培优平行四边形辅导专题训练

1、一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.如图（1）在正方形ABCD中，点E是CD边上一动点，连接AE,作BF丄AE,垂足为G交AD于F（1）求证：AF=DE；（2）连接DG,若DG平分ZEGF,如图（2），求证：点E是CD中点；（3）在（2）的条件下，连接CG,如图（3），求证：CG=CD./Fmme【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）CG=CD，见解析.【解析】【分析】（1）证明BAF竺ADE（ASA）即可解决问题.（2）过点D作DM丄GF，DN丄GE，垂足分别为点M,N.想办法证明AF=DF，即可解决问题.（3）延长AE,BC交于点P,由（2）知DE=CD，利用直角三角形

2、斜边中线的性质，只要证明BC=CP即可.【详解】（1）证明：如图1中，Si在正方形ABCD中，AB=AD,ZBAD=ZD=90o,Z2+Z3=90又:BF丄AE,.ZAGB=90.Z1+Z2=90，.Z1=Z3在厶BAF与厶ADE中,Z1=Z3BA=ADZBAF=ZD，BAF竺ADE(ASA)AF=DE.(2)证明：过点D作DM丄GF,DN丄GE,垂足分别为点M,N.由(1)得上1=Z3,ZBGA=ZAND=90,AB=AD.BAG竺ADN(AAS)AG=DN,又DG平分ZEGF,DM丄GF,DN丄GE,DM=DN,DM=AG，又ZAFG=ZDFM,ZAGF=ZDMFAFG竺DFM(AAS),

3、AF=DF=DE=1AD2即点E是CD的中点.(3)延长AE,BC交于点P,由(2)知DE=CD,ZADE=ZECP=90,ZDEA=ZCEP,ADE竺PCE(ASA)AE=PE,又CEIIAB,.BC=PC,在RtABGP中，TBC=PC,.CG=1BP=BC,2.CG=CD.【点睛】本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质定理,直角三角形斜边中线的性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,属于中考压轴题.ME8E圈32.已知ZAOB=90。，点C是ZAOB的角平分线OP上的任意一点，现有一个直角ZMCN绕点C旋转，两直角边CM,CN分别与直

4、线OA,OB相交于点D，点E.(1)如图1,若CD丄OA，猜想线段OD，OE，OC之间的数量关系，并说明理由.(2)如图2,若点D在射线OA上，且CD与OA不垂直，则(1)中的数量关系是否仍成立？如成立，请说明理由；如不成立，请写出线段OD，OE，OC之间的数量关系,并加以证明.(3)如图3,若点D在射线OA的反向延长线上，且OD=2,OE=8，请直接写出线段CE的长度.【答案】(1)详见解析；(2)详见解析；(3)J齐解析】分析】先证四边形ODCE为矩形，再证矩形ODCE为正方形，由正方形性质可得；(2)过点C作CG丄OA于点G,CH丄OB于点h，证四边形OGCH为正方形，再证ACGD二AC

5、HE(ASA)，可得；(3)根据ACGD二ACHE(ASA)，可得OE-OD=OH+OGf2OC.详解】解：（1）ZAOB=90。,ZMCN=90。,CD丄OA,四边形ODCE为矩形.OP是ZAOB的角平分线，上DOC=ZEOC=45。,OD=CD,.矩形ODCE为正方形，.oc二J2od,oc二j2oe.OD+OE=-2OC.如图，过点C作CG丄OA于点G,CH丄OB于点h,OP平分ZAOB,ZAOB=90。,.四边形OGCH为正方形，由(1)得：OG+OH=、辽OC,在HCGD和ACHE中，ZCGD=ZCHE=90。CG=CH,ZDCG=ZECHACGD=ACHE(ASA),.GD=HE，

6、.OD+OE=41OC.OG+OH=J2OC,ACGD=ACHE(ASA),.GD=HE.OD=GDOG,OE=OH+EH,.OEOD=OH+OG=42OC,.OC=3j2,.CE=.,：r34,ce的长度为34.3.（感知）如图，四边形ABCD、CEFG均为正方形.可知BE=DG.（拓展）如图,四边形ABCD、CEFG均为菱形，且/A=ZF.求证：BE=DG.（应用）如图，四边形ABCD、CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线上.若AE=2ED,ZA=ZF,EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是.（只填结【答案】见解析【解析】试题分析：探究：由四边形ABCD、四边形CEFG均为菱

7、形，利用SAS易证得BCE竺DCG，则可得BE=DG；应用：由ADIIBC，BE=DG，可得S“be+Sacde=Sabec=Sacdg=8,又由AE=3ED，可求得CDE的面积，继而求得答案.试题解析：探究：T四边形ABCD、四边形CEFG均为菱形，BC=CD，CE=CG，ZBCD=ZA，ZECG=ZF.TZA=ZF，.ZBCD=ZECG.ZBCD-ZECD=ZECG-ZECD，即ZBCE=ZDCG.在厶BCE和厶DCG中，一BC=CDvZBCE=ZDCGCE=CG.BCE竺DCG(SAS)，.BE=DG.应用：T四边形ABCD为菱形,.ADIBC，=8，TBE=DG，Saabe+Sacde

8、=Sabec=SacdgTAE=3ED，.S=1x8二2CDE4.S=S+S=10ECGCDECDG.S=2S=20.菱形FGECG4.如图，现将平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B处.AB与CD交于点E求证：AEDCEB；过点E作EF丄AC交AB于点F,连接CF,判断四边形AECF的形状并给予证明.答案】(1)见解析(2)见解析解析】分析】(1)由题意可得AD=BC=BC,ZB=ZD=ZB,且/AED=ZCEB，利用AAS证明全等，则结论可得；(2)由厶AEDCEB可得AE=CE，且EF丄AC，根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC，ZAEF=ZCEF.即AF=CF，ZCE

9、F=ZAFE=ZAEF，可得AE=AF，则可证四边形AECF是菱形.【详解】证明：(1)T四边形ABCD是平行四边形AD=BC,CDIIAB，ZB=ZDT平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BC=BC,ZB=ZBZD=ZB,AD=BC且ZDEA=ZBECADE竺BEC(2)四边形AECF是菱形TADE竺BEC.AE=CETAE=CE,EF丄AC.EF垂直平分AC,ZAEF=ZCEFAF=CFTCDIABZCEF=ZEFA且ZAEF=ZCEFZAEF=ZEFAAF=AEAF=AE=CE=CF.四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟

10、练掌握这些性质和判定是解决问题的关键.5.在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,连接DF(1)说明BEF是等腰三角形；2)求折痕EF的长.15【答案】(1)见解析；(2).【解析】【分析】根据折叠得出ZDEF=ZBEF,根据矩形的性质得出ADIIBC,求出/DEF=ZBFE,求出ZBEF=ZBFE即可；过E作EM丄BC于M,则四边形ABME是矩形，根据矩形的性质得出EM=AB=6,AE=BM,根据折叠得出DE=BE,根据勾股定理求出DE、在RtAEMF中，由勾股定理求出即可.【详解】(1)现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,ZDEF=ZB

11、EF.T四边形ABCD是矩形，ADIIBC,二ZDEF=ZBFE,二ZBEF=ZBFE,二BE=BF，即BEF是等腰三角形；(2)过E作EM丄BC于M,则四边形ABME是矩形，所以EM=AB=6,AE=BM.T现将纸片折叠，使点D与点B重合，折痕为EF,DE=BE,DO=BO,BD丄EF.四边形ABCD是矩形，BC=8,AD=BC=8,ZBAD=90.25在RtAABE中，AE2+AB2=BE2，即（8-BE）2+62=BE2，解得:BE=严E=BF,AE=8-DE=8-ID；15在RtAEMF中，由勾股定理得：EF八.上一：15故答案为：-本题考查了折叠的性质和矩形性质、勾股定理等知识点，能

12、熟记折叠的性质是解答此题的关键6（1）问题发现：如图，在等边三角形ABC中，点M为BC边上异于B、C的一点，以am为边作等边三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为;（2）深入探究：如图，在等腰三角形ABC中，BA=BC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作等腰三角形AMN,使/ABC=ZAMN，AM=MN，连接CN，试探究ZABC与/ACN的数量关系，并说明理由；（3）拓展延伸：如图，在正方形ADBC中，AD=AC，点M为BC边上异于B、C的一点，以AM为边作正方形AMEF，点N为正方形AMEF的中点，连接CN,若BC=10，CN=J2，试求EF的长.图1凱图2丑【答案】（1）

13、NCIIAB；理由见解析；（2）ZABC=ZACN；理由见解析；（3）；【解析】分析：（1）根据ABC，AMN为等边三角形，得到AB=AC，AM=AN且ZBAC=ZMAN=60从而得到ZBAC-ZCAM=ZMAN-ZCAM，即ZBAM=ZCAN，证明BAM竺CAN，即可得到BM=CN.（2）根据ABC，AMN为等腰三角形，得到AB：BC=1：1且ZABC=ZAMN，根据相似ABAC三角形的性质得到二，利用等腰三角形的性质得到ZBAC=ZMAN，根据相似三AMAN角形的性质即可得到结论；（3）如图3,连接AB，AN，根据正方形的性质得到ZABC=ZBAC=45，ZMAN=45，根据BMAB相似三

14、角形的性质得出二，得到BM=2,CM=8，再根据勾股定理即可得到答案.CNAC详解：(1)NCIIAB，理由如下：TABC与厶MN是等边三角形，AB=AC,AM=AN,ZBAC=ZMAN=60,ZBAM=ZCAN,在厶ABM与厶ACN中，AB=ACZBAM=/CAN,AM=AN.ABM竺ACN(SAS),.ZB=ZACN=60，TZANC+ZACN+ZCAN=ZANC+60+ZCAN=180，.ZANC+ZMAN+ZBAM=ZANC+60+ZCAN=ZBAN+ZANC=180.CNIAB；ZABC=ZACN,理由如下：ABAMT=1且ZABC=ZAMN,BCMN.ABCAMN.AB=ACAMA

15、N,TAB=BC，1.ZBAC=2(180-ZABC),TAM=MN1.ZMAN=2(180-ZAMN),TZABC=ZAMN，.ZBAC=ZMAN，.ZBAM=ZCAN，:.ABMAACN,.ZABC=ZACN；如图3，连接AB，AN，T四边形ADBC，AMEF为正方形，.ZABC=ZBAC=45，ZMAN=45，.ZBAC-ZMAC=ZMAN-ZMAC即ZBAM=ZCAN,AB=AM=ABACAMAN,ABMAACNBM_ABCNACCNBMACAB=cos45=2迈_42T.BM=2，.CM=BC-BM=8,在RtAAMC,AM.-AC2+MC2.102+82_2；4i,EF=AM=2而

16、.点睛：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、相似三角形的性质定理和判定定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键7.如图1,若分别以厶ABC的AC.BC两边为边向外侧作的四边形ACDE和BCFG为正方形，则称这两个正方形为外展双叶正方形发现：如图2,当/C=90。时，求证：ABC与厶DCF的面积相等.引申：如果/CH90时，(1)中结论还成立吗？若成立，请结合图1给出证明；若不成立,请说明理由；运用：如图3,分别以ABC的三边为边向外侧作的四边形ACDE.BCFG和ABMN为正方形，

17、则称这三个正方形为外展三叶正方形已知ABC中，AC=3,BC=4.当zC=。时，图中阴影部分的面积和有最大值是.【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）18.【解析】试题分析：（1）因为AC=DC,ZACB=ZDCF=90,BC=FC，所以ABdDFC，从而ABC与DFC的面积相等；（2）延长BC到点P,过点A作AP丄BP于点P；过点D作DQ丄FC于点Q.得到四边形ACDE,BCFG均为正方形，AC=CD，BC=CF，ZACP=ZDCQ.所以APCDQC.11所以ABC=SADFC；于是AP=DQ.又因为S“Bc=2BCAP，沐DFC=FCDQ,（3）根据（2）得图中阴影部分的

18、面积和是ABC的面积三倍，若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大，当ABC是直角三角形，即ZC是90度时，阴影部1分的面积和最大所以S阴影部分面积和Bc=3x2x3x4=18-（1）证明：在厶ABC与厶DFC中，AC=DCZACB=ZDCF，BC=FCABC竺DFC.ABC与厶DFC的面积相等;（2）解：成立.理由如下：如图，延长BC到点P,过点A作AP丄BP于点P；过点D作DQ丄FC于点Q.ZAPC=ZDQC=90.T四边形ACDE,BCFG均为正方形，.AC=CD，BC=CF，ZACP+ZPCD=90，ZDCQ+ZPCD=90，.ZACP=ZDCQ.ZAPC=ZDQCZA

19、CP=ZDCQ,AC=CDAPdDQC(AAS),.AP=DQ.1又TS“BC=2BCAP，1、DFC=2FCDQ，SBC=SADFC；（3）解：根据（2）得图中阴影部分的面积和是ABC的面积三倍,若图中阴影部分的面积和有最大值，则三角形ABC的面积最大,.OM=OF，当厶ABC是直角三角形，即/C是90度时，阴影部分的面积和最大.S阴影部分面积和Bc=3x2X3X4=18-考点：四边形综合题COA图1&正方形ABCD的边长为1,对角线AC与BD相交于点0,点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.当AD=20F时，求出x的值；把线段CE绕点

20、E顺时针旋转90,使点C落在点P处，连接AP，设厶APE（1）如图1（2）如图2的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出S的最大值.【答案】（1）x=-1；111（2）S=-（x-）2+（0VxV1）,11当乂=时，S的值最大，最大值为，-【解析】试题分析：（1）过O作OMIIAB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到BF=BE=x,171-X72x-=求得OF=OM=二解方程：，即可得到结果；（2）过P作PG丄AB交AB的延长线于G,如图2,根据已知条件得到/ECB=ZPEG，根据1全等三角形的性质得

21、到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=：（1-x）x,根据二次函数的性质即可得到结论.试题解析：（1）过O作OMIIAB交CE于点M,如图1,OA=OC,.CM=ME，.AE=2OM=2OF，OMOFBF=BE=x,OF=OM=TAB=1,二-1-x.x=-1；叫4E5(2)过P作PG丄AB交AB的延长线于G,如图2,TZCEP=ZEBC=90,ZECB=ZPEG,TPE=EC,ZEGP=ZCBE=90,在厶EPG与厶CEB中，lcbe-LPGECEB-L.PECIPE-ECEPG竺CEB,.EB=PG=x,.AE=1-x,(x-)2+,(0VxV1),.当时，S的值最大，最大值为：，.

22、考点：四边形综合题9.已知ABC，以AC为边在ABC外作等腰ACD，其中AC=ad.（1）如图，若AB=AE,ZDAC=ZEAB=60。，求ZBFC的度数.（2）如图，ZABC=a，ZACD=卩，BC=4，BD=6.若a=30。，卩二60。，AB的长为.若改变a，卩的大小，但a+卩=90。，ABC的面积是否变化？若不变，求出其值;若变化，说明变化的规律.EBCBC【答案】（1）120；（2）2躬；2.5【解析】试题分析：（1）根据SAS,可首先证明AECABD，再利用全等三角形的性质，可得对应角相等，根据三角形的外角的定理，可求出ZBFC的度数；（2）如图2,在厶ABC外作等边厶BAE，连接C

23、E,利用旋转法证明厶EACBAD，可证ZEBC=90，EC=BD=6，因为BC=4，在RtABCE中，由勾股定理求BE即可；过点B作BEIIAH，并在BE上取BE=2AH，连接EA，EC.并取BE的中点K,连接AK，仿照（2）利用旋转法证明厶EACBAD,求得EC=DB，利用勾股定理即可得出结论.试题解析：解：(1)TAE=AB,AD=AC,TZEAB=ZDAC=60,ZEAC=ZEAB+ZBAC,ZDAB=ZDAC+ZBAC,ZEAC=ZDAB,AE二AB在厶AEC和厶ABD中ZEAC二ZBADAC二ADAEC竺ABD(SAS),.ZAEC=ZABD,TZBFC=ZBEF+ZEBF=ZAEB

24、+ZABE,.ZBFC=ZAEB+ZABE=120,故答案为120；(2)如图2,以AB为边在ABC外作正三角形ABE,连接CE.由(1)可知EAC竺BAD.EC=BD.EC=BD=6,TZBAE=60,ZABC=30,.ZEBC=90.在RTAEBC中，EC=6,BC=4,.EB=、：ec2BC2=*6242=2AB=BE=2、；5.若改变a,B的大小，但a+B=90,ABC的面积不变化，以下证明：如图2,作AH丄BC交BC于H,过点B作BEIIAH,并在BE上取BE=2AH,连接EA,EC.并取BE的中点K,连接AK.TAH丄BC于H,.ZAHC=90TBEIAH,.ZEBC=90TZEB

25、C=90,BE=2AH,.EC2=EB2+BC2=4AH2+BC2TK为BE的中点,BE=2AH,BK=AH.TBKIIAH,.四边形AKBH为平行四边形.又:ZEBC=90,.四边形AKBH为矩形.ZABE=ZACD,.ZAKB=90.AK是BE的垂直平分线.AB=AE.TAB=AE,AC=AD,ZABE=ZACD,.ZEAB=ZDAC,.ZEAB+ZEAD=ZDAC+ZEAD,即ZEAC=ZBAD,在厶EAC与厶BAD中AB二AEZEAC=ZBADAC=AD.EAC竺BAD.EC=BD=6.在RTABCE中，BE=QEC2-BC2=25,1.AH=2BE=*5,.S“BC=2bcah=2J5考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质10.数学活动课上，老师给出如下问题：如图，将等腰直角三角形纸片沿斜边上的高AC剪开，得到等腰直角三角形厶ABC与氐EFD，将厶EFD的直角顶点在直线BC上平移，在平移的过程中，直线AC与直线DE交于点Q,让同学们探究线段BQ与AD的数量关系