中考数学第1编教材知识梳理篇第8章圆第22讲圆的有关性质精讲试题

1、第八章圆第二十二讲圆的有关性质，考标完全解读）考点考试内容考试要求.圆的相关概念圆的定义理解弦、弧、圆心角的定义理解圆的对称性了解圆的有关性质及定 理垂径定理掌握圆周角定理了解弦、弧、圆心角之间的关系了解圆内接四边形的性质了解，感受宜宾中考)1.(2016宜宾中考)在平面直角坐标系内，以点P(1, 1)为圆心，5为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是(0 , 3)或(0, - 1)_(2015宜宾中考)如图，AB为。0的直径，延长 AB至点D,使BD- OB DC切。0于点C,点B是CF的中点，弦 CF交AB于点E,若。0的半径为2,则CF= _2内,核心知识梳理)与圆有关的概念及其性质.圆的定

2、义(1)到定点距离相等的所有点构成的图形叫做圆；(2)在一个平面内，线段 OA绕着它固定的一个端点。旋转一周，另一个端点 A所形成的图形叫做圆.固定的端点。叫做.圆心 ,线段OA叫彳故半径 .圆心确定圆的 位置_,半径确定圆的 大小.圆心相同的圆叫做同心圆，能够重合的两个圆叫做等圆.圆的有关概念(1)弦：连接圆上任意两点的线段；(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；(3)弧：圆上任意两点间的部分.【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧.圆的对称性(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线 都是圆的对称轴.(2)圆是中心对称图形，对称中心是圆心 .垂径定理及其推论.垂径定理：垂直于弦的直径

3、平分弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理的推论：(1)平分弦(.不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦及其所对的一条弧的弦经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧；(4)圆的两条平行弦所夹的弧 相等_.垂径定理及其推论的延伸.根据圆的对称性，如图，在以下五条结论：Ab=BC；ADlBDa巳be；ab，cdcd是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”.【针对练习】已知，AB是。0的直径，弦CDAB于点P,CD= 10cmAP：PB= 1 ： 5,则。0的半径为35cm.垂径定理的应用用垂径定理进行证明或

4、计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、a、半径r、弦心距d及弓形高h四者之间就可弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长 以做到“知二求二”.【针对练习】13=cm一 4 -如图，一个宽为2 cm的刻度尺（刻度单位：cm）,放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切,另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9,那么玻璃杯的杯口外沿半径为弦、弧、圆心角之间的关系.定理：在 一同圆 或一等圆 中，相等的圆心角所对的弧一相等,所对的弦也 相等.推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等,所对的弦 相等;在同圆或等圆

5、中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 相等_,所对的弧相等_.【针对。练习】如图，在。o中，已知BD=CE,那么图中共有_4_对全等三角形.圆周角定理.圆周角的定义：顶点在 _ _上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的半_.推论：(i)同弧或等弧所对的圆周角 _叫等一(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对的弦是直径.【针对练习】如图，在。0 中，AD是直径，/ ABG= 40 ,则/CAD= 50 _.圆内接四边形的性质14.圆内接四边形的对角 互补_,它的任意一个外角等于这个角的一对角,重点难点解析）有关圆中圆心角与

6、圆周角的计算【命题规律】考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用.基础题目，以填空、选择题的形式出现.【例1】（2017招远期中）如图，。直径为10CE两条直径AB,CD相交成90角./ AOB50, OF是/BOE的平分线.求圆心角/ COF的度数.1-【解析】由平角的定义得到/ BOE= 130 ,由角平分线的定义得到/ BOF= 2/BOE= 65 ,于是得结论.【答案】解：AOB= 180 , / AOE= 50 ,./ BOE= 13。 ,.OF是/ BOE的平分线，1./ BOF= 2/ BOE= 65 ,.两条直径 AB CD相交成90角，./ COF= 90 -65 = 25 .【

7、针对训练】1. （2017青岛中考）如图，AB是。0的直径，C D, E在。0上，若/ AED= 20 ,则/ BCD的度数为（ B ）A. 100B. 110C. 115 D. 120,（ 第 1 题图 ）,（ 第 2 题图 ）.（泰安中考）如图，点 A, B, C是。0上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF，OC交。0于点F,则BAF 等于 （ B ）A 12.5 B. 15 C. 20 D. 22.5 .如图，点A,B,C在。0上，切线CD与OB的延长线交于点D.若/A= 30 ,CD= 2y3,则。0的半径长为2_,垂径定理【命题规律】考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是

8、中考的热点.题目以填空、选择题的形式出 现.【例2】如图，O O的直径AB垂直于弦CD,垂足为巳B之2 cmj CD= 6 cm,求直径AB的长._ 1 ，.【解析】连接 OC由垂径定理可知 CP= 2CD= 3,设半径为r,由勾股定理可求出 r的值.【答案】解：连结OC. OBL cq。为圆心，1.CP 2CD= 3,设 QC= QB= r,。之r -2,在RtA QCP中，由勾股定理得:（r 2）2+32= r2,13 .=不. .直径 AB= 2r =13万.【针对训练】4.如图，在。0确的是（D ）中，AB是直径，C虚弦，AB C口 垂足为 E,连结 CQ AD, / BAD= 20,

9、则下列说法中正A AD=2QBB. CE= EQ/ QCE= 40Z BQC= 2/BAD,（第4题图）,（第5题图）.如图，AD和 AC分别是。0的直径和弦，且/ CAD=30,OBLAD,交 AC于点B,若OB= 3,则BC=3_.已知。0的半径为13cmj弦AB/ CDAB= 24cmCD= 10cm则AB,CD之间的距离为（D ）A. 7 cm B. 17 cmC. 12 cm D. 17 cm或 7 cm圆的性质的综合应用【命题规律】考查利用圆的性质解决问题的能力.题目以解答题形式出现较多.【例3】（2017崇左中考）如图，AB是。0的直径，AC, BC分别与。0相交于点D, E,连

10、结DE现给出两个命题：若AC= AB,则DCE若/C= 45 ,记4CDE的面积为Si,四边形DABE勺面积为 &,则那么()A是真命题，是假命题B.是假命题，是真命题C.是假命题，是假命题D.是真命题，是真命题【解析】根据等腰三角形的性质得到/ C= BB,根据圆内接四边形的性质得到/ B= ZCDE根据等腰三角形 的判定判断；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断.【答案】D【针对训练】7. (2017苏州中考)如图，已知 ABC内接于。Q AB是直径，点 D在。0上，DO/ BC,过点D作DEL AB,垂 足为E,连结CD交OE边于点F.(1)求证： DO9 AAB(C(2)求证：/

11、 ODF= / BDES 2.(3)连结OC设DOE的面积为Si,四边形BCOD勺面积为若厂=；,求sinA的值.区 7解：(1) .AB 是。0 的直径，/ ACB= 90 . DE ABDEO 90 , ./ DEO Z ACB. OD/ BC, / DO2 Z ABC .DO ABC.DOm AAB(C / ODP /A.一/A和/ BDC是BCW对的圆周角，A= /BDC/OD2 /BDC/ ODR /BDE生 DOE OD215。团MBC一 (由=4,即 SAAB(3= 4SaDOE= 4Sl .1 . OA= ORS BOC= 2sMBC即 Sa bo户 2Si. TOC o 1-

12、5 h z S2cc c cccc= , S = Saboc+ SadoetF Sadbe 2Si + Si + Sadbe,S271, S/ DBE=尹，.BE=产即 OE= 30B= |ODOE 2sin A= sin / ODE= od= 3.(2017武汉中考)如图， ABC内接于。O, AB= AC, CO的延长线交 AB于点D.(1)求证：AO平分/ BAC(2)若 BC= 6, sin / BAC= 3,求 AC和 CD的长.5解：（1）延长AO交BC于点H,连结BO. AB= AC, OB= OCA,。在线段BC的中垂线上,AO BC.X /AB= AC,AO平分 / BAC（

13、2）过点D作DO AO于K.由（1）知 AOLBC OB= OC BC= 6,11B+ C+ 2BC= 3, / CO阵/BOG.1/ BAC= 2/ BOC / CO母 / BAC.HC在 RtA COHP, / OHC= 90 , sin Z COH=mCO. CH= 3,sin Z COH=祟3, . CO= AO= 5.CO 5,. CH= 3,OH= CHC =（52 32 = 4.AH= AO+ OH= 5+4=9,tan / COH= tan / DOK= 3.4在 RtACH中，Z AHC= 90 , AH= 9, CH= 3, 一 CH 3 .tan/CA用 AH= 9AC=

14、 A行+HC= 92+ 32= 3 10.由（1）知/COH= Z BOH tan / BAH= tan Z CAH= 1.3设 DK= 3a.在 RtADK中，tan / BAH= 1.3,3在 RtA DOK中,tan / DOK= 4.OK= 4a, DO= 5a, AK= 9a,AO= OQ AK= 13a= 5.525行D氏5仃CD= OCF OD= 5+ 25=, 13 13AC=3x/10, CD=9.13，当堂过关检测）.同圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是（A ）A/： 1 B, 73： 1 C. 2： 1 D. 3: 1.已知：如图，四边形 ABC皿。0的内接正方形

15、，点 P是劣弧CD上不同于点 C的任意一点，则/ BPC的度 数是（A ）A. 45B, 60C. 75D. 90,（第2题图）,（第3题图）.如图，CD是。0的弦，点P在弦CD上，过点P作PLOP交。0于点A,已知，CP=2 cm P又8 cm 则PA= 4cm3.如图，已知 AB是。0的直径，弦 BC=9,连接AC, D是圆周上一点，连接 DR DQ且tan/BDG=-,求4OO的直径AB的长.解：:AB为。0的直径,.Z ACB= 90 ./ BC /3tan Z BAC= tan Z BDG=.AC4AC=12,AB= Ad+Bd=122 + 92= 15.5.如图是一块车轮碎片的示意图，点O是这块轮片的圆心， AB= 24 cm, C是弧AB上一点，Od AB,垂足为D, CD= 4 cm求原轮片的半径.1解：在 RtOA计，设半径是 x,贝U OA= x, OD= x-4, AD-AB= 12.根据勾股定理定理得到：x2=(x -4) 2+ 122,解得x=20.所以原轮片的半径