合同线性化与线性化合同

1、PAGE PAGE 10合同线性化化与线性化化合同张巍(东北财经经大学 大连 11160225)The LLineaarizaationn of Conttractts annd Liinearr ConntracctsZhangg Weii(Donggbei Univversiity oof Fiinancce annd Ecconommics, Daaliann 1166025)摘要：本文文讨论了不不对称信息息下委托代代理关系中中合同的线线性化与线线性化的合合同。我们们的出发点点是代理人人之间的能能力差异，由由此诱发了了同时存在在的逆向选选择和道德德风险问题题，为处理理这一问题题我们得到到

2、一个产出出呈凹性的的支付合同同，并对其其线性化，考考虑到这一一参数线性性合同系的的不稳定性性，我们最最终以无参参数的线性性合同来替替代，从而而更为接近近现实中使使用的合同同。关键词：线线性合同，委委托代理，逆向选择，道德风险Abstrract：The papeer diiscussses the lineearizzatioon off conntraccts aand llineaar coontraacts in pprinccipall-ageent rrelattionsshipss undder aasymmmetriic innformmatioon. OOur sstarttin

3、g poinnt iss thee difffereence of ccapabbilitty beetweeen aggentss; therreforre addversse seelecttion and moraal haazardd coeexistt. Too hanndle suchh a pprobllem, we gget aa parrametterizzed ppaymeent ccontrract conccave on ooutpuut, llineaarizee it, andd in vieww of its insttabillity subsstituute

4、iit wiith nnon-pparammeterrizedd linnear conttractts, wwhichh is moree appproxiimatee to reallistiic coontraacts.Key WWordss: Liinearr Conntraccts, prinncipaal-aggent, Advversee Sellectiion, Moraal Haazardd中图分类号号：C9366JEL分分类号：M52合同线性化化与线性化化合同0、引言在委托代理理理论中，由由于委托人人与代理人人具有不同同的目标函函数，在信信息不对称称的情况下下，处于信信息劣

5、势的的委托人无无法对代理理人进行有有效的监督督，代理人人追求自身身效用最大大化的行为为就会偏离离甚至损害害委托人利利益，从而而产生了道道德风险与与逆向选择择问题。解解决此问题题的关键在在于委托人人必须给与与代理人适适当有效的的激励，那那么补偿的的形式是怎怎样的？以以往的委托托代理文献献1-6表表明，在具具有特定的的分布函数数与符合严严格的约束束条件下，最最优的补偿偿合同是线线性的，换换句话说，通通常意义下下的最优合合同应该是是非线性的的。然而事事实上恰恰恰是线性的的补偿合同同得到了大大量的应用用，原因可可能来自下下面两个方方面：首先先复杂的激激励方案是是难以实现现的，制订订这一方案案必须考虑虑

6、众多与代代理人私人人信息相关关的因素，而而实行中代代理人却可可能以合谋谋等种种手手段来放松松委托人的的约束条件件，使得期期望的最优优配置难以以实现；其其次，信息息结构或技技术条件的的即使是微微小的变化化都将使得得这种激励励方案很难难保持最优优，或者说说不具有稳稳健性（RRobusstnesss）。这这些原因激激发了在线线性合同方方面大量的的研究。Holmsstromm与Milggrom1 (19877)是讨论论线性合同同的经典文文献，它假假定委托人人风险中性性，代理人人具有常数数绝对风险险规避系数数（CARRA）和负负指数效用用函数，那那么当随机机误差服从从正态分布布，最优的的合同关系系就是线

7、性性的，这样样使得比较较静态分析析变得十分分简单，因因此也受到到了广泛的的关注，但但是这一模模型仅仅考考虑了道德德风险问题题。Scaattlee和Sungg(19993)22 ,(19977)3对其进一一步的完善善，前者得得出了应用用一阶方法法的充分必必要条件，后后者指出了了假设不满满足时最优优解将不再再具有马尔尔可夫性质质。Diaamondd4(11987)讨论了当当代理人努努力水平相相对产出水水平缩减时时，如果代代理人的控控制空间是是满秩的（无无法以套利利等模式获获取相关收收益），最最优合同就就收敛为线线性的。LLaffoont和Tiroole55(19986)讨讨论了另一一个极端，当当委

8、托人能能够对项目目信息充分分了解并能能够投资于于成本缩减减，他会为为代理人提提供一个与与成本呈线线性的激励励合同。LLevy和和Vukiina66 (22002)关注于代代理人的能能力差异，指指出如果不不存在交易易成本，委委托人会向向代理人提提供一系列列基于个人人的线性合合同，最终终合同的线线性程度取取决于对代代理人能力力差别的鉴鉴别成本。国内这一一方面研究究比较少见见，罗大伟伟7等在在二阶多项项式及二点点分布条件件下，以合合同的曲率率来判断其其凸凹性，但但合同形式式的假设过过于苛刻。洪剑峭88以数值值模拟的方方式来比选选预算报酬酬方案与线线性报酬方方案，其更更加关注于于成本而非非激励。我我们

9、的研究究起点接近近于Levvy和Vukiina，承承认能力差差别导向一一个线性合合同系，但但我们考虑虑到同时存存在的逆向向选择和道道德风险问问题，更加加关注与此此情形下的的激励特性性与可操作作性。本文文余下部分分的结构为为：第2部分介绍绍完全信息息下的基准准模型，第第3部分在在非对称信信息下对合合同线性化化，第4部分给出出两种可行行的线性合合同，第55部分给出出了一个数数值例子，第第6部分是是本文的总总结。1、基准模模型我们由一一个简单的的完全信息息模型开始始，这一基基准模型来来自Lafffontt和Marrtimoort99(20002)。考虑一个个风险中性性的委托人人，委托代代理人生产产单

10、位的产产出，从中中获得的效效用为，为代理人人生产单位位产出得到到的转移支支付，。代理人人存在能力力差异，体体现在不同同的边际成成本，其累累积分布函函数为，分分布密度，风风险中性代代理人的效效用函数为为。在完全信信息情况下下，没有了了隐藏信息息和隐藏行行动，事前前（ex antee）与事后后（ex postt）毫无区区别，也就就没有必要要考虑时序序问题。委委托人可以以充分监测测代理人的的努力程度度，因此不不必考虑激激励相容约约束（ICC），只需需满足参与与约束（PPC），那那么委托人人的规划式式为（1）（2）容易验证，最最优配置下下参与约束束（PC）是是紧的，那那么我们可可以将其代代入（1）式式

11、，求得一一阶条件（3）二阶条件有有假设可知知，故充分分必要条件件成立。我我们可以将将一阶条件件（FOCC）对求导导， 即这意味着最最优合同具具有单调性性质，能力力越高，产产量越高。由参与约约束我们得得到代理人人获得的转转移支付为为，将其对对求导可得得，它的符符号是不确确定的，这这意味者代代理人收入入并未呈现现出单调性性质，举个个例子，当当（即），每每个代理人人的收入都都是一样的的，从成本本角度而言言这是公平平的，能力力高的人单单位成本低低，就应该该多生产，但但从效率角角度而言这这不符合多多劳多得原原则，完全全信息造成成了静态下下的棘轮效效应（raatcheet efffectt） 简单的理解为

12、，如果信息不对称，那么代理人必将减少产出以使委托人认为其能力较低，从而获取租金，因为产量越高，委托人认为其成本越低，对其标准越高，而完全信息单期下就实现了这一效应。2、合同线线性化在不对称信信息情况下下，委托人人面临代理理人逆向选选择与道德德风险问题题，简单的的说，前者者使得某种种类型的代代理人有动动机冒充其其他类型的的代理人，通通过选择其其他合同以以获利；后后者影响代代理人在选选定的合同同执行过程程中是否偷偷懒。我们们考虑此时时的合同时时序这里A和PP代表代理理人（Aggent）和和委托人（PPrinccipall）。逆向选择择发生在，道道德风险发发生在。为为避免其发发生，必须须加入一些些假

13、设和条条件。假设：类类型的分布布函数满足足单调风险险率性质（monotone hazard rate property），即。这一假设设条件很容容易为通常常的分布函函数所满足足，如均匀匀分布，正正态分布，伽伽玛分布或或贝塔分布布等，只需需对某些参参数加以适适当的限制制。这时我们必必须加入代代理人的激激励相容约约束，得到到新的规划划式（4）（5） （66）这里为类型型为的代理理人报告类类型为所能能获得的收收益，根据据显示原理理存在一个个直接的显显示机制。为了使代代理人真实实报告其类类型，应该该有也就是说，当当代理人报报告真实类类型时效用用最大。根根据包络定定理可以得得到（7）为保证我们们取得的是

14、是最大值，二二阶条件要要求，这一一条件将在在下面得到到满足。由由（7）我我们可以求求出代理人人的效用函函数（8）注意（6）和和（8）式式不是等价价的，（88）式只能能保证代理理人报告真真实类型，（66）式同时时保证了代代理人按委委托人期望望提供产出出，我们将将在命题11中对这后后一性质进进行处理。由（8）式式可知效用用是能力的的递增函数数，那么参参与约束（55）可变为为，可验证证最终这一一约束是紧紧的。这样样我们将简简化后的（55），（88）代入（44），得到到无约束的的规划问题题。 （9）对上式求导导我们可以以得到次优优产出的一一阶条件：（10）由于假设其其满足单调调风险率性性质，（110）

15、式对对求导可得得到，这就就表明次优优合同同样样具有单调调性质，能能力越高，产产量越高，同时也满足了（7）式的二阶条件。注意到当，即最高能力代理人类型时，（10）式与（3）式是等价的，也即产出是无扭曲的，这就是通常所说的“角点无扭曲原理”。此时我们们可以得出出代理人获获得的转移移支付（11）其中第一部部分是成本本补偿，第第二部分是是信息租金金，第三部部分是保留留效用。此此时的转移移支付体现现了一些有有趣的性质质，将其对对求导可得得到，说明明转移支付付具有单调调性质，能能力越高，支支付越高。对求一，二二阶导数可可得，这意味味着转移支支付对产出出具有凹性性，这一结结果与Poopovaa和Haubbr

16、ichh10（19998）的实实证结论是是一致的，那那么一个直直观的想法法就是用一一组切线逼逼近转移支支付曲线来来实现合同同的线性化化，有如下下命题。命题1.如如下的线性性合同诱导导代理人报报告真实类类型并实现现了次优的的产出。(12)这里，。证明：见附附录这样一个线线性合同同同时解决了了逆向选择择与道德风风险问题，但但是必须注注意到这个个线性合同同是发生在在事后的，具具体而言是是发生在，也也就是说，针针对委托人人确立的对对，代理人人选择实现现以获取相相应的，而而（12）只只是对这一一非线性合合同的线性性逼近方式式。实际上上，由于转转移支付的的凹性，给给定产出不不变，选择择其他代理理人的线性性

17、合同是绝绝对占优的的，但是产产出暴露了了代理人的的类型，使使得他只能能选择真实实类型的合合同。因此此，可以看看出，这种种线性合同同是事后不不稳定的，如如果产出的的受到随机机扰动的影影响，那么么代理人必必将从中获获得风险租租金。3、线性化化合同毫无疑问问，以为参参数的一组组线性合同同对次优配配置有良好好的拟合性性质，但是是，正如我我们前面所所说，这样样的合同是是复杂且不不稳健的。我们的思思路是用无无参数的线线性合同来来实现（111）式的的转移支付付，直观的的，有以下下两种选择择：激励强度平平衡（III）保持代理人人的激励强强度不变，对对参数在可可行域上积积分，容易易得到这里，。期望支付平平衡（E

18、PP）另一个思路路来自最小小平方法，求求残差的最最小平方（113）由概率论的的基本知识识 详见一般的概率论教材，如性质3.1.4，概率论与数理统计，中山大学数学系编著，高教社：北京，1988，pp194，当且仅仅当（14）这也是我们们将其称为为期望支付付平衡的原原因。（114）式左左边为，右右边第一项项变化如下下那么可得到到这里，。根据前面面的假设和和论证，显显然是小于于0的，那那么可见，。进一步步我们有如如下命题。命题2.期期望支付平平衡要比激激励强度平平衡付出更更少的期望望转移支付付。证明：见附附录我们可以在在图形上表表示出合同同线性化和和线性化合合同，如下下首先，是一一个凹性合合同，上面

19、面的两条切切线是（112）定义义的线性化化合同，从从图形上更更容易看出出其事后的的不稳定性性，同样的的产出在其其他合同下下带来的收收益更高；其次，是我们设设定的无参参数的线性性合同，两两者斜率与与截距的差差异由，可知，考考虑到代理理人的效用用曲线与合合同曲线（直直线）相交交以确立其其效用，比比更高的激激励强度使使得高能力力代理人获获得更高的的效用；最最后， 的交点点是容易求求出的，4、一个数数值例子为了更清清晰的理解解上述线性性合同的含含义，以下下的数值例例子是有帮帮助的。委托人：，满足，代理人：服从在上的的均匀分布布，即，易得，令。由一阶条条件式（110），可可得，代入入的上下限限，得，这这

20、满足。考虑分别别为14，115，166三种情形形，简单计计算得到，注意到，当当代理人隐隐瞒真实类类型，按其其他类型的的代理人的的合同生产产，其效用用低于选择择自身类型型合同：比比如类型，当当选择获得得信息租金金350，选选择获得信信息租金3348，选选择获得信信息租金3348，因因此代理人人倾向于选选择自身类类型合同，而而一旦选定定，产量变变动带来的的收益变动动会被成本本变动抵消消，那么代代理人就倾倾向于按委委托人要求求生产产出出，这里即即；另一方方面，事后后的不稳定定性体现在在，代理人人在选择自自身类型合合同按委托托人要求生生产产出时时，其效用用低于选择择其他类型型合同生产产同样产出出，比如

21、类类型，当选择择获得信息息租金3550，选择择获得信息息租金3552，选择择获得信息息租金3552，即产产出的变动动影响了合合同选择的的稳定性。无参数的的线性合同同计算结果果如下：为了防止不不生产或过过度生产，加加上的限制制是必要的的。显而易易见，只对对高于平均均类型的代代理人产生生激励作用用，并且其其激励水平平相对较低低，低于平平均类型的的代理人会会倾向于生生产，而则对除除了最低能能力之外的的其他代理理人全部具具有激励作作用，这在在实践中有有着重要意意义：对业业绩要求较较高的职业业倾向于采采用，而合同则则有利于人人才的选拔拔。5、结论本文讨论论了不对称称信息下委委托代理关关系中合同同的线性化

22、化与线性化化的合同。我们的出出发点是代代理人之间间的能力差差异，由此此诱发了同同时存在的的逆向选择择和道德风风险问题，为为处理这一一问题我们们得到一个个产出呈凹凹性的支付付合同，并并对其线性性化，考虑虑到这一参参数线性合合同系的不不稳定性，我我们最终以以无参数的的线性合同同来替代，从从而更为接接近现实中中使用的合合同。值得注意意的是，最最终实现的的无参数的的线性合同同丧失的灵灵活性使得得对于代理理人的逆向向选择问题题再次呈现现，对此我我们的解释释是：我们们制订的无无参数的线线性合同具具有次优配配置下参数数的整体特特性，这一一点上要远远远强于其其他方式；当参数分分布的方差差不大时，均均值占据了了

23、分布的绝绝大部分信信息，此时时的无参数数的线性合合同也向次次优配置逼逼近，极端端情况下，三者重合合为一条直直线。附录命题1的证证明：对这这一问题的的证明实际际上是将代代理人报告告真实类型型后按委托托人期望提提供产出这这一性质添添加进来，注注意到，委委托人确立立的合同是是针对的对，代理理人可能虚虚报类型选选择其他合合同，也可可能选定合合同后变动动产出，那那么代理人人所面临的的规划是(A.11)其一阶条件件为(A.22)(A.33)当且时，这这些条件得得到满足，注注意这里的的，是由委委托人确定定的次优产产出。由于于取最大值的的二阶条件件得到满足足。证毕命题2的证证明：分别别求出两者者的期望支支付。

24、 （AA.4） （AA.5）可见（A.5）式仅仅比（A.4）式多多个，而根根据第三部部分的论证证，因此前前者要比后后者付出更更多的期望望转移支付付。证毕参考文献1Hoolmsttrom. Benngt aand PP. Miilgroom, AAggreegatiion aand LLineaarityy in the Provvisioon off Inteertemmporaal InncenttivessJ, Econnomettricaa, (19887), Vol:55, pp:3003-3228, 2Sccattller, H annd J. Sunng, The Firsst-O

25、rrder Apprroachh to the Conttinuoous-TTime Prinncipaal Aggent Probblem withh Expponenntiall UtiilityyJ, Jourrnal of EEconoomic Theoory, (19993), Vol:61, No.22, ppp:331-3713Scchatttler, H ,and J. SSung, On Optiimal Sharring Rulees inn Disscrette- aand CContiinuouus-Tiime PPrinccipall-Ageent PProbllem

26、s withh Expponenntiall UtiilityyJ, Jourrnal of EEconoomic Dynaamicss andd Conntroll, (11997), Vool:222, Noo. 2-3, ppp: 5511-57444Diiamonnd. Petter, Manaageriial IIncenntivees: OOn thhe Neear LLineaarityy of Optiimal ComppensaationnJ, Jourrnal of PPolitticall Ecoonomyy，(19887),VVol:1106(55), pp: 931-957,5Laaffonnt. JJ and J. TTirolle, Usiing CCost Obseervattion to RRegullate FirmmsJ, Joournaal off Polliticcal Econnomy, (19866), vool:94, pp:614-6416Leevy. A. and T. Vukiina, Opttimall linne