数列前n项和构成不等式证明方法与技巧

1、 数列前n项和构成不等式证明方法与技巧由数列前n项和构成的不等式是一种非常重要的题型，常在高考题中出现，由于不等式证明本身就是一个难点，再加数列的各种变形应用，不少学生对该题型束手无策，不知从何处去分析寻求解题思路，该题型一般有三种解题思路：第一，若数列a是可求和数列，应先求和Sn，再证明不等式；第二，若数列annn是不可求和数列，一般先将数列的通项放缩成可求和数列，再求和证明不等式；第三，若数列是不可求和数列，对通项的放缩又有一定的困难可尝试用数学归纳法证明不等式，当然有的可求和数列和构成的不等式也可用数学归纳法证明，下面以例说明。例1、各项均为正数的等差数列a,a】=3前n项和为Sn,等比

2、数列b中,n丄丄11丄）（丄丄）（丄1SSS23243512nnnb1=1，且b2S2=64,ba是公比为64的等比数列。n求an、bn；解：设a的公差为d,n则a=3+(n-1)db=qn-1nntb的分比为q(d0,q0)nbabanqan11qaqd64qan1又b2S2=q(6+d)=64可求得：d=2,q=8.a=2n+1,b=8n-1n7n(2)由(1)知Sn=n(n+2)1n(n2)2(nn2)显然_1是可求和数列，先求和，再证明不等式Sn12 2）212）原不等式对nN成立例2、等比数列a的前n项和为Sn,已知对任意的nN，点（n，S）均在函nnn数y=bx+r（b0且b弄l,

3、b,均为常数）的图象上。（1）求r的值；n1(2)当b=2时设b(nN)，数列b的前n项和为Tn,证明Tn4annnn解：(1)由已知有Sn=bn+r,当n2时，Sn-=bn-i+ra二S-S=(b-1)n-1nnn-1又a1=b+ra2=(b-1)b.乞4br=-1abr1n1(2)由b=2,故(1)有：a=2n-例3、证明不等式：1b=一2n1由于b是可求和数列，先求和后证明不等式nT二b+bo+b+bn123Tn2342223242n-得:2n212223n12n1n12n2124Tn3n322n1T为递增数列nTOC o 1-5 h z31TT-1-n122T对nN成立n22Gn11)

4、(nN)证明（一）数列丄是不可求和数列，应先放缩再证明不等式。n 2vnvn.2(*n1vn)vn1vn1丄1L2(辽1)(訂匹)(自v3)v2a/3vn=21).1丄1L2(jn11)对nN成立42v3Jn（二）数学归纳法证明（1）当n=1时，12（：21），即n=1不等式成立。(2)假设当n=k(nN）时不等式成立即：11十2厂1）当n=k+1时1占2（厂1）佔11=2pk1.2(2vk1)22k1k1=：4(k1)42v4(k1)42=2Q.-（k1）11）即n=k+1时，不等式成立。由（1）（2）知，原不等式对nN均成立例4、已知数列a前n项和为Sn，点(n，S)在函数y=3xT的图象

5、上,nnnbn二Jn(n1)an,bn前n项和为Bn,证明：Bn2时，a=S-S=2x3n-1.a=2x3n-1(nN)n.b:n(n1)23nin法(一)，显然b是不可求和数列，先放缩，再证明不等式。nTb:n(n1)23ni二、：4n24n3n1J(2n1)23n1n=(2n+1)x3n-1.*.B二山+匕n123n3X1+5X3+7X32+(2n+1)Xn-1令T=3X+5X3+7X32+(2n+1)Xn-1n由错位相减法可求得Tn=nx3n.Bnx3nn注：也可用均值不等式：和n1)空对bn进行放缩。L-iL-i法(二)用数学归纳法证明：Bnnn当n=1时，B=b厂运2.21x31=3即n=1时，不等式成立假设当n=k+1时，不等式成立，即Bkk3k当n=k+1时Bk+1=Bk+bk+1kk+(k1)(k2)23kk.k+23k2=(3k+3)x3k=(k+1)x3k+1即n=k+1时不等式成立由知：Bnn3n对nN均成立由以上例题可知，对于由数列a的前n项和Sn构成的不等式证明，首先考查nna是否