(江苏专用)高考数学二轮复习 专题19附加题23题学案

1、专题19附加题23题1江苏高考考试说明中附加题圆锥曲线与方程中抛物线为B级要求，2011年、2012年高考中均没有考查，预测2013年高考中可能会考查；2江苏高考考试说明附加题中对空间向量与立体几何是B级要求，2009年、2010年、2012年高考没有考查，2011年高考考查空间角的概念，求线段的长.预测2013年高考会考查.典例1在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2),其焦点F在x轴上.求抛物线C的标准方程；求过焦点F,且与直线OA垂直的直线的方程；设过点M(m,0)(m0)的直线交抛物线C于D，E两点，ME=2DM,记D和E两点间的距离为f(m),求f(m)关于

2、m的表达式.在抛物线C上,与直线OA垂直解由题意，可设抛物线C的标准方程为y2=2px.因为点A(2,2)所以p=1.因此，抛物线C的标准方程为y2=2x.(2)由(1)可得焦点F的坐标是(1，0)又直线0A的斜率为|=1,故的直线的斜率为1.因此，所求直线的方程是x+y苏0.(3)法一：设点D和E的坐标分别为(x,y)和(x,y),直线DE的方程是y=k(xm),kMO.1122y将x=k+m代入y2=2x,有ky22y2km=0,解得y12=121土冷1+2mk2k由ME=2DM,知1+叮1+2mk2=2(J1+2mk21),4化简得k2=m，因此DE2=(x1x2)2+(y1y2)2=1

3、+k)(y1y2)2(1)+2mk2=i+k_Wr9=4(m2+4m).O所以f(m)=2Jm2+4m(m0).法二：设,sj,tj,由点M(m,O)及ME=2DM得it2T=2m-t0=2(0s).因此t=2s,m=S2，所以f(m)=DE=2”Jm2+4m(m0).本小题主要考查直线、抛物线方程及两点间的距离公式等基本知识,考查运算求解能力.演练1(2012徐州信息卷)过直线x=2上的动点P作抛物线y2=4x的两条切线PA,PB,其中A,B为切点.若切线PA,PB的斜率分别为k,k,求证：kk为定值；1212求证：直线AB恒过定点.证明：(1)不妨设A(t2,2t)(t0),B(t2,2t

4、)(t0),P(2,m).111222因为y2=4x，所以当y0时，y=2込，yz=j=，所以也=十.同理k2=t.丄.2tm1/口由k=十1=，得t所以直线方程化为y=十工十(x2),12mt2=0.1t22t1111同理十2m十一2=0.22所以E，十2是方程十2m十一2=0的两个实数根.所以tt=2.12所以唯=十十=-2为定值.12十十(2)直线AB的方程为y2十厂一(x十),21口口22十2即尸十工产+2十厂十工十，1212口口2,2十十亠十艮卩y=十丄十x+十丄十，由于十十=2,十十十十121212y=0,AB=BC=AP=所以直线AB恒过定点(2,0).典例2(2012泰州期末)

5、如图，在三棱锥PABC中，平面ABC丄平面APC,PC=S,ZABC=ZAPC=90.(1)求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；(2)若动点M在底面三角形ABC上，二面角MPAC的余弦值为晋，求BM的最小值.解取AC中点0,*.*AB=BC,A0B0C.平面ABC丄平面APC,平面ABCn平面APC=AC,A0B丄平面PAC.A0B丄OP.以0为坐标原点，OB,0C,OP分别为x,/AB=BC=PA=,2,A0B=0C=0P=1.y,z轴建立如图所示空间直角坐标系.从而0(0,0,0),B(l,0,0),A(0,1,0),C(0,l,0),P(0,0,1),ABC=(一1,1,0),PB=(

6、1,0,1),AP=(0,1,1).一x+y=0,xz=0.设平面PBC的法向量气=(x,y,z),APn1由BCn1=0,PBn1=0得方程组取n!=(1,1,1),Acosap，n1=fA=半设PA与平面PBC所成角为良,则sin0=|cosAD,气I=A直线PA与平面PBC所成角的正弦值为斗6由题意平面PAC的法向量气=(1,0,0).设平面PAM的法向量为n=(x,y,z),M(m,n,0).3AP=(0,1,1),AM=(m,n1,0),又APn=0,3AMn=0,3，y+z=0,mx+n+11In+1取气=肓，1，1J-ly=5n1COS气，n3_nnm3；T1In：lln3厂!(

7、n+111.23T+229.*.n+1=3m或n+1=3m(舍去).AAM=(m,3m,0).又AB(1,1,0)，ACOsAM，AB=2呂=5则sinAM,AB=卑,d=AB申*.55B点到AM的最小值为垂直距离d=5考查空间向量在立体几何中的应用，求出平面的法向量是解题的关键演练2(2012苏北四市二模)在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D】中，E为点P在平面ABCD中，DP丄平面PCE.试求：线段D1P的长；直线DE与平面PCE所成角的正弦值.解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，C(0,2,0).设P(x,y,2)，则DP=(x,y,0),EP=(x2，y1

8、,2)，EC=(2,1,0).因为DP丄平面PCE，所以DP丄EP.DP丄EC.所以DPEP=0，DPEC=0,111故rx2+yyi=02x+y=0.x=0，解得|y=0 x=5,5(舍去)或8因为AS=(0,3,3),BC=(2“30,0).即p(5,5,2)所以Dip=(5,5,所以D=/16丰644/525+25=5.DPDE1|DP|DE|11645.(2)由(1)知，DE=(2,1,0),D=4,8,ojdp丄平面pec,设DE与平面PEC所成角为6,DP与DE所成角为a，则sin6=|cosa|=4所以直线DE与平面PEC所成角的正弦值为彳专题技法归纳抛物线与直线的位置关系中重点

9、考查顶点在原点的抛物线与过焦点的直线的位置关系,熟练掌握抛物线的几何性质,利用几何性质解决问题较为简单；空间向量与立体几何主要考查向量的坐标表示、向量运算、平面的法向量、空间角及距离的计算对于点的位置的探索问题,可以利用向量共线定理设元确定1.(2012苏北四市三模)在三棱锥SABC中，底面是边长为23的点S在底面ABC上的射影0恰是BC的中点，侧棱SA和底面成45角.(1)SD若D为侧棱SA上一点，当DA为何值时，BD丄AC；(2)求二面角SACB的余弦值大小正三角形,解：以O点为原点，OC为x轴，OA为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系.因为ABC是边长为2旳的正三角形，又SA与底面所成角

10、为45，所以ZSAO=45所以SO=AO=3.所以O(0,0,0),C(,0,0),A(0,3,0),S(0,0,3),B(百,0,a,设AD=a,则D、0,3a，所以BD=AC=(,3,0).若BD丄AC,则BDAC=3解得a=2勺2,而AS=32,所以SD=”,：2.所以DA=2又设平面CDE的法向量为n=（x2,y2,），设平面ACS的法向量为气=(x,y,z),nAC=x,y,z1：3,3,门=3x3y=0,则0、nAS=x,y,z,3,c=3y+3z=0,令z=1,则x=3,y=1,所以气=(寸3,1,1).而平面ABC的法向量为n2=(0,0,1),所以cosn,n=”+1卑+1耳

11、=+，显然所求二面角的平面角为锐角,12#12+12+叩32乜175故所求二面角的余弦值的大小2.（2012镇江5月）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是AC的中点,一点，且DE=hEO.1（1）若人=1,求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；（2）若平面CDE丄平面CDO,求A的值.E是线段D1O上解：（1）不妨设正方体的棱长为1，以DA,DC,DD1为单位正立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.则a（1,0,0）,oQ,2,）C（0,1,0）,片（0,0,1）,eQ,4,2）于是DE=4,交基底建由cosDE,CD1CD1=(0，1,1).=DECD、=3=|DE|CD1|=63所以异

12、面直线AE与CD1所成角勺余弦g-(2)设平面CD0的向量为m=(X,y1，z),由mCO=0,mCD=0,11得pxy1=0、一y+z=0,11取X=1,得y1=z1=1,即m=(1,1,1).由早=EO,则E|DE由nCD=0,nDE=0.故点P在ba的延长线上，且|吋|=1y=0,2得1Ax,Ay.z2-J-2-J-2=Ji+A21-A1-A取x=2,得z=A，即n=(2,0,A).22因为平面CDE丄平面CDO,所以mn=0,得A=2.3.(2012南通密卷)如图，已知三棱柱ABCAC的侧棱与底面垂直，=AC=1,AB丄AC,M是CC勺中点，N是BC的中点，点P在直线上，且AP=AAB

13、.111(1)当A取何值时，直线PN与平面ABC所成的角Q最大？一(2)若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45，试确定点P的位置.AA=AB1满足解：(1)以AB,AC,AA分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系Axyz,Ng,2,oj,P(A,0,1)，则PN=卜A12平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1),则sin0=|cosPN,n|PNn|1n于是问题转化为二次函数求最值，而0丘0，当0最大时,sin0最大，所以当A=2时,sin0最大,0也最大.(2)已知给出了平面PMN与平面ABC所成的二面角为45,即可得到平面ABC的一个法向量为n=AA1=(0,0,1)，设平面PMN的

14、一个法向量为m=(x,y,z),MP=A,1,).,厂JmNP=0,小2)x2y-z=0，一由得mMP=0,.i1aIAxy+z=0,0恒成立，则y=12所以mW3.(2012南通密卷)在平面直角坐标系xOy中，已知焦点为F的抛物线X2=4y上有两个动点A,B,且满足AF=FB,过A,B两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M.求：OAOB的值；证明：FMAB为定值.解:设血，孔匕卜,4),焦点F(0,1),AF=,AF=AFB,_x2，消人=匚.11220002ky又x=+1,消去k，得y2=2(x1)，0k00所以点M的轨迹方程为y2=2(x1).(2)由(1)知，点M+1，彳)因为m3,所