动态最优化基础重点汇总

1、 第一章变分法第一节问题的性质（动态优化简介）一、静态优化问题如果一个企业耍确定一个最优产出水平T以最大利润F（X）：nxv0F（x）（1）这样的问题的解是一数，即确定选择变量的单个最优值。通常有一阶条件FX）=Oo芳否雄亩爭缈白勺吋回就足勿杏回邂。考虑企业的多期（niultipenod）问题：T/=i兀（/=0,1T）描述的是每阶段的产出组成的序列，即给出了一个产出的时间路径。显而易见，利润不是由单期的产出决定，而是由整个的产出的时间路径确定，所以耍使利润最大化，实质上是要找到一条最优的路径（而不是单个期的兀）。但由于/期利润只与f期的产出有关，所以耍在整个时间序列内最大化利润，就只要分别在

2、每一期最大化利润即可（这一问题似乎是一种没有资本的很简单的生产活动）。即这一个问题的解是一个有T个数的集合，Z,x/o所以由丁作到一产量只影响该期利润，问题（2）实际上是一系列的静态问题，即在每一期选择当前产量使该期利润最大化。可有类似的T个一阶条件。各期的一阶条件之间没有联系。二、动态问题具有动态性质的问题是，当前的产出不但影响到当前的利润，还影响到未來的利润。工尸（匚兀，兀/=!给定或X(O)=x0 x0,/=1T(3)这个问题中，每一期的利润不但取决丁当前产量，还与过去的产量有关；换句话说，f期选择的产量兀不但影响/期的利润，还会影响到以后的利润。注意,上述问题中已指定了兀，因为兀影响到

3、了以后的利润（即总利润）。问题（3）与问题（2）不同，它的最优解的T个一阶条件不能分别确定，而是要同时确定，也就是我们实际上要仗性：硒疋：条垠蚀阳企每产出一路径对应一个利润（目标值），这种路径（而不是单个值）与到实数之间的映射关系叫泛函。在动态优化中，我们处理的问题的目标函数通常是泛函形式，称为目标泛函。简而言之，函数是值到值的对应关系，而泛函是路径到值的对应关系。问题（3）中，我们假设了一个给定的初始点，即初始时间给定，且初始时刻的产出（状态）已知。注意初始点有申彳、纟典厦：呼回歹伏苓。有时终结点也给定的，即已知结束的时间与状态。三、连续时间情形问题（2）与（3）的连续时间对应物分别是问题（

4、4）与（5）：maxf7F（t,x（t）dtstx（t）0（4）JomaxF（f,x（f）,乂（f）dfstx（t）0,x（0）=x0（5）和前面一样，只有（5）才真正具有“动态”性质：即现在与将来相关。注意（5）中是以尢作为自变量，而（3）中是兀t，其原因在于在连续时间下以前时期”没有明确含义，所以用状态的变化率來表示这种动态性。四、问题的不同形式我们后面处理的动态优化问题都是连续的形式（离散时间问题的处理都可用拉格朗日方法）。动态优化问题会因端点（起始点与终结点）不同而所有不同。一般经济学中遇到的问题都可认为起始点设定，下面我们讨论不同终结点的变形。图1表述的固定终结点的三条不同时间路径A

5、、B、C,目标函数是不同路径的泛函。这个问题中，终结点已知，时间为T,状态为Z,即x（T）=zo（图1、图2、图3、图4略）图2：垂宜终结线（固定时间）问题；图3：水平终结线，图4：终结曲线。图2、3、4中，终结点要白由一些。图2中终结的时间已限定，但状态可H由变化；图3中相反；图4中时间与状态均未限定，但两者有一个约束条件Z=0（门。这三种形式的问题中，对路径的选择比前而更H由，所以为了推导出最优的目标值，耍对路径选择加以限制，即以一个附加条件來确定所选的确切路径。这个条件就是（TVC）,它描述的是最优路径如何跨越（穿过）终结线。在固定终结点问题中已知了这样的条件，而可变端点（即终结点）时，

6、耍推导出一个条件。五、三种处理方法总体来说，有三种常用的处理动态优化问题的方法：变分法、最优控制和动态规划。1、变分（vamuion）是指状态的整个路径的变化（如产出兀的变化）。变分的基本问题如下：njax（niin）Vy=Ft,y（f）,$的（6）sty（0）=Ay（T）=Z（A,T,Z给定）推导的思路（和静态优化一样）：假定己找到了使目标值最优的路径（极值曲线产，给它一个很小的扰动G应有只不过这里扰动的是时间路径。ds变分法的特点：H接从状态入手，即路径入手；耍求进入问题的函数可微；处理角点解问题不方便。2、最优控制最优控制的基本问题为：(7)sty=f（t,y,u）y（0）=Ay（t）H

7、由（A,T给定）（7）与（6）不同：进入目标函数的不是y,而是“。是控制变量，控制了y的变动。方程y=f叫运动（转移状态）方程。基本形式中y（T）H由，原因后述。最优控制问题导求解决问题的思路是试图找到最优的控制路径而不是状态路径。与变分法另有不同在于：“可跳跃，所以最优控制是变化的扩展，但更肖观，y只耍连续但），可以只耍求分段可微；处理角点问题方便些。三、动态规划动态规划一般处理离散、不确定性问题更方便。它关注的是最优值川，寻找在不同阶段不同状态达到最优值的方法，即策略函数（最优）。基本方法是将最优化问题嵌入丁一系列的优化问题之中，运用迭代的方法找到最优值函数和最优策略函数，思想为最优性原理

8、：如果找到了最优路径A、D、H、J、Z,则从D到Z的最优路径一定是D、H、J、Zo以某人的婚姻生活为例：如果从一生來看A、D、H、J、Z最优，则只耍你已与D结婚，D、H、J、Z就最优的。（注意，如果从C出发到z,可能是（F、I、Z最优）。第二节变分法的基本问题欧拉方程欧拉方程描述的是动态的一阶条件（如果是离散的，则是跨期一阶条件）,即“相邻”时间的决策最优化规则。变分法最基本的问题如下：nxVy=Ft,y,ydtsty(0)=Ay(T)=z(A,T,z给定)y必是连续可导的，F二次可导的。一、欧拉方程的推导：假定才是极值曲线，有一个任意的扰动曲线必）和）确定八其中是很小的数。p(o)=p(D=

9、o由(2)得到：y=f+p(1)V-最大值。由不同的w确定了不同的y,可将V看作是f的函数（不是泛函）dv|g=0小,有汩_=0（这就是最优化的一阶条件的思想，动态与静态都一样）。【步骤1】：（表述v）FRFdydFdV、g荷无刘=I：FM+：FM=O【（2）、（3）式对求导】即：=o【步骤2】：（消除p）(4)【回忆分部积分公式Cvdu=vub-Cudv】JaQJ“用分部积分公式表述（4）中的后一个积分F、.pdtd,三-dt=l.dtdtdtdu=pdtJvdu=jF、pdtVW=FPudv=pFydt由此可得：,刑=诃-J：p壬=-J；pF,dt【因为P(O)=p(T)=0=心刃：=0所

10、以优化问题的一阶必耍条件变成了:%=O=F,pdz：FMJ：p轨加【步骤3】：消除卩由于是任意给定的一个函数，所以上式等于0必定与P无关，即Fy一芈dt必等于Oa【引理】：对于g(f),如果g(/)p(f)d/=O,对于任一卩成立(P如我们上述定义),则有g(f)=O。TOC o 1-5 h z由此得到代-芈=0(6)dt此即欧拉方程(re0,7),它的微分式积分形式：F,=fFydt(7)展开形式：FQ+尸+4-耳=0(8)微分式和积分式好记，但展开式计算不容易错。二、例题【例2-1：求极值曲线yy=(12fy+y2)dts.c.y(0)=0,y(2)=8F、.=12,代=2y，4-Fv=2

11、y,2y-12t=0at解：=y=3t2+c,=y*=/3+c/+c2再由两个己知条件确定q=c2=0=y*=/3【例22L求最优路径:Vy=3f+C/)亍dtsty(l)=3,y(5)=7：F=3f+(刃2ii_2=F、.=0,F.=(刃2,F.=才(刃2,Fy.=Fly=01丄-和刃2y(O=o4由展开式得到：=y=o=y=q=y0=qf+q由初始条件求得：q=l,c2=2=y*=/+2【例2-3】：求极值曲线5Vy=t+y2+3y)dt0y(0)=0y(5)=3：F=t+y2+3yf=2yFv.=3由微分式得=0=2y=0=y=0dt这与y(5)=3矛盾，此问题无解例2-4：vydty(

12、0)=2y(T)=PWII欧拉方程成立，实际上上式可氏接积分:yy=ydt=y # #V的值与路径无关。注意：如果F对y是线性的，可能出现上两例中的情况无解或总是成立。原因在于，如果F对才是线性的，欧拉方程不是二阶微分方程，可能是一阶的。但是两个初始条件可以确定两个积分常数，但是通解没有两个常数，所以通解除非很特殊地通过了端点，否则不能成为极值曲线。这样的问题出现在两个固定端点且目标函数F对胪是线性的。三、经济学的例子与“无套利条件”【例2-5】、生产与存货决策企业在T时交货B,要求成本最小化。成本來两个方面，一是存货成本c2x(/),x(0是到/时已生产的产品数量即存货，q是其单位成本；二是

13、生产成本,字=心)是/时的产量，生产成本q卜2即二次型的。 # #stx(0)=0 x(T)=BFx=ciF产2c/欧拉方程：F严与K=2cX积分：x(t)=仝-二+灯+饥由边界条件决定K和/x(t)= # # # #欧拉方程的解释(无套利思想) Ci是存货的单位成本，qx0)是生产成本，2q#是边际的生产成本，2qx是生产边际成本变化率(对时间的)，这样，欧拉方程说的是，生产的边际成本变化率与持有存货的成本相一致。进一步的，积分：J2cds=Jc2dsa2qx(f)+c2=2c1x,(/+)。左边是在f时生产一单位并持有时间的边际成本，右边是在f+时的边际成本。这个式子说明，均衡时，在f时生

14、产与在f+时生产应无差异，消费者不能从改变生产时机中获得额外的好处。【例2-6】：J：er,u(c(t)dtik(t)+vv(r)=c(t)+k(t)K(O)=KK(T)=Kt消去cFk=er,u(-)iFk=d()(/(“()=at这就是欧拉方程积分:eu(t)=j+7ersuc)ids+er(,+A)uc(t+)左边：/期消费的边际效用右边：单位消费被推迟获得利息增加的消费效用十单位消费H身在推后获得的效用。上例中，展开欧拉方程得到：-(e-u,c,-re-u,)=re-r,uiru-unc=ui-mV=u*(i-r)-uc.=i-ru第三节某些特殊情形的求解欧拉方程目标泛函被积函数的一些

15、特殊情形下的欧拉方程求解更简洁。一、情形1、F=F(t,y)dFclF由微分式代-于=0由于F中无厂所以=常数。dtydt【例3-1】vy=J；(少+胪诩,y(o)=y(i)=iFf=f+2#=q得到通解+在由边界条件确定两个常数得到：y*=r2+丄f+144练习：(3x-tx)dtJfo答案：(Fr.=3-2tx=cQ=x=c1lnr+c2)二、情形2、F=F(y,y)由展开式=刁=0Ft.=0=FQ+FQF=0两边乘以y:yF.yy+F_yy-yFy=0o左端正好是F-yF.对时间的导数d(yFy-F)-It上式左边:=d(肉-F)=(迅)dF(y,刃dtdtdt=yy+yyyy+心刃-$

16、+心刃=7(耳/+耳*-尸、)=0所以F-yF,.=常数【例3-2丄Vx=J：2空1+(x)22J/S.t.x(to)=A-ox(/j=耳定义F=xl+(x)2?,2龙与最优性条件无关。F.=xr7l+(x)21iiF一xF.=xl+(xr)2T-x(x)2/1+(#)吓=c丄x=cl+(x)2J2x2=c2+c2(x)2(x)2=(x2-c2)/c2X1=+yjx2-c1/c由于对称性我们处理正根：dx/ylx2-C2=dt/c积分得到：ln(x+/x2-c2)/c=(t+k)/cx+y7=ce(,+k)/c求出x的表达式：X-yjx2-C2=(X-y/x1-C2)(X+-Jx1-C2)/(

17、X+lX1-C2)=x1-(x2-c2)/(ce(,+k)/c)=c2/(ceu+k),c)=c严火将这一结果与上面的相加除以2就可得到：“*(严+严切)三、情形3、F=F(y)y=0y是直线严常数=氏线(下面的一种情况是由丁函数中只有y,心=0意味着解是y的特定值，即y等丁一个常数)【例3-3】：Vy=(1+y2r2dt,y(0)=4,y(T)=Z它的解是由边界条件确定的直线/=c/+c2如果按照公式求出的话，Fv=0dFJdt=0F.=y/(!+y2)12=c,有y=c/(l-c2)1情形4、F=(/,y)F,=O=Fy=OVx=J/(*一处M，馳。)=xx(fJ=X第四节、二阶条件和静态

18、优化问题一样，一阶条件只是说明了极值的特征。当然，在动态优化问题中，欧拉方程是动态的一阶条件。对于许多问题而言，找到一阶条件似乎就是够了。如果要识别出是极大(最大)还是极小(最小)，则耍用到二阶条件。动态的二阶条件与静态的类似。如果F对于(”刃是凹的，则欧拉方程对T识别sty(0)=Av(T)=z(A,T,z给定)Vy的一个最大值是充分的；反之，则是最小值。这是全局意义上的凹性。这一点可以通过二次变分推导出，其中凹性的判断用线性代数的知识是比较方便的。在局部意义上，勒让徳必要条件可以用來区分极大值和极小值最大化VyF.0fe0,T注意中的条件是必要条件，它只识别极大还是极小(局部)，不一定确定

19、最大最小，所以=不可逆。例如，前面的例2-5中stx(0)=0 x(T)=B所以求出來的确实是极小(最小)値。第五节可变端点的横截性条件终结点可变(回忆一下，有三种基本形式)欧拉方程和前面的一样，只是多了一个横截性条件。初始点可变和终结点可变一样处理，在经济学中初始点可变似乎没有什么意义。一、一般横截性条件的推导nnxVy=Ft,y,ydts.t.y(0)=Ay(T)=“(4给电丹,7H由)推导：假定厂是最优终结时间，有一扰动曲线(f)T=r+TaT是任一预选的时间变动量dT_Ty(f)W)+$p(f),y=f+cp L4由Tyrf由、“(0)=0,但卩不一定为0。【步骤1】(表述V打对的导数

20、)dV7dFr.dT前而推导基本的欧拉方程时有如下结果竺恥(兰型+互角力Jodsodyds那dw訂：(F+FPW=IFypdt+J：F、P心:Fypdf+阴：-P什F、dt=1：F，PdT：P%FQ上面dV表达式中的第一部分与前面推导基本欧拉方程是一样的(第二步),只是在这里，F、p；不为0,而是等于F,|,=rp(T),因为P(T)工0,所以薯的7*ZJ厂第一部分(积分部分)=p(t)Fy-力+F,p(T)Jodt1-第二部分为Fi=rT。和前面一样薯=0有最优性条件：3)卩各*耳LP(T)+FLN=0【步骤2TVC上式第一部分中卩任意，而后两项中都通过任意的T有一定的联系。由于P(/)与P

21、(T)T没有联系，所以耍使上式成立，前一部分和后两部分必须分别为0,前一部分为0即为欧拉方程。后两部分通过T发生联系为0可以推出横截性条件(TVC)o我们下面的目标是要消除卩(门，即以和丹來表示p(T)o(图形略)AZ是AZ加上(f)而得(假定为1,这对结果没有影响)。由丁-T增加了=1),4Z延伸到4Z,y的位置升高yr=p(T)+y(T)T,(T)aT是近似的，当很小时可用等号。=p(T)-y(T)T=(*-则)+丁=尸-肉丄严+&L丹=上式即为一般TVC。二、TVC特例：A、垂肖终结线(固定时间水平问题)T固定可得=0所以F-)F,/=raT+耳丄丁*=为F,1=0L、Jz=r这有时乂称

22、为h然边界问题。b、水平终结线固定*=0尸一ML=0一个解释：若F为利润，y为资本存量，y表示投资，耳一单位获得的利润(即一单位资本的影子价格)，也就是持有单位资本而不进行投资的代价，A部分的条件说明，如果企业在某一时刻T关门，则持有的资本的价值应为0,通常应就是将资本用光。B部分：F为在y给定时投资y的当前利润，为未來收益，若T时终结,则要损失)化.，所以F-yFy表示在终结时留下资本y的总利润。B部分的TVC告诉我们，给定yr=Z的值，我们应选择一个适当的T,使得留下的资本不能获利，即利用了所有的投资机会。C、终结曲线z=(T)=yT=yT=T有F-yFy+Fyi=T=0D、截断垂宜终结线

23、（T固定，丹1儿）最大化：尸丄,0,yTy,（yT*-）3心寸=。最小化：耳可0,）贏,（“*-）监）=这是乂KT条件得到的结果。E、截断水平（“固定，TWTJ最大化:最小化:尸一巩丄7，DVT；T*-T_F-yF,f=7.=0F-yFv；=r0T*a-1y=/+1从二阶必耍条件可以判断这(可能)是一个最小化问题的解。【例52】q+c2x(t)dtx(0)=0 x(T)=B(T可变)欧拉方程：双/)=竺+灯+人横截性条件：F-xF.=0=q/2L=c2x(T)人=0 x(0)=0 x(T)=B=R,=0,T=2(4亍第六节无限计划水平（期界）耍点：无限计划水平时，欧拉方程同前。TVC为:上式两

24、项分别为0,有lim（F-yF.）=0无限水平的TVC（状态固定）f-8InnF,=0（H由终结状态）f-8如果已知y”则lm】y（0=儿这是）Q）=乙在/ts时的版本注意：fTs时的积分收敛问题。一般在经济学中带有贴现因子且F有界，这不是一个严重的问题。在理论上，无限计划水平（InihuteHo门zon）的TVC尚存在一些争论。经济学中一般出现的是无限IH治问题，厂尸（x；f）df这类问题隐含着一个终结状态一稳态心，找到心（有时用经济推理得到），用（1）代替TVC。【例6-1】Ramsey问题:jnaxu(c)efitdtk=f(k)-nk-cR(0)=k。化成熟悉的形式，上面的问题实际上是

25、：maxuf(k)一nk-kefi,dtR(0)=k0欧拉方程：c=-f-n-p)u如果T已知，k(T)由，则横截性条件为：FI=一。-炉=0=kt=T/=Tf=T如果T已知，k(T)0，则横截性条件为：L0,FI=一心s0,则横截性条件为：limuefiTkT=0T-co但是由丁有稳态lun(r)=*,lunc(r)=c*,上面的横截性条件多余，没有什/-CO/-CO么意义了。这时充当横截性条件作用的就是hmk(t)=k一8第七节多个状态变量多状态变量的问题不会增加多少理解上的难度，只是对每一个状态变量都有一个欧拉方程，从而形成欧拉方程组而已。v)l,儿卜尸(5儿九)力欧拉方程组F、.厂铮=

26、0i=ldt第八节约束问题约束则是一个真正的重耍问题。理解耍点在丁：约束改变的首先是欧拉方程,一般形成拉格让日方程。和静态中的一样，用拉格朗方法处理约束问题。(如下省略边界条件）。-、等式约束（约束中没有微分形式）只有状态变量且加VVI厶=尸+工f=l目标泛函中以厶代替原F即可d厶.L=0=dtS_gf=0二、微分方程约束约束方程中含有项，同上处理三、不等式约束誌心儿九）已注意是儿九）5欧拉方程与等式约束无异，另外加上互补松弛关系：=o四、等周约束等周在资源萃取问题中很普遍。s.f.Gpj九,）yn）dt=九,）儿）dt=kntLWG（2=常数）【例8-1】nimf7（l+y2+，2）1/2J

27、o0（0=0L=F+兄(f)(0_0)=F_20仏vjT=00=0由此可以求出状态变量和拉格让日乘子。【例8-2最大化：V刃=J；ydfS/J：(1+y1)12dt=k解略。第九节残值问题(SalvageValue)残值问题乂称Bolza问题，形如：G4，xJ已给立sg)=f耍点：加上残值对欧拉方程没有影响，仍为F严鸣。dt咚些0勺足T：若x(fj自由,人给定F.+Gv=0若伯由,x(/J给定F-xT.+G,=03；(3)yT=5,Tfreeo13、y(0)=0,y(l)=2 L4第二章最优控制第一节最大值原理概述在变分法中，首要关注的是最优状态路径yt),由它确定最优值；在最优控制中，寻求一

28、个控制变量的最优控制时间路径:而动态规划关注的是最优值函数U*,通过它寻求一个最优策略函数，即控制对状态的反应w*(a)o后者在离散与不确定性问题中更重耍。一、最优控制的最简单问题最优控制的最简单问题是：maxV=F(t,y,u)dty=f(t,y,u)y(O)=A(T)自由(47给定)(有时也指定U的变化区域)UG说明：与变分法不同，这里的y(T)是H由的，因为推导过程中，我们是使(/)(而不是y(f)任意变化來找到最优值，如果限定了y(T),“不能真正任意变化。当然，这只是肖观上增加了我们的理解，对于数学推导來说，不是很大的问题。但是，从这种情况推导更简单、直观。与变分法不同，y不要求全局

29、可微，分片可微(Piecewise)B|J可。只耍求分片连续。选择的变量是“，可虚接处理”的约束问题，并且容许拐角解。二、共态变量兄(或协态变量，costatevariable)和汉密尔顿函数H问题的求解中我们耍用到一个关键的方程即汉密尔顿函数H：H(t,y,u,2)=F(t,y,u)+A(t)f(t9y9u)2是一个动态的乘子函数2(/)。实质上就是动态的拉格朗日乘子，所以具有与拉格朗I乘子同样的含义。三、最大值原理的表述我们先给出最大值原理的结果，熟悉了以后再來推导与解释。u/e0,T.dHy=dAb的运动方程adHx=dv%的运动方程A(T)=0TVC以上条件有时依次被称为最优性条件、可

30、行性条件、欧拉方程和横截性条件。四、例题【例1-1求下而的动态优化问题niaxV=(l+ir)2dty=Uy(O)A,y(T)自由，给定)解：1H关于非线性，且“未指定控制域，所以肯定H=-(1+u2)2+Au是内点解，竺=0适用。du-=-(1+M2)2(2)+2=0=2=w(l+w2)n加=m2(1+m2)-1n加+A2ir=u2_1a爪(1_加)=加=u=2(1_加)右y=0二久=常数dATVC:A(T)=0n才(f)=0,虫0,T=w*(/)=0y=m=y=0=y=常数y(0)=A=y*(/)=A【例2-2】本例说明不能用岂的情况。diiniax(2y-3u)dtsty=y+(p,y(

31、0)=%y自由川e0,2H=2y-3u+A(y+u)=(2+兄)y+(兄-3)H关于”线性=/l-3,若23,贝九最大时H最大；(W*=2)反之，若duA39U最小时，H最大(/=0)。即w*(Z)=0A2+Q=_2(/)=S_2dy9r由A(T)=兄(2)=0二R=2,二才2于-2r(t)是减函数,2*(0)=2e2-23从递减到才(2)=0u在2*(0=3时，从/=0,令此时的心r,3=2严_2nf=2_ln2.5最优控制分成两段(相)K=M1，2)=2u*=w(r,2=0解这时的最优状态路径复杂一点：0,r).y=y+u=y+2y=k、d-2,y(0)=4二R=6y=2(3,-1)yr=

32、2(3e2_/fl25-1)=6e2-17在亿2y=y+u=y=y=k.e1初始值y(/)=6,-17即宀772.5+台课堂练习：Jiiax(x+u)dts.t.x=1-u2,x(0)=1Jo五、变分与最优控制的比较变分法与最优控制实际上是致的。下面以一个特定的例子来说明。变分法nnxV=rF(r,y,刃力y(0)=A,y(T)由(A7给定)它们的解分别为：变分法最优控制maxV=F(t,y,u)dts.t.y=uy(0)=A,y(T)H由(AT给定)最优控制dF,F.|/=7,=Otvc心0=0=F+Adu(1)dH)T=dA.dH厂兄=-可=代dyrA(T)=0TVC乞“A0/-j=0=J

33、：4/-刃df=0。注意这里f-y的顺序，颠倒这个顺序对求解没有什么影响，但是对乘子的解释有影响。新的目标泛函yV=V+7Af一刃dt=F+a(f-y)dt只耍y=/则y=V这实际上是拉格朗口法，所以这里的乘子本质上就是拉格朗日乘子，具有与拉格朗口乘子同样的解释，即影子价格。定义H=F+Af=v=2y)df=Hdt一Aydt对后一部分分部积分得到：T0=)yT+2(0)儿+J：yAclt将这一结果代入上式新的目标泛函得到：v=(/+y)dt-A(T)yT+A(0)yQQ；【第二步】：条件j=的推导dA只要y=f成立，则拉格朗口乘子对新的泛函值不产生影响。这个条件实际上是运动方程的重述，没有什么

34、新的。【第三步】：变分 L4假设最优路径为现有扰动路径p(f),(/)=/+可儿固定p(t),每有一“，同样产生一个厂M)=)广+冈。若T和可变，有:T=T*+sT,yT=yT+sAyr由上式得到：dTdyTdsde这实质上就是变分的思想。和推导变分的一阶条件一样，这里也要求一阶条件:dvLV=1(Ht,y*+Eq(t),u+sp(t)+坯)广+wqd/Jo(T)yT+2(0)y。【第四步】：由芈=o得到所有的必耍条件。as上式中积分式的导数(对)为：JodHdHq+pdydu9T+Xq/+/+上而：隹叫+dsdydu-兄(T)“对的导数为：./T.dyTdA(T)dT_i/TTT万匚一dTd

35、s=一兄()y7(r)AT最后一项2(0)y0对w的导数为0牛=3as中=A(T)yiATasrrdH.dH口z=7.AT-2(T)AV=0p、q、贞、儿任意，这耍求上式三个部分分别为0。进一步地:(1)上式中被积的两部分分别为0。 L4adHgdHAA=和=0內du(2)-2(7)=0B卩；(3)在我们的问题中，T固定AT白动为Oo所以第二部分自动为0,而无须其他条件。第三节其它终结条件与充分性一、TVC1、固定终结点没有横截性条件，以y(T)=yT代替(T和丹给定)2、水平终结线(时间自由而状态固定)由前而推导可知，日口.=0即没密尔顿函数必须在最优终结时间达到0,对丁-T时的兄无限制。3

36、、终结曲线yr=(T)町彳AT-A(T)(T)AT=H-呐寸AT4、截断垂直终结线(T固定，丹自由但yr_ymn)(T)0,丹血,(丹-儿=0(互补松弛条件)有时会遇到约束”厂(0,则横截性条件是yrA(T)=Oo若丁则枫(片-沧)2(705、截断水平终结曲线()*固定,币由,70,7=丄兄;二2二一兄=2=ke例：u=0y=y+Uy-y=片加=y=十也1-1Jrfdtdt=ec+町广df)=R=cel-ke4y(0)=1,y(l)=0=3,这成了截断垂直终结线。二、充分性以上所给的条件是必要条件。我们由如下的充分性定理曼加萨林定理:基本问题中，如果（1）F和/可微且关于（”）都是凹的，且（2

37、）在最优解中若/关于或非线性，如果/关于）或关于线性，2的符号任意=必耍条件也是充分的。注意：我们常常用到一个二阶必耍条件：对于JJiaxH,有一个二阶条件IIH肿0。充分性条件在经济学中似乎是不太重要，因为我们一般设定使得以上成立。再例：Rajnsev模型（略）第四节经济解释最大值原理的每一必要条件都可得到经济解释，富有经济含义。考虑这样一个问题：企业在时间0,T上最大化利润。状态变量为资本存量K,控制变量代表可能作出的决策（如广告、存货等）初始K为K。，K（T）未定，每一时刻利润依赖于当期K和u,龙（f,K,“）。最优控制问题为：j）iaxII=TJoS.t.Xy（f,K,“）,K（0）=

38、Ko，K（T）自由,（K,T给定）一、共态变量作为影子价格2（/）实质上是拉格朗乘子（见前而的推导），而拉格朗乘子都可解释为影子价格，所以这里2表示每一时刻一资本的影子价格。如（详细推导见Kanuen和Schwontz）：n*=/*+KF弹-/TyK；+才心这样，在2时，如果K。增加一单位，则利润增加入。在终结时（T时），如果多持有一单位资本，则利润损失禺。对于中间的任一时刻，才都有同样的解释，即影子价格。注意：推导过程中，从数学角度看，写成A（f-K）与赵-f）无差异，但若赋予经济学含义，应写成心心,否则2成了负数，即影子价格的相反数。二、汉密尔顿函数和利润前景单位时间内，资产产生的当前利润

39、增加了资产的总价值，资产本身价值的变动也能增加资产价值。资产本身的价值变动可能源丁持有资产数量增加，也可能是因为资产价格变动所致（在瞬时意义上，两个因素的交互作用项可忽略不计，因为是更高阶的无穷小）。例如，你拥有一片具有生产性的土地，一年内它给你产生利润增加了土地的价值，同时如果土地的而积和价格也在变，这也会增加土地的价值。在这里，企业的利润（瞬时）龙，资产价值的变化为：d（AK）/dt=AK+KA=AK+fX,前一项是价格变化（K不变）增加的资产价值，后一项是资本数量变动增加的价值，总的价值增量为：7r+Af+AK=H+AK（1）其中H=兀+对由于实现了跨期最优化，所以以任何变动不会引起总价

40、值增量的改变。即（1）式对和K求导为Oo肪乃(T,K,u)+=竺+彻亜+花岂+芯0dKdKdKHs+afs+ak可作进一步解释。才是不变时的当前利润，而是由丁导致的k的增加的价值，它可表示（持有资本量的）未來利润效应，因为资本增加就是为了在将來创造利润。这样，H代表了不同“下的总利润前景。（2）式表明，在最优时，的变动应使总利润前景最大。进一步地，对当前利润与未來利润前景的影响是相互竞争的，即如果有利于，则一般会牺牲未來利润前景，最优时两种效应应相互抵消，即竺+型=0。这里分析的是价格不变时dudu控制导致资本存量变动产生的影响。三、运动方程最大值原理中有两个运动方程，其一是K=ff它的意义是

41、自明的，另一个即为（3）。（3）表明了在最优时K的变动使总价值增加达到了最大。进一步来看，A=这表明资产价格变化应与资对利润总前景的变化相互抵消，或dK-=,影子价格变动（贬值）速度等丁资本对当前利润与未來利润加总的贡dK献速度；或一久K=%K,最优时，资本变动在单位时间内引起的因价格下降导dK致的损失应等丁利润的增加。四、TVC（1）在K（T）H由而T固定的TVC为A（T）=0,这说明最优化主体会迫使在终结时点T资本的影子价值为0。为什么呢？“死去原知万事空”。兄表明的是影子价格，即以最优值（利润）度量的单位资本的价值。资本的价值对企业而言就是创造利润，即持有单位资本创造的利润。由于T时是终

42、结时点，当然就不能创造利润，所以A（T）=0o进一步地，2亦是指持有单位资本的意愿（即以多少单位的利润为代价而愿意持有一单位资本），A（T）=0说明，在T终结时优化主体不愿持有更多资本。如果任何单位的K都能产生正的利润，企业必定会用尽所有的资本。这就好比一个极端IT私的人肯定不会在他死的时刻留下任何价值的东西（如果他确知他什么时候死的话）。（2）水平终结线（心已知，T白由，即终结时间不定，但终结状态固定）。TVC为W=这表明选择的=厂应使得当前总利润前景为0,即到达心时应利用所有赢利机舍，榨干资本上的每一个利润。如果在到达心时还有利可图，则不应在这时到达（想象一下包身工，你也许会有更深刻的理解

43、）。（3）截断垂直终结线（T给定”自由，但药）。TVC：A（T）0,”）一（门（丹）贏）=0互补松弛条件表明，要么留下的东西无价值兄（门=（”儿-）,耍么没有留下任何多余的东西。第五节现值（Currentvalue）汉密尔顿函数问题如下：JiiaxvjjG（t,y,u）ep!s.t.y=f（t,y,u）注意:F=Ge标准的H=GeF+对,这是有折现的H。定义新的（现值）拉格朗日乘子加：m=Aep,=2=加H=日严=G+mf（=/=HgJ可以从H出发考虑最优化条件。些=0,等价于=0,因岂=匹厂=0dudududiiX単形式不变$=咯dmoA欧拉方程为：dHc八m=+pmadHdHdydyA=心

44、f=2=沁“一pep,m“dHcdsTVC：垂直终结线A(T)=0=fnep,_r=m(T)epl=0A=e水平终结线=0=比厂寸截断垂直终结线（T固定,“自由，但yTy）A(T)0=m(T)e0.(Y-)贏)厂刃加(门=0特别是，如果匾=0即”0,有治严(T)厂7=0第六节无限水平问题无限水平影响的是TVC,而对其它条件没有影响。冇观地看，无限水平的TVC可由有限水平的TVC对时间取极限得到，如：时间白由，lini/=0YT8如果终结状态IH由，UjdA(t)=0A-CO如果有状态变量的不等式约束，如沦0,WiJlinUv=0,linU0(这是经.v-av-co济学中常用的TVC)o有时会遇

45、到约束忠三丹厂wt0，则是TVC为InnyTA(T)=0。但是这种直观推断并不总可靠：时间总是白由、不固定的，=0要求成立，但不一定是必耍条件。人们已找到了若干反例。在经济学中，我们遇到的问题一般有贴现项，如niaxjro在有贴现项的问题中，是必要条件。所以在经济学中，常用的TVC是linUy=0o另外山】山=0,在s总成KT8立，似乎是一个多余的条件，且本身也没有什么经济含义，所以一般不用。linUy经济解释与有限水平的相似。若是资本存量，则它说明资本价值应.IT8渐近为0o另一常见的例子是山叮加厂=0,这是前一条件的现值H的对A-CO应物。另外，经济学中的问题，状态)一般会趋向于某一值，即

46、有一稳态解，形如luny=儿o有时就用这一关系代替TVC(因为TVC实质上就是提供一个边界条工一8件，如果我们确知最优解趋于稳态，则它也可充当一个边界条件，见Kaniien)oH控问题的最优H不随时间变化，所以由=0得H=Oo“T8第七节其它问题一、约束问题约束可按是否含有控制变量分为具有控制变量的约束和状态空间约束。这里简单说明前一类种的等式约束和不等式约束。maxI。F(t,y,u)dts.t.x=f(t,y,u)g(t,y,ul,u1)=C这一变形只耍将H扩展到L。L=H+Q(c_g)=尸+2/+Q(c-g)其后的必要条件求解过程中用L代fHBIJ可。不等式约束maxF(t,y,u)dt

47、s.t.y=f(t,y,u)心“，刃no同样将H扩展为LL=H十M=F+对十“h要求用到k_t条件/z0,/?0,/z=0其它条件同等式约束。二、多状态变量与控制量的扩展多变量不增加多少难度maxVF(f,%,儿冋，um)dty广厂(人儿儿皿厂)H=F+pf第一节作业：证明任何时空问题都具有如上性质，即白控问题中H函数值与/无关。乔=百+石”莎+丽兄=0(自控)岂=0或=0(最优条件之一)dH莎亦另两项抵消=矿0求最优路径: #L4s.t.y=y+m,y(0)=5,y(x)自由上g0,2求最优路径:Jax+ir)dts.t.y=u-yy(0)=l,y(l)lH由第三节作业：求最优路径：maxV

48、-ldt,y=y+u,y(0)=5,y(T)=11,(T|H由)”g-1,1y=W,y(0)=4,y(T)=5,T自由第四节作业：构建最优控制问题。选举函数v=v(U,P)=-U2-hp(h0f参数)其中卩为得票能力，U为失业,卩为通货膨胀。p7-ku)+w,其中龙为预期通胀率，人R为大于o的参数。乃按适应性预期调整，db(pr),(b0)，时间界限0,Tomax(-U1-hj+hkU一han)erdts.t.n=bj-kU-(l-a)Tr才0=龙0，龙(卩)自由给定,N按凸加权后得到总的得票数。政党最大化总得票数。第五节作业：证明如下H控问题的最优乞对时间不变。iwaxf/G(y,u)ePt

49、Joy=f(y) # L4第一章Solow模型第一节程式化事实与经济增长研究的主要问题一、程式化（Stylized）事实（facts）卡尔多（Kaldo】1963）列出了经济增长的程式化事实：1、人均产出持续增长，且增长率未出现下降趋势2、人均物质资本持续增长3、资本回报率近乎稳定4、物质资本一产出比近乎稳定5、劳动和物质资本在产出中所占的份额近乎稳定6人均产出增长率在各国间差距很大相对于人类历史而言，持续的、快速增长（现代增长）只是最近一两白年才有的事。事实6与跨国数据基本吻合。事实1、2、4、5与发达国家的数据基本一致,但并不适合于更广大的发展中国家，事实3描述的似乎主耍是英国的经历。其它

50、大部分国家真实收益率是下降的。二、经济增长研究的主耍问题Rojnei（2006,pl）指出，经济增长理论主耍解决如下两个问题：1、什么解释了经济的增长，或经济长期增长的驱动因素是什么？2、为什么一些国家如此之富裕，而另一些则如此之贫穷？可见，现经济增长理论主耍解释事实1和6。显而易见，这两个问题是相关的。 L4第二节Solow模型的基本假定一、增长模型的基本结构在这一章中，我们主要探讨储蓄在经济增长中的作用，即：仅仅s的提高能不能推动长期的增长？s的跨国差异能不能解释人均产出的差异。然而，我们的基本结论是：s只能解释部分事实，而不能解释全部(共至是大部分)事实。这促进了其它模型，特别是内生增长

51、模型的发展。増也理诊白勺丰鬟事创华丁生产孕数。分权或分散经济(decentailizedeconomy)VS计划者问题或经济(socialplaimei)o本章的Solow模型中，我们进一步简化，抽象掉市场，将家庭与企业合二为一，形成克鲁索式的家庭/生产者单位。Bano和Sala-i-jjiatin(第二版31-33)给出的结论是，有没有市场对Solow模型的主要结论没有影响。如果各克鲁索完全相同，则个体行为与总量行为并无二致(这里实际上用到了代衣摩丰您的思想，即总量行为等于一个拥有所有资源的假想的个体行为，以该个体代表总量有时是平均量)。有这样一个总量的生产函数Y(f)K，厶(/)产出可被用

52、于C或一对一的投资I。这样的单一的、同质的产品可被想象成小农经济。L(f),K(/)被竞争性的使用，厂代表知识、技术，它可随时间演进，且各国不同。T(f)是非竞争性的。在封闭经济中，储蓄和投资相等。Y=C+I,S=Y-CO储蓄率s等于投资率。资本以常率/0折旧。所以资本存量的净增加等丁总投资I减去折旧：K=l-SK=sF-SK(1)L以常率0增加，所以厶(0=L.eo我们常常将厶标准化为1,这样厶=刃(这样做是因为它儿乎不影响我们任何结论)。二、Solow模型的基本假设Solow模型基本模型中不考虑技术进步，T=常数。所以Y=F(KyL)oSolow模型是新古典的，因为它的生产函数是新古典的。

53、新古典生产函数的假定包括：A、规模报酬不变(对竞争性投入是一次齐次的)，尸(2K,M)=M(K,厶)B、私人投入正的、递减的边际报酬(边际产品)dFdK0,竺0dLdK2y=f(k),y=%这表明，生产无规模效应，即人口规模不影响人均产出。条件C意味着limfXk)=coJunff(k)=0A-0 x-coD、必耍性F(0,厶)=F(K,0)=0,这一条件可由1-3推出，并不是独立的。第三节关键的动态方程由资本存量的动态方程(1)K=sF-8K-=sf-8k(更简洁的推导：学晋=通少)=丄=一“)kdtdtKLK=k=sf伙)一(7?+8)k(2)(2)式就是Solow模型的基本方程。第四节稳

54、态一、稳态稳态（steadystate,statioiiaiystate，或equilibrium）各种数量都以不变速率增长（可能为0）vaiiousquantitiesglowatconstantrateszero0有时人们用到另一概念,平衡增长路径（balancedgrowthpath）,意指所有（总量）变量以一个不变速度增长（allvanablesglowataconstantrate）,而将这一速率为0称为稳态（steadystate）。在Solow模型中，稳态意味着k=从两种定义都能得到这一点（在经济增长理论中,情况似乎总是这样的，只不过有时要仔细选择、设定分析的关键变量）。附录中我

55、们给出了一个从第一种稳态概念得到k=o的证明，即稳态仅仅是指各个的增长率是不变的（但可能不是0,并且不同变量的速率也可以不同。但是后一种情况在这里首先排除，因为我们模型中宜接分析的只有一个变量，就是人均资本存量）。这样，稳态时有：sf（k*）=（w+）r,其中t为稳态资本存量。疋是常数,y*=如和C*=（l-5）/（r）不增长，即:无技术进步的Solow模型中，人均量的长期增长率为0。总量变量（K,Y,C）增长率与L相同（“）o一次性的技术进步以及s、和5的变化，都只有水平效应，而无增长效应。Solow模型没有解释长期增长。二、政策实验：s的影响1、图形分析（图略）结论：T扩大，）扩大，有暂时

56、的增长效应，水平效应，无长期增长效应。对消费的影响不定。2、定量分析$对T的影响由/伙*）=（+）r可知Q是$的函数，t（s）不同的有不同的厂（其它不变）。两边对$求导：/（r（5）+护0）普=（n）牛ndsdsdk*_f_k*f_kfdsn+6-sff+-sksf-skf1.均衡时助=(n+S)k,sf-skf=s(f-kf)=s0dLds0由此得到：储蓄率提高了稳态人均资本存量。第五节黄金律与动态无效率一、黄金律（goldenrule）黄金规则是使人均稳态消费达到最大。稳态消费取决丁c*G）=/心）-（+）F（s）（在稳态/c=（1-5）/=f-sf=f-（n+8）k）由于。匚0,可知c*

57、随s先增后减（如图，图略）。as当C最大时，f=n+6=ksold的水平，此时Csald=f伙阳）-（+力比.汕二、动态无效率动态无效率是指过度储蓄时，c在所有时点均位丁另一可行路径之下。这里是指sfd的情形。如果从*降到S胡d，则新的消费随时间下降（过渡到新均衡的过程中消费是下降的），但在下降（是储蓄率的下降而不是消费的下降）这二刻新消费大于原來的消费，即使下降到最低（均衡）时，s“d大于原消费，所以整个新的消费路径均位丁原来的之上。原來的的过度储蓄是无效率的。但如果sjd，则无法判断谁优谁劣。因为如果由S上升到S嗣，则一开始消费低丁原消费，并最终超过原消费。第六节转移动态一、转移动态Sol

58、ow模型对丁长期经济增长的前景是黯淡的，但却有丰富的转移动态含义。所谓转移动态，是指经济趋向丁-稳态值（如果偏离了稳态）的行为。由=一（”+5）k=g严叹一（+5）（1）由于叹斜率为负，且趋向于0，+50,所以叹与相交一次。稳态疋唯一。主耍原因在丁资本边际报酬递减。（2）S/z为资本份额g,=j=A%+=S/)(Q.g*将(1)代(2)得：(/2+5)=旷一(”+5)Sh(k) # #L4 L4g、随R下降。若*0,上式非正（厂V0）,k若0,上式为正（P0工资单调增加，趋于稳态dk/=/（r）-E/f（r）产出分配尽）i+赵f+(r+S)k第七节收敛一、含义收敛是指趋丁某一值或趋于一致。绝对

59、收敛是指所有经济无条件地收敛到一个共同的值（不考虑其它条件）。e8k/dk=sf-f/klkMnnkiw等人分别指出了Solow模型预测的不是绝对收敛，而是条件收敛。条件收敛指的是各国的稳态值不同，各经济收敛丁-h己的稳态值。离11身稳态值越远，则收敛越快。因此，在计量上，如果将影响稳态值的变量（人们已找了儿乎所有能找的这样的变量）作为控制变量，则形成条件收敛。简而言之，条件收敛是指假定稳态值不同而生产函数的其它参数（如）相同时的初始收入和期末收入之间的关系。%=心能H务必-心)g)=(”+g=(“希代入上式经济收敛是经济增长计量分析的两个主要方面之一。在经验文献中，常常会出现如下的收敛概念。

60、水平收敛VS增长收敛0收敛VSo收敛二、收敛速度我们以y=Aka的CD生产函数來表述收敛速度。定义收敛速度:dink # #L4 #L4(注意，有时近似定义为-卑，叫2=_型，两者在近似意义上是一致dkdinkdink的。)(写成变量11认而不是k的形式)p=(y-a)sAka)注意：”并非常数，而是随着R增加而递减的。在稳态时，sf=n+S=n+S所以在稳态附近0*=(1-k(t)-k*=efi,(k(0)-k*k(J)-k*=-ptk(Q)-k*当f=l,0较小时，爲fl_0,即如果0较小，在一年内k与T之间的差距是原差距的95%。差距减半(即严=丄)所用时间：2严=*=一也=0.05,/