向量与圆锥曲线

1、1锥曲线一.向量与圆锥曲线：AP =人应型;瓦= PQ,PB =人PQ型;OM =人OA +目OB型.X 21 1 I例1.已知A,B是椭圆寻+ y2 =1上的两点,并且点N(2,0)满足NA =入NB ,当X G I 5b 0）的一个顶点，平勺长轴是圆C2： x 2+y 2=4的直径./,l是过点P且互相垂直的两条直线，其中l交圆C于两点，1交椭圆C于另一点D 1 21221（1）求椭圆C1的方程；（2）求AABD面积取最大值时直线l的方程.三切线问题X 2 V 21.如图，设椭圆C: + 1 = 1(。 b 0)动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.已知直线l的斜率为k，用a

2、, b, k表示点P的坐标；若过原点O的直线1与l垂直，证明：点P到直线1的距离的最大值为a - b.62.如图，已知抛物线C1： y= 4x2，圆C2： x2 (y 1)2 L过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA, PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A, B为切点.求点A, B的坐标；(2)求APAB的面积.3.已知椭圆C：2 + b2 = i(a b )的一个焦点为(七5,。)，离心率为.求椭圆c的标准方程；若动点P(%0, y0)为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.4.如图，设抛物线方程为x2=2py(p0)fM为直线y=-2p上任意一点，过M引抛

3、物线的切线，切点 分别为A，B.求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；已知当M点的坐标为(2, -2p)时，A = 4盘0，求此时抛物线的方程；是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线2 = 2py(p0)上，其中，点C 满足OC = OA + OB (O为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请 说明理由.练习：如图，已知抛物线工2 = 4y的焦点为F , A,B是抛物线上的两动点，且AF = XFB（k 0）, 过A,B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M，证明FM - AB为定值.四、斜率乘积为-生a 2已知M, N椭圆。三+ y =1(a b 0)上

4、的两点，则P是M ,N的中点o k - %=-三;类似地，对于双曲线C：三-22 = 1,则有.a2 b2若椭圆或双曲线的焦点在y轴呢，则结果会怎样？已知椭圆C + 22 = 1(a b 0)的左右顶点为A , A，点M是C上异于A , A的任意a 2 b21212一点，则 kMA. kMA =-；类似地，对于双曲线C：壬-壬=1，则有.对于上述，若A , A为椭圆或双曲线上关于原点对称的点，会有什么结论呢？若椭圆或双曲醴的焦(点在y轴呢，则结果会怎样？例1.过点N(1,2)的直线交双曲线x2 - y- = 1于A,B两点，ON = L(OA + OB )，则直线AB的 22方程是一.1一 X

5、2 y2例2.过点M (1,1)作斜率为-；的直线与椭圆C：一 +：=1(a b 0)相交于A, B，若M是线段 2a 2 b2AB的中点，则椭圆C的离心率是一 X2 y 2一一例3.已知椭圆C：3+专=1，试确定m的取值范围，使得对于直线/： y = 4x + m，椭圆C上有 两个不同的点关于这条直线对称.例4.已知椭圆的方程为二+? = 1，过坐标原点的直线交椭圆于P, A两点，其中P在第一象限，42过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆于点B，设直线的斜率为k，求证：对任意 k 0，PA PB._ X 2V 2例1. P(x0, V0)(x0。土a)是双曲线E.云-b = 1(

6、。 0,b 0)上一点，M,N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM, PN的斜率之积为5，则双曲线的离心率是.一一 X2例2.如图，已知A,B分别为曲线C： + V2 =1(v 0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T .点M是以SB为直径的圆与 线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在， 请说明理由.O例3.已知椭圆C：尤2+ =1，过原点且斜率为k的直线交曲线C于P, Q两点，其中P在第一象限，它在V轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m，使得对任意的k 0， 都有

7、PQ 1 PH ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.4.已知椭圆的方程为C：三+ 2 =10 b 0), A,B是椭圆上的两动点，M为平面上一动 a 2 b2点且满足OM =IOA +OB，则有如下的框架图(已知任意两个，可以推出第三个)：b 2k - k =人 2 +日2 = 1“YM在椭圆上一 X 2 y 2例1.已知椭圆的方程为c： + 9=1(a b 0)，A,B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点且 a2 b2b 2 满足OM = kOA + OB且人2 + 日2 = 1，证明：koA - koB =一一 ._ 一一x 2 y 2 一例2.设动点P满足OP = OM + 2ON

8、，其中M, N是椭圆丁 +三-=1上的点，直线OM与ON的42，1， 一斜率之积为-5，求动点P的轨迹方程.五.斜率乘积为-1 1.椭圆中的垂直问题r框染j 如图F-i所示,棚呵壬q的叙迹是一必=原点6适口作两条垂直的射线交捕圆于户q两点，过原点o 宜线PQ的垂线，垂足为Dd宸示。到PQ的距离.则有如f的框架图:一尤 2 V 2一. _-例1.设椭圆C： + ? = 1,过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，过O 43作直线AB的垂线，求点D的轨迹方程.例2.求E （。,。）使得下述命题成立：设圆x2 + V2。2上任意点M（%, V。）处的切线交椭圆X 2 V 2赤+江T于

9、4 Q两点，则OQ1项.-_一 X 2 V 2.一例3.如图，n是过原点的直线，/是与n垂直相交于尸点，与椭圆C：丁 + / = 1交于A,B两点43的直线，I OP1= 1，是否存在上述直线/使得AP - PB = 1成立？若存在，求出直线/的方程；若不2.当圆锥曲线上的两点P,Q满足OP 1 OQ时，椭圆中便存在一个直角三角形RtAOPQ，通过以 上的例题可以发现，其实我们一直是围绕这个直角三角形在进行的，包括两条直角边的关系、斜 边的长度问题、斜边上的高的轨迹，以及它的面积的取值范围，真可谓把这个直角三角形剖析得 淋漓尽致了。但如果这不是一个直角三角形，也就是说/POQ丰90。，情形又会

10、如何。是否有类 似的结论呢？提醒读者，将夹角问题转化为向量数量积的问题仍是首选方法，因为它更具有一般性，见如下方 法总结：（1）ZABC 0 ；（2）ZABC = 90。0 B若在以AC为直径的圆上 0 BA BC = 0 ；（3）ZABC 90。0 B若在以AC为直径的圆内 0 BA BC 0）的焦点F在直线1： x - my- =。，设直线1与抛物线C交于A, B，过A, B分别作抛物线C的准线的垂线，垂足为A1, B1，如图所示， AAA1 F, ABB1 F的重心分别为G, H，求证：对任意非零实数m，抛物线C的准线与x轴的交点 在以线段GH 为直径的圆外.x2 y 2例2.已知椭圆C

11、：一 + ：=1（。 b 0）的左顶点为A，过右焦点F的直线交椭圆于B, C两点，直 a 2 b2a 2线AB, AC分别交右准线x =于点M,N，试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明c理由.3.抛物线中的定点问题【框架】A,B是抛物线y2 = 2px(p 0)上的两动点，其中以,P分别为OA,OB的倾斜角，则我 们有如下框架图：兀OA 1 OB o kA - y =-1 ol a-p 1= - o AB 恒过定点(2 p,0).例1.设A,B是抛物线y2 = 2px(p 0)上异于原点的两个不同点，直线OA, OB的倾斜角分别为 以,p，当以,p变化且a + p为定值9 (0 9 b

12、 0）上一定点，E, F是C上两个动点；侦和P分 别表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图：b 2k + k = 0 o 以 + p =兀 o k -k =.x 2 V 2 一（ 3 _例1.已知椭圆丁 + = 1及定点A 1；，E,F是C上的两个动点；如果直线AE的斜率与AF 43 2）的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出该定值.例2.已知A,B,C是长轴为4,焦点在x轴上的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭 圆的中心 O，且 AC- BC = 0,1 BC1= 21 AC I.（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q，使得/PCQ的平分线垂直于

13、OA，问是否总存在实数人，使得PQ = X AB ？说明理由.【框架】A(%, *)(%。0)是抛物线C： y2 = 2px上一定点，E,F是C上两个动点；a和p分别 表示直线AE与直线AF的倾斜角，则有如下所示的框架图：k + k = 0 = a + p= k k0例1.过抛物线c： y2 = 2px(p 0)上一定点P(x0, y0)(y0 0)，作两条直线分别交抛物线于A( x , y ), B (x , y )，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求+ y 2的值并证明直线AB的1122y斜率是非零常数.0例2.M是抛物线y2 = x上的一点，动弦ME,MF分别交x轴于A,B两点，且MA = MB，若M 为定点，证明：直线EF的斜率为定值.七.多条直线与曲线相交的应用X 2V 2. _ 、例1.已知椭圆亏+亍=1的左右顶点为A,B，右焦点为F，设过点T(9,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x , v ), N(x , V )，其中m 0, V 0, y 0，求证：直线MN必过x轴上的112212定点.例2.如图所示，椭圆有两顶点A(-1,0),B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点， 并且与x轴交于点P