-2y+z=xz= 0,取 x=

5、 1,则 z= 1, y=故n=(1, 43, 1)为平面GEF的一个法向量, TOC o 1-5 h z 1313、所以 cosn, B F= f=二，5X 55所以BF与平面GEF所成角的正弦值为3.5（多选）（2019浙江高考改编）设三棱锥V-ABC的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是 棱VA上的点（不含端点）.记直线PB与直线AC所成的角为“，直线PB与平面ABC所成的角为3,二面角p-ac-b的平面角为则 3, 丫大小关系正确的是（）D.泞3C. y 3解析：选AC过B作直线l / AC,过P作底面ABC的垂线PD,D为垂足，过D作DF AB于F,作DE l于E,连接AD, BD,

6、PF, PE. 由题意可知，二面角P-AC-B的大小与二面角P-AB-C的大小相等, 结合空间角的定义知/ PBE=5, / PBD=3, / PFD二% 在 RtAPEB 与 RtAPDB 中，由 PEPD 得 sin ?sin 3, aH ”，3均为锐角）.故A正确，B错误；在 RtAPDB 与 RtAPDF 中，由 PBPF 得 sin 3V sin它黄& 丫均为锐角）.故C正确；由于不存在PB=PF的可能，故D错误.（多选）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC = AA1 = 2, / ACB二 京, TOC o 1-5 h z Si B90, D, E, F分别为AC,

7、 AA1, AB的中点.则下列结论正确的是（）送AC1与EF相交广B1C1 /平面 DEF屏EF与AC 1所成的角为90D.点B1到平面DEF的距离为3,2解析：选BCD对选项A,由图知AC1?平面ACC1A1, EFA平面ACC1A1上，且E?AC1.由异面直线的定义可知AC1与EF异面，故A错误；对于选项B,在直三棱柱ABC-A1BQ中,B1C1/BC.D, F分别是AC, AB的中点, .FD / BC, BQ” FD.又BQ?平面DEF, DF?平面DEF,对于选项C,由题意，建立如图所示的空间直角坐标系,贝|JC(0,0,0), A(2,0,0), B(0,2,0), A；(2,0,

8、2), Bi(022),Ci(0,0,2), D(1,0,0), E(2,0,1), F(1,1,0).,BiCi/平面DEF .故B正确;IF =(-1,1, -1), AC八二(-2,0,2)._?EF AC i = 2+ 0 2=0, EF _L AC i, EF与ACi所成的角为90。.故C正确；对于选项D,设向量n=(x, y, z)是平面DEF的一个法向量.-Df= (1,0,1),东二(0,1,0),n E)E , ，由n DF ,n DE = 0,cn DF = 0,x+ z= 0, 得1, n=(1,0, 设点B1到平面DEF的距离为d.取 x=1,贝 U z=-1),又.D

9、B1 =(-1,2,2),.|DB1 n| |-1 + 0-2| 3八2-d二|n| 二啦二2 二点81到平面DEF的距离为平,故D正确.故选B、C、D.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2,二面角B-AA1-C1的大小为60,点B到平面ACCA 1的距离为加，点C到平面ABB1A1的距离为2g则直线BC1与直线AB1所成角的正切值为.解析：由题意可知，/ BAC=60,点B到平面ACC1A1的距离为们点C到平面ABB1A1的距离为2m,由于侧面和底面垂直，由面面垂直的性质定理可得,C到AB的距离为2g所以在三角形ABC中，AB=2, AC=4, BC=2/3, Z ABC=90,则

10、AB1 BC1 =(Bb1-BA ) (BEh + _BC ) = 4,|AB |=2 2,|bc：|=4,cos AB： BC： ,sin AB： BC：故 tan AB：, BC：=中答案：7如图，菱形ABCD中，/ABC=60, AC与BD相交于点O, AEL平 面ABCD, CF/AE,AB=2, CF=3.若直线OF与平面BED所成的角为45,则AE二.r /II 1解析：如图，以。为坐标原点，以OA, OB所在直线分别为x轴，y轴，以过 点O且平彳T于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设 AE=a,则 B(0,小，0), D(0, -3, 0), F(-i,0,3), E(i,0

11、, a), .OF =(-i,0,3),D)B=(O,23, 0),亩=(i,小,-a).设平面 BED 的法向量为 n=(x, y, z),八 777 c n DB =0,2V3y =0,n Bc= 0, x + y3y az= 0,则 y = 0,令 z= i,得 x= - a,-n=(-a,0,i),-J-八cos n, OF n OF a+ 3|n|OF* 匹 直线OF与平面BED所成角的大小为45,|a+3| 二也a2+ i x 阮一21 .解得a=2或a= 2(舍去)，AE = 2.答案：2如图，已知四棱锥P -ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB/CD ,且 ACBD, AC

12、与 BD 交于 O, POL 底面 ABCD, PO=2, AB= 2-/2,巳/iVF分别是AB, AP的中点，则二面角F -OE -A的余弦值为.A L 8解析：以O为坐标原点，OB, OC, OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,/ / i YJF I 由题知，OA=OB=2, F贝lj A(0, 2,0), B(2,0,0), P(0,0,2E(1 , 1,0), F(0, 1,1), OE fECO=(1 , 1,0), OF =(0, 1,1),设平面OEF的法向量为mn=(x, y, z),m OE = 0, x y= 0则一二c即0.m OF

13、 = 05令 x= 1,可得 m=(1,1,1).易知平面OAE的一个法向量为n=(0,0,1),m n 3贝 U cosm n二二J-|m|n| 3 -由图知二面角F-OE-A为锐角，所以二面角F-OE-A的余弦值为答案：3(-题两空)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD，底面ABCD，侧棱FA=PD=*, FAXPD，底面ABCD为直角梯形，其中 夕仆 BC/AD, ABXAD, AB二BC=1,。为 AD 的中点. if O(1)则直线PB与平面POC所成角的余弦值为、(2项点到平面PCD的距离为.解析：在 PAD中，PA=PD,。为AD的中点， POLAD.又侧面PAD,底面A

14、BCD,平面PAD n平面ABCD二AD, PO?平面PAD,POL平 面ABCD.在 APAD 中，PAXPD, PA二PD 二成，AD = 2.在直角梯形ABCD中，。为AD的中点，OAWCH, OCXAD. TOC o 1-5 h z 以0为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立 空间直角坐标系，如图广所示，贝 IJP(0,0,1), A(0, -1,0), B(1, -1,0), C(1,0,0), D(0,1,0), =守十咨:JMT n/ X(1, T, 1).，, . OAXOP, OAXOC, OPnOC=O, . OAL 平面 POC. Lc

15、os品，C)A PB OA 亚PPB II6AI 3 - PB与平面POC所成角的余弦值为乎.(2)PB =(1 , 1 , T),设平面PCD的法向量为u=(x, v, z),u CP = x+ z=0,则u PD = y z= 0.取z=1,得u=(1,1,1).厂则B点到平面PCD的距离d=i吧_u|二 TOC o 1-5 h z |u|3 -答案:0) 36(2) 3311. (2019全国卷n )如图，长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正 r n AM = 0所以 n=(2,1,x=2,2x+ 4y= 0,10y+2z=0,令 y_|, 得5)为平面MAC的一个法向量.

16、设直线BP与平面MAC所成的角为 也则 sin 0=IP n |4+2-10| y/w 即 l|n| 2M 痂一15故直线BP与平面MAC所成角的正弦值为,10TT.B级-提能综合练13 . (2018 全国卷 n 改编)在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=BC=1, AA1 = V3，则异面直线AD与DB1夹角的余弦值为（A.5解析：选C法以D为坐标原点，DA, DC, DDj所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0), A(1,0,0), Di(0,0,a Bi(l,l,阿所以 ADi 二(1,0,，3), DBi a(1,1,设异面直线ADi与DBi的

17、夹角为则cos,77八1 + 3_ V5二cosAD i, DB i、 = 1-5 + 341 + 1+35 .法二：如图，连接AiD交ADi于点E.1 取AiBi中点F,连接EF，则EF触BjD，连接DjF，在 DFE中，/DjEF为异面直线ADj与DBj的夹角.由已知 EF=；DB i二呆仔+12+ y3 2=-25,DiE= ； ADi=1, D|F=aJi2+ 1 2 =乎, 所以 cosZ DiEF =EF2+ED2DiF2 一亚14 .如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E为BC的中点，点P在线段DE上，点P到直线CCi的距离的最小值为.解析：如图，过E作EEiB

18、iCi于Ei,连接DiEi,过P作PQL DEi于Q,在同一 个平面 EEiDi 内, EEixEiDi, PQXDiEi,所以 PQ / EE、又因为 C EEi，所以 CCi / PQ，因为CCi，平面AiBi CiDi,所以点P至jCCi的距离就是QCi的长 度，所以当且仅当CiQXDiEi八 CiDi C1E1史2厂时，所求的距离最小值为CiQ=F =； tf = 5血15 .已知在四棱锥P-ABCD中，平面PDCL平面ABCD, AD DC ,AB / CD , AB = 2, DC = 4, E 为 PC 的中点，PD= PC, BCJ=2 2.求证：BE/平面PAD;若？8与平面

19、ABCD所成角为45，点P在平面ABCD 上的射影为。，问：BC上是否存在一点 F,使平面POF与平面PAB所成的角为60 ?若存在，试求点F的位置；若不 存在，请说明理由.解:(1)证明：取PD的中点H,连接AH, EH,则EH / CD,I-11又 AB/CD, AB=gCD = 2,；4EH /AB,且 EH = AB,，四边形ABEH为平行四边形，故BE/ HA.又BE?平面PAD, HA?平面PAD ,BE/ 平面FAD.(2)存在，点F为BC的中点.理由：二平面PDCL平面ABCD, PD = PC,作POXDC,交DC于点 O,连接OB，可知。为点P在平面ABCD上的射影，则/

20、PBO = 45 .由题可知OB, OC, OP两两垂直, 以。为坐标原点，分别以OB, OC, OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz,由题知 OC = 2, BC=2V2,OB=2,由/PBO=45，可知 OP=OB = 2, . P(0,0,2), A(2, 2,0), B(2,0,0), C(0,2,0).设 F(x, v, z), BF = XBC ,则(x2, y, z)= 乂一 2,2,0),解得 x= 2 2 入 y=2 % z= 0, 可知 F(2-2X, 2 % 0),设平面PAB的一个法向量为m= (x , yi, zQ, PA =(2, 2, -2)

21、,芯二(0,2,0),m PA = 0,2x1-2y1-2z1=0,得_.2y= 0,m AB = 0,令4=1,得 m= (1,0,1).设平面 POF 的一个法向量为 n=(x2, y2, z2), . OP =(0,0,2), OF =(2-2 Z, 2Z, 0),n OP = 0,2z2= 0, 得 2 1x2+2X2=0,n OF = 0n,令y2= 1,得n=J1, 0 .人一 I - cos 窕=0二产1 + 1解得仁2,可知当F为BC的中点时，两平面所成的角为60拔高创新练16.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD / BC, ABXBC,AB = V3, BC=2AD=2, E 为 CD 的中点，PBXAE.证明：平面PBDL平面ABCD;兀、r、一 若PB=PD, PC与平面