13、极值点偏移和拐点偏移

1、2极值点偏移和拐点偏移及其应用知识点睛罗尔定理：若函数f(x)是连续且可导的，若f(a)=f(b)，则一定存在x在(a,b)内,0使得f(x)二0成立。0产生原因：函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。极值点x偏左：极值点附近图像左陡右缓，f(x)=f(x)，则x+x2x,x=012120 x1+x2处切线与x轴不平行若f(x)上凸(f(x)递减)，则f(x1+x22)Vf(x0)=0，若f(x)下凸f(x)递增)，则f(x1+x22)f(x)=00极值点x0偏右：极值点附近图像左缓右陡x1+x20处切线与x轴不平行f(xi)=f(x2)，则xi+x2V2x0，x=若f(

2、x)上凸(f(x)递减)，则f(x1+x22)fz(x0)=0，若f(x)下凸f(x)递增)，则f(x1+x22)Vf(x)=00方法介绍：齐次构造、对称构造、比值代换二、题型总结：题型一：齐次构造：x通过构造x+x、x-x和f,在结合对数平均不等式和指数平均不等式，解决证明极1212x值点偏移问题的方法。对数均值不等式,77I2x一xx+xI2I2lnx一lnx2I2指数均值不等式e于exi空n应用于上式，有由(心花)-2F；心2.工8对于左边，应用均值不等式，有ln(jrir2)24+花V|n(jj综合以上两式可得Ind如:2,由于1心矗=2十沁f氛而歯数y二半为R+上的单调递增函数，因此

3、JT1X12誉，原命题得证.例2:(2010年沃津理己知函数代眄=跨r硒戢#=切列与函数的窗験关于直线工三1称.1)证明：弩工AI附贰町；(2)対集工尹至鱼虫眄=几孔)，UE明：可+叱a2:1:/=:1:、U科当X支忧时,f；：.:fx)的变牝情况如F表i也a|ifM+&-fkJ所亂f:、fl阿“内是增屈熱:门砒)内是磁函数曲数f：；iTzI址取得极大値f且f-:.主窖2口1-.：.=：M：.心FI：=：；:、-：|.：；=p:；.：,.OdM而函数F(小住h+g是増函数.J.：=t1L=i:f：n.!,x：i.t-：-：.：I:1-；:小:h.:若馆-)甩_p=u由T.?：.!：.-IIh岸

4、。:J2-;tj.即血+叼2.题型二：对称化构造：1构造函数F(x)=f(x)-f(2x-x)(xx)002对函数F(x)求导，判断导数符号，确定F(x)的单调性结合F(x)=0，判断F(x)的符号，确定f(x)与f(2x-x)(xx)的大小关系000由f(x)=f(x)f(2x-x)，得f(x)f(2x-x，得f(xf(2x-x1202102结合f(x)单调性得x2x-x或x2x或x+x2x102102120120例已知函数f（x）=xInx与直线y二m交于A（x,y）、B（x,y）两点11221）求证：0 xx丄;12e2(2)求证：2x+x1；e12匕蔬43皿C,1帆、f笳Lft仪f加1

5、十Xx-产1：卞V_U*_7_Z卜沪4+仏其（风介+【诃cZ-(GL4?UhtXvV苦证明：（i）f（x）=Inx+1，得f（x）在（0,）上递减，在（，+s）上递增;ee当0 x1时，f（x）1时，f（x）0；当时，门门T（洛必达法则）；小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：第一步：求导，获得的单调性，极值情况，画出的图像，由得,的取值范围(数形结合)；第二步：构造辅助函数(对结论，构造F(x)二f(x)-f(2x0-x)；对结论，：IX|,构造F(x)=f(x)-f(M)，求导，限定范围(或的范围)，x判定符号，获得不等式；第三步：代入x(或x)，利用f(x)二f(x)

6、及f(x)的单调性证明最终结论.1212例已知函数f(x)=x-Inx，若两相异正实数x、x，满足f(x)=f(x)，1212求证：f(x)+f(x)012思路分析：解：I人1/(j|p)=jt；)11.r河iIT/气心一l._域E,所fCl、I调川减.eCl.400I.f.调谨増*1人1.也|”圣=化也J所l：A可-f-1V，匕I川I.”I-：2ri.ril-ZitLi)1)tk=1.jIIVn所以ii_-rlIa;d|.丄.|1炒|.|Ffbr)I_oI-1L212e生4x比值代换法引入一个变量7二t，结合题目所给条件解出xx，把所要证明的多变量不等x1、22式转化为单变量t的不等式，构造

7、函数g(t),不等式变为g(t)0或者g(t)VO,求出g(t)的最值即得到证明.例函数f(x)=2lnx-ax+1,x、x(x0，求f(x)的单调区间；求证：f(xi+2x2)0r/V=f-90令/(j：)=y-(1=0，计算得出T=亍目当肛U,H门+)时，fV)(I,可得n.rLr1Ht2bnr-2fJJ-2I1=0,2hixi2hi:i,：2.r-l-例5:已知函数f口），X*）在oTl）上单调递増5（1）=一M）OJ/（j；）_Ia:当尝F（0：L）时,V（L二只店）在（0J）递减l疎（1.18）时,厂3）D,.十）在i-oo）递増,-V(3?)rFx_I处取得唯最JI值/(l)=0.L.L/(xr0=/,nT,.L(p*1)jg炸IL+oo).L丿（Q）=（11白苗=加姑,j：i-j/(1)=(1:Ei)；TA1=(：5l1)衍临1J工1丄1笛=“：I,nL/（2）心：）在（丄：十叱）上单调递增且13T31J11心”运|十工乜：|迟II+Hu2.例10:BfflKx)-inx-的两个零点为巧,工2,记M的导函数为f,求证:XTOC o 1-5 h z