圆锥曲线的距离问题

1、锥曲线中的距离问题考题剖析距离的范围问题x 2 v 21例1、已知椭圆云+ b- = l(a b 0)的左、右焦点分别是FF2,其离心率e = 2 ,点P为椭圆上的一个动点，APFF2面积的最大值为4J3 .求椭圆的方程；若人、B、C、D是椭圆上不重合的四个点，AC与BD相交于点牛AC-BD=0,求堕|+ |的取值范围.距离的定值问题x 2 v 21x y _， b 0)的离心率e =，右焦点到直线一+ = 1的距离d =， 0为坐标a 2 b 22a b7原点.求椭圆C的方程；过点0作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A、B两点，证明点0到直线AB的距离为定值，并求 弦AB长度的最小值.例

2、1、解：（I）由题意得，当点P是椭圆的上、下顶点时，尸，乌的面积取最大值1分 TOC o 1-5 h z 此时 S = - FF |OP = bc. bc = 4J3 2分阡221 2口e = 1,b = 23, a = 43分2x 2 y 2 D12 +1-1守=k2+1，贝ij AC + BD =ac + bd =1216896 叫、TT 咛14)12 + N/1211分10分二一 r6 综上，AC + BD的取值范围是y,1412分c 1. -例2、由题意得e=二亏，二a=2c，二b=加2c2 =成-1分x y由题意得椭圆的右焦点(c,。)到直线一+子=1即bx + ay - ab =

3、0的距离为a b,|bc ab|V3c2 2名c21_1d = =厂=c ，. . c 1a 2 + b 2 =kx + m A(x , y ),B(x , y ), TOC o 1-5 h z 1122y = kx + m直线AB的方程与椭圆C的方程联立得 x2y2,+ = 143消去,得(3 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2 -12 = 0,8km4m2 -12八x + x =, x x = . .6 分123 + 4k 21 23 + 4k 2OA OB , . x x + y y = 01 21 2由 y + y = k(x + x ) + 2m , y y = k2x x

4、+ km(x + x ) + m2,12121 21 212(k2 + 1)x x + km(x + x ) + m2 = 0 整理得 7m2 = 12(k2 +1) ,. |m| = * ：12(k2 + )1212712 2OA - OB，当且仅当 OA = OB 时取二”号.AB 2.OA - OB ，又由等面积法知d - AB = OA - OB ,2d - AB 2d =圮1即弦AB的长度的最小值是竺1.12分277（三）距离比问题例3、已知椭圆C1:三+ y = 1（。b 0）的两个焦点F1, F2,动点P在椭圆上，且使得ZF1PF广90的点P恰有两个，动点P到焦点F的距离的最大值

5、为2+2。 1（I）求椭圆C1的方程；（II）如图，以椭圆C1的长轴为直径作圆C2，过直线x = -22上的动点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A,B，若直线AB与椭圆C交于不同的两点C,D，求AB的取值范围。1CD（四）距离的最值问题例4、已知动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦MN的长为4.（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）过点A （0，2）作一条直线与曲线C交于E，F两点，过E，F分别作曲线C的切线，两切线交于P点， 当I PE | PF I最小时，求直线EF的方程.=2：r 2 d 2 = 4-16.从而|CD| =1 +生I y - y | =竺圭) 8七 2 (12 +

6、16)所以AB 8)，CD& 2 + 8( 12 + 8)例3、解：(I)由使得ZF1PF2 = 90的点P恰有两个可得b = c,a = J2c ；动点p到焦点F1的距离的最大值为2 + J2, 可得a + c = 2 + ：2，即a = 2,c = 2，所以椭圆C 1的方程是X- + : = 1(II)圆C的方程为X2 + y2 = 4，设直线x = 2(2上动点T的坐标为(-2七21)设A(x ,y )，B(x ,y )， TOC o 1-5 h z 21122则直线AT的方程为xx + y y = 4，直线BT的方程为xx + y y = 4，又T (-2/2,1)在直线AT和BT上，

7、即 1122 2七，气+气 4，故直线ab的方程为-22x + 1y = 4-2j2 x + 1y = 4一，4由原点O到直线AB的距离d = = 得，|AB| =8 +12-2 V2x + 1y = 4x 2V2，消去 x 得(12 +16) y2 - 8 y1 -16 = 0，设 C (x , y ), D(x , y )。 TOC o 1-5 h z += 1334 44 T,8t则 y + y =, y3412 + 16 3 412 + 16ABCD所以ABCD=+12y - 256y3，设 f (y) = 1 +12y - 256y3，m3 + 12m2 - 25612 2561小

8、1、m31 + -，又设一=y (0 v y %)，m m3m8所以由 f(y) = 12-768y2 = 0得：y = 1，8所以 f (y) = 1 +12 y - 256 y2 在0,8上单调递增即ABCD例4、20.（。设圆心为Cg）,线段MN的中点为则|ME| = 普上 1分依题意得 |CA|CMF=IME|* + |EC1，,3 分梦+e2）皆=普 TOC o 1-5 h z 二 必=4/为动圆圆心的藐迹方程5分 不妨设:（血咨），直”等）30），44孚-2 TS由A,E*F三点共线得土一=土一， A 为他=一&分xz 也由 站奴得:. 矿=.出二PE方程为y学*（*1）.即尸哥宣

9、一亭蜡-同理FF的方程为尸号工一+必S分解得P点的坐标为（号邑,零即（号葬,一2）.9分u*x&则Ipei=JT,广乒_击|=贝皿匕 床茵，州|=耳, I令_我|=地小孚妲中,.1。分- jPEj，|PF| _的时上式取等弓.此时EF斜率为。，所求直线EF方程为y=2T以分（五）距离恒等式X2 , V2 一例5、已知圆C: x2+y2=3的半径等于椭圆E: +厂=1 （ab0）的短半轴长，椭圆E的右焦点F在圆C内，且到 a 2b 2直线l:y=x-y6的距离为；3 W ,点M是直线l与圆C的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A（xi，yi）,（x2，y2）.（I ）求椭圆 E 的方程;（11

10、）求证：|AF|-|BF| = |BM|-|AM|.距离恒成立问题一尤2 V 2 一_ _一 尤2 y 2 一例6、如图，已知椭圆C1 8+-4 = 1的焦点分别为F1,乌，双曲线c2 44 = 1,设p为双曲线上异于顶点 的任意一点，直线PF和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.设直线PF、PF的斜率分别为k、k，求：k -k的值；121212是否存在常数人，使得|A8| +|CD| =人|人8|CD|恒成立？若存在，求人的值；若不存在，请说明理由.例5、解：(1)设点F (c,0 )(c 0) ，则F到直线l的距离为,宗=用修，即|c 响顼-1 ,因为F在圆C内，所以C,吾，故C =

11、1 ;因为圆c的半径等于椭圆旧的短半轴长所以b2 = 3,一、一 .X2 V 2椭圆方程为习+ = 1 .-可(II)因为圆心O到直线l的距离为1 =提，所以直线l与圆C相切，M是切点，故2AOM 为直角三角形，所以 |AM| = OA-pM=yjxi + yi -3 ,又号+ W = 1，可得AM| =12 Xi，lA|=气：(，1)2 + y2，又+=1，可得lAN =2x , i1432 1所以 |AE| + |AM| = 2,同理可得I BF I + I BM 1= 2,所以 |AF| + |AM| = I BF I + I BM I，即 |AF|-|BF| = |BM|-|AM|.例

12、 6、(I)设 A(x , y ), B(x , y ), P(x , y )，则 k = * , k = *1 12 20 o 1 x + 2 2 x - 2因为点p在双曲线x 2 - y2 = 4上，所以矿y2 =4.因此 k k = yy=y=1，即 k k = 1.1 2 xo + 2 xo - 2 x2 - 41 2(II)由于PF1的方程为y = k、x + 2)，将其代入椭圆方程得(2k; + 1)x 2 + 8k; x + 8k; 8 = 0由违达定理得x1+%8k28k2 - 81, x x = 12k； + 1 1 2 2k； + 1所以I AB I=寸1 + k2 侦(x

13、 + x )2 -4xx，-I 8k 28k 2 8=t 1 + k2 I (1)2 4 x 1 = 421 弋2k;-12k; +1k 2 +112k 2 +111 = 1 (2k; +1 + 2k; +1k2 +1, 1同理可得I CD I= 4；2 .贝+2k; +1I AB I I CD I 4/2 k2 +1又 kk = 11 2A+1一-111 (2k2 +1 + k2) v2 (2k2 +1 + k2 + 2、3&=，_!+18k 21所以 += = ( 1-I AB I I CD I 牝2 k; +1-1)=k 2 + 181故 I AB I + I CD I= 382 I A

14、B I -1 CD I因此，存在X = ，使I AB I + I CD I= X I AB I -1 CD I 恒成立。8课后强化变式1、已知椭圆C满足：过椭圆C的右焦点F3云0）且经过短轴端点的直线的倾斜角为-.4（I）求椭圆C的方程；（II）设O为坐标原点，若点A在直线y = 2上，点B在椭圆C上，且OA OB，求线段AB长度的最小值.变式2、设抛物线Ci：y2=4x的准线与x轴交于点R，焦点为马；以FF2为焦点，离心率为2的椭圆记作C2（I）求椭圆c2的标准方程；（I）直线l经过椭圆C的右焦点F，与抛物线C交于A，A两点，与椭圆C交于B，B两点。当以BB为直径的 221122121 2圆

15、经过F1时，求|AA2|.变式1、(1)解：(1)设椭圆的短轴端点为(0,-b)(若为上端点则倾斜角为钝角)，则过右焦点与短轴端点的直线的斜率 k = 0) = tan? = 1b = 2_槌-14又 c =、；2/.a = 2 TOC o 1-5 h z .。的方程:三+ 22 = 14分42(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),( x ,y )，其中x丰0o ooOA OB, :. OpB = 0,即就是 tx0 + 2 20 = 0，6 分 解得t =-岩.一 又X2 + 2咋=40.|AB| = (x -1 )2 +(y - 2)2 = (x + 24)2 +(y - 2)2 =此

16、+ + 4(0 x 4(0 x0 4) 0且当x2 = 4时等号成立，所以AB长度的最小值为2顼212分0 x 2 y 2360?.方程。）恒有两个不等实根.对任意一个确定的点P,它总肖眺寸应W个件成，点”12分变式4、前，峭析；口）因为四法形MEEF为捎&为4而!f平有四边币，厮以点E到点F.N 的距离之和最之控，又故由桶圆的定买知.曲城C,为的国*= L度总续C.的方程为十丁。1-I心分）出I无1=知，佥点石的轨迹为以坐标峥、口为医心有为半径的网bM方程为JJ +寸=4，-m-r t 3 分）代）当LLjt鞘时，将T = -l技人T十射=4得y= 土点,所以|尚耳| 息酒由牌西,如所以肖税，不垂此于H辕 W分）设直？JU的方程为Ml G的瑙心。仍到H线8的跑陶4=异由圆的JL何性威耕