变分法简介(简单-明了-易懂)

1、 1变分法简介作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹：约翰伯努利(JohannBernoulli,16671748)1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？”这就是著名的“最速降线”问题(TheBrachistochroneProblem)。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数(曲线)，来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔(GuillaumeFrancoisAntoni

2、edelHospital1661T704)、雅可比伯努利(JacobBernoulli1654T705)、莱布尼茨(GottfriedWilhelmLeibniz,1646-1716)和牛顿(IsaacNewton16421727)都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉(EulerLonhard,17071783)和拉格朗日(Lagrange,JosephLouis，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。有趣的是，在1690年约翰伯努利的哥哥雅可比伯努利曾提出著名的悬链线问题(TheHangingCha

3、inProblem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线(catenary)。伽利略(Galileo,15641643)比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯(Huygens,16291695)在1646年(当时17岁),经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯(以62岁)与约翰

4、伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程如，a1+(dy)2dx2dxy(0)，y0y(0)，0解此方程并适当选取参数，得12a(eax+eax)1)即为悬链线。悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这

5、是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变分法来证明！现实中很多现象可以表达为泛函极小问题，我们称之为变分问题。求解方法通常有两种：古典变分法和最优控制论。我们这儿要介绍的基本属于古典变分法的范畴。变分法的基本概念1.1.1泛函的概念设S为一函数集合，若对于每一个函数x(t)S有一个实数J与之对应，则称J是定义在S上的泛函，记作J(x(t)。S称为J的容许函数集。例如，在x0,xj上光滑曲线y(x)的长度可定义为2)xo0,x1，1JJx11+y，2dx考虑几个具体曲线，取xI若y(x)x,贝yJ(y(x)J(x)J11+1dx2若y(x)为悬

6、链线，则ex+e-x01-(exe-x)2iex+e-ee-1J()J11+dxJ1dx2o4o22对应C1xo,xi中不同的函数y(x),有不同曲线长度值J,即J依赖于y(x)，是定义在函数集合Cix,x上的一个泛函，此时我们可以写成o1JJ(y(x)我们称如下形式的泛函为最简泛函3)J(x(t)JrfF(t,x(t),x(t)dtto被积函数F包含自变量t，未知函数x(t)及导数x(t)。如，上述曲线长度泛函即为一最简泛函。1.1.2泛函极值问题考虑上述曲线长度泛函，我们可以提出下面问题：在所有连接定点A(x,y)和3(x,y)的平面曲线中，试求长度最小的曲线。oo11即，求y(x)1(x

7、)y(x)Cix,x,y(x)y,y(x)y|使01001111+y，2dx取最小值。此即为泛函极值问题的一个例子。以极小值为例，一般的泛函极值问题可表述为，称泛函J(x(t)在(t)S取得极小值，如果对于任意一个与(t)接近的x(t)S，都有J(x(t)J(xo(t)。所谓接近，可以用距离d(x(t)，xo(t)宀来度量，而距离可以定义为d(x(t),x(t)max|x(t)-x(t)|,|x(t)-x(t)|oootttof 泛函的极大值可以类似地定义。其中x(t)称为泛函的极值函数或极值曲线。01.1.3泛函的变分如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛

8、函的自变量，函数x(t)在x(t)的增量记为0,x(t)=x(t)一x(t)0也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作J=J(x(t)+,x(t)一J(x(t)00如果可以表为J=L(x(t),x(t)+r(x(t),x(t)00其中L为,x的线性项，而r是,兀的高阶项，则称L为泛函在當)的变分，记作,J(x(t)。用变动的x(t)代替x(t)，就有,J(x(t)。00泛函变分的一个重要形式是它可以表为对参数的导数a,J(x(t)=J(x(t)+a&(t)a|=o4)这是因为当变分存在时，增量J=J(x(t)+St)-J(x(t)=L(x(t),St)+r(x(t),5r)根据L和r的性质有L

9、(x(t)，况)=oL(x(t),x)r(x(t),&)r(x(t),a&)八lim=lim,x=0totoQX所以J(x+a,x)一J(x)=limo=limL(X，&)+r(X，况)=L(x,x)=,J(x)tO1.2泛函极值的相关结论1.2.1泛函极值的变分表示利用变分的表达式(4)，可以得到有关泛函极值的重要结论。J(x+a,x)5a泛函极值的变分表示：若J(x(t)在當)达到极值(极大或极小)，则,J(x(t)二005)证明：对任意给定的，x，J(xo+，X)是变量的函数，该函数在二0处达到极值。根据函数极值的必要条件知 J(x+a&)0,ao=o再由（4）式，便可得到（5）式。 #

10、 #变分法的基本引理：申（x）中,和，Vn(X)C1X1,X2，耳(X1)(X2)0，有 Jx2P(x)n(x)dx三0,则P(X)三0,xx,x。12证明略。1.2.2泛函极值的必要条件考虑最简泛函（3），其中F具有二阶连续偏导数，容许函数类S取为满足端点条件为固定端点（6）的二阶可微函数。6)7)x（t）=x，x（t）=x00，ff泛函极值的必要条件：设泛函（3）在x（t）GS取得极值，则x（t）满足欧拉方程F-F=0dtx欧拉方程推导：首先计算（3）式的变分：a=0J=J(x(t)+ar(t)dta=0,atfF(t,x(t)+a(t,a=JfF(t,x,x)x+F(t,x,x)xdtt

11、xxt0对上式右端第二项做分部积分，并利用x(t)=x(t)=0，有0fJtfF(t,x,x)xdt=JtfF(t,x,x)xdt，t0 xt0dtx00所以J=JtfFFxdttxdtxt0利用泛函极值的变分表示，得tfFFxdt=0txdtx0因为x的任意性，及x(t)=x(t)=0，由基本引理，即得(7)。0f7）式也可写成F-F-Fx-Fx=0 xtxxxxx通常这是关于x（t）的二阶微分方程，通解中的任意常数由端点条件（6）确定。1.2.3几种特殊形式最简泛函的欧拉方程(i)F不依赖于x，即F=F(t,x)这时F三0,欧拉方程为F(t,x)二0,这个方程以隐函数形式给出x(t)，但它

12、一般不xx满足边界条件，因此，变分问题无解。(ii)F不依赖x，即F=F(t,X)欧拉方程为fF(t,X)=0dtx将上式积分一次，便得首次积分F(t,x)二c，由此可求出x=,(t,c)，积分后得到可能的x11极值曲线族1(iii)F只依赖于x，即F=F(x)这时F=0,F=0,F=0，欧拉方程为xtxxxxF二0 xx由此可设x二0或F=0，如果x二0，则得到含有两个参数的直线族x=ct+c。另外xx12若F=0有一个或几个实根时，则除了上面的直线族外，又得到含有一个参数c的直线族xxx=kt+c，它包含于上面含有两个参数的直线族x=ct+c中，于是，在F=F(x)情12况下，极值曲线必然

13、是直线族。(iv)F只依赖于x和x，即F=F(x,x)这时有F=0，故欧拉方程为txF-xF-xF=0 xxxxx此方程具有首次积分为F-xF=cx1事实上，注意到F不依赖于t，于是有(FxF)=Fx+FxxFxF=x(FF)=0。dtxxxxdtxxdtx1.3几个经典的例子最速降线问题最速降线问题设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，使质点仅受重力作用，初速度为零时，沿此曲线从A滑行至B的时间最短。解将A点取为坐标原点，B点取为B(x1,y1)，如图1。根据能量守恒定律，质点在曲 ds线y(x)上任一点处的速度石满足(s为弧长)1ml2dt丿d

14、s2mgy将ds1+y2(x)dx代入上式得1+y2dtdx2gy于是质点滑行时间应表为y(x)的泛函J(y(x)卜0端点条件为y(0)0,y(x)y11最速降线满足欧拉方程,因为1+y2F(y,y)1yy不含自变量x,所以方程(8)可写作F-Fy-Fy0yyyyy等价于4-(f-yf)0dxy作一次积分得y(1+y2)ci令yctg2,则方程化为ycsin2=Ci(1一cos0)1+y2i22又因.00舶csincosd0dx空)_ HYPERLINK l bookmark103y0Ctg2c2(1-cos0)d0积分之,得x(0一sin0)+c22 由边界条件y(0)0,可知co，故得2x

15、二(0一sin0)cy=(1一cos0).这是摆线(园滚线)的参数方程，其中常数C可利用另一边界条件y(X)y来确定。111最小旋转面问题最小旋转面问题对于xy平面上过定点A(x,y)和B(x,y)的每一条光滑曲线1122y(x)，绕x轴旋转得一旋转体。旋转体的侧面积是曲线y(x)的泛函J(y(x)，易得J(y(x)=fx22Ky(x)1+y2(x)dxx1容许函数集可表示为Sly(x)GC1xi，x2，y(xi)y1，y(x2)y2解因Fy1+y不包含x,故有首次积分F一yFyy1+y2-yyyc1+y21 # #化简得yc11+y2令ysht，代入上式，yc11+sh21c1cht # d

16、ycshtdt由于dxTcdtysht1积分之，得xCt+c12xc消去t，就得到ycch2。1c1这是悬链线方程，适当选择条件(令该悬链线过(0,1/a)点，且该点处的切线是水平的)就可得到(1)。本例说明，对于平面上过两个定点的所有光滑曲线，其中绕x轴旋转所得旋转体的侧面积最小的是悬链线！悬链线势能最小1691年，雅可比伯努利证明：悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能。下面我们用变分法证明之。考虑通过A、B两点的各种等长曲线。令曲线y=f(x)的长度为L,重心坐标为(x,y)， #L，ds，aady)2dxdx由重心公式有ady)2dxdx

17、y1+(dy)2dxL # 由于只需探讨曲线重心的高低，所以只对纵坐标的公式进行分析，注意到问题的表述，说明L是常数，不难看出重心的纵坐标是y(x)的最简泛函，记作J(y(x)，by(x)1+(y)2dxa此时对应的欧拉方程(8)可化为yy(y)21，0dy令p，解得y2，k(1+p2),k0，进而得dxk(x+c)。此即为悬链线，它使重心最低，势能最小！大自然中的许多结构是符合最小势能的，人们称之为最小势能原理。1.4泛函极值问题的补充1.4.1泛函极值的几个简单推广含多个函数的泛函使泛函J(y(x),z(x)，Jx2F(x,y,y,z,z)dxx1取极值且满足固定边界条件y(x)，y,y(

18、x)，y,z(x)，z,z(x)，z.11221122的极值曲线y，y(x),z，z(x)必满足欧拉方程组dcFF，0ydxyVJFF，0zdxz含高阶导数的泛函使泛函J(y(x)，Jx2F(x,y,y,y)dxx1取极值且满足固定边界条件y(x1)=y1,y(x2)=y2，y(x1)=y1,y(x2)=y2的极值曲线yy(x)必满足微分方程dd2FF+F=0ydxydx2yiii)含多元函数的泛函设z(x,y)Gc2,(x,y)gD，使泛函J(z(x,y)=F(x,y,z,z,z)dxdyxyD取极值且在区域D的边界线l上取已知值的极值函数z=z(x,y)必满足方程F-F-F=0zxzxyz

19、y上式称为奥式方程。1.4.2端点变动的情况(横截条件)设容许曲线x(t)在t0固定，在另一端点ttf时不固定，是沿着给定的曲线x中上变动。于是端点条件表示为x(t)x00X(t)=中(t)这里t是变动的，不妨用参数形式表示为tt+odt寻找端点变动情况的泛函极值必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有I+Fdt=tfffa=00=J=tf+adt.fF(t,x+ax,x+ar)dt加t0=itf(F-F)xdt+Ftxdtxx0再对(9)式做如下分析：(i)对每一个固定的t，x(t)都满足欧拉方程，即(9)式右端的第一项积分为零;(ii)为考察(9)式的第二、第三项，建立dt与x之间的

20、关系，因为ft=tfx(t+adt)+ax(t+odt)=中(t+adt)对3求导并令a=0得X(t)dt+x|=|(t)dt/t=tff10)=,(t)x(t)dtfff把(10)代入(9)并利用dt的任意性，得11)11)式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。横截条件有两种常见的特殊情况：(i)当x=,(t)是垂直横轴的直线时，t固定，x(t)自由，并称x(t)为自由端点。此时(9)式中dt=0及8x|的任意性，便得自由端点的横截条件ft=tf12)(ii)当x=,(t)是平行横轴的直线时，t自由，x(t)固定，并称x(t)为平动端点。此时,=0，(11)式的横截条件变

21、为FxFx=0t=tf*(13)注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。1.4.3有约束条件的泛函极值在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统x(t)=f(t,x(t),u(t)*(14)寻求最优性能指标(目标函数)J(u(t)=p(t,x(tfF(t,x(t),u(t)dtfftt0其中u(t)是控制策略，x(t)是轨线，t固定，t及x(t)自由，x(t)GRn，u(t)GRm(不0ff*(15)受限，充满Rm空间)，f,申,F连续可微。F面推导取得目标函数极值的最优控制策略u*(t)和最优轨线x*(t)的必要条件。采用拉格朗日乘子法，化

22、条件极值为无条件极值，即考虑J(x,u,九)=P(t,x(tfF(t,x,u)Xt(t)(f(t,x,u)x)dt1fftt0的无条件极值，首先定义(14)式和(15)式的哈密顿(Hamilton)函数为16)H(t,x,u,九)=F(t,x,u)九t(t)f(t,x,u)19)(17)将其代入(16)式，得到泛函J(x,u,九)=P(t,x(tfH(t,x,u,九)一九txdt1fftt020)(18)面先对其求变分8J,(t+dt,x(t)+&(t)1ffff+ftf+dtfH(t,x+&,u+a8w,X+a8X)-(X+8X)t(X+a8X)dtt=0tfx(tf)+ftf(8x)tH+

23、(8u)tH+(8X)tH-(8X)tX-Xt8XdttxuXt0(dt)t,+F(t,x,u,t)ftf+ftf(8x)tH+(8u)tH+(8X)tH-(8X)t；dt-Xt(t)8x*XuXfto(注意最后两项是根据等号前最后一个积分项利用分部积分法得到。)同时注意到8X+8x(t)t,(注：第一项利用公式(14)化简后)ttffx(tf)+ftf(6x)tXdtt08x(t),8xtff8J(dt)t,+H(t,x,u,X)1ft.r=8x(t)-X(t)dt，因而t=t.ffff+&(t)t(,-X)曰中fxt=i=8x(t)1,+(dt)t,+(dt)tH(t,x,u,X)-(dt)t(Xtx)+tf(6x)t(H+X)+X)t(H-X)+(6u)tHdt