数学物理方程定解问题课件

1、本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解；重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法；特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程。第二篇 数学物理方程数理方程简介物理/工程问题数学问题翻译物理/工程规律数学结果求解数学理论数学性质讨论物理/工程意义补充： 二阶线性偏微分方程及其分类一、偏微分方程阶数：偏导数的最高阶数定义：未知函数及其偏导数所满足的方程。线性偏微分方程：所有含未知函数或其偏导数的项均为一次项。齐次方程：各非零项都含有未知函数，或未知函数的偏导数二、 二阶线性偏微分方程的分类 复杂多样的物理问题被抽象成数学模型时，

2、多样的物理背景可能是同一个数学模型。下面把从物 理问题中抽象出来的二阶线性偏微分方程分为几大类1.波动方程：描述机械的、电磁的振动和波动的 运动规律的方程一般形式：设 u = u (x ,y ,z ,t) 简记为：（ a为常数）拉氏算符也称：双曲型方程（ Hyperbolic Equation）2. 输运方程：描述热传导和物质扩散规律的方程 一般形式： 也称：抛物型方程（Parabolic Equation）： 双曲型方程和抛物型方程都是随时间变化（或发展）的,有时也称为发展方程.3.泊松方程和拉氏方程：描述各类稳定问题规律的方程一般形式：泊松方程拉氏方程 它是描述物理现象中稳定（或平衡状态）

3、过程规律偏微分方程. 在物理现象中，它很好地描述了重力场、静电场、静磁场、稳恒流的速度势等规律。方程还可直接由实验中总结出来（麦克斯韦方程组）或由某些假设推出来（薛定谔方程）要求：学会从物理、工程规律推导方程的基本方法由已知的物理/工程规律可推导出来这三类方程。数学建模的基本物理思想在科学技术和生产实际中常常要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程。【例】静电场（或电磁波）的电场强度或电势在空间中的分布， 声场中的声压在空间和时间中的变化情况， 半导体扩散工艺中杂质浓度在硅片中怎样分布并怎样随时间而变化等等。定解条件： 边界条件和初始条件反映了具体问题的特定环境和历史，即问题的特殊性(

4、个性)。（1）牛顿（Newton）第二定律: F = ma ；（2）胡克（Hooke）定律在弹性限度内，弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比 即张应力杨氏模量(E )相对伸长.（3）热传导的傅里叶定律：在dt 时间内，通过面积元dS 流入小体积元的热量dQ 与沿面积元外法线方向的温度梯度 成正比，也与dS和dt 成正比，即： 式中k 是导热系数，由物体的材料决定常用物理定理概述返回返回（4）牛顿(Newton)冷却定律: 单位时间内从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比, 即： 这里u1 是外界媒质的温度. h 为比例系数(5) 扩散定律 即斐克定律: 单位时间内扩散流过

5、某横截面的杂质量m 与该横截面积S 和浓度梯度 成正比，即：式中D为扩散系数，负号表示扩散是向着杂质浓度减少的方向进行的。返回返回（6）静电场中的高斯(Gauss)定理: 通过任意闭合曲面的电场强度通量，等于这个闭合曲面所包围的自由电荷量的1/倍。即其中，为电荷所处媒质的介电常数，为电荷体密度。 补充：拉普拉斯算符令（拉普拉斯算符）有时记记下标2是为了强调二维下标3是为了强调三维（弦的一维自由横振动）一根均匀柔软的细弦，平衡时将其绷紧，考察它沿垂直于弦方向的微小振动。1、均匀弦的微小横振动7.1 三类数学物理方程的导出推导过程：（1）建立坐标系： 选择弦平衡时绷紧的直线为ox轴。（2）确定描述

6、状态的物理量： u (x ,t) u (x ,t)弦上位于x点在任意t时刻偏离平衡 位置的横向位移。（3）弦运动所遵循的物理规律： 弦上任意一小段可视为质点，服从牛顿第二定律xx+xxu弦的横向位移为 u(x,t)(5)导出方程（小块分析法）：考虑微小横振动xx+xxu均匀弦的受迫横振动如果各点受到一个垂直方向的外力F (x ,t) x的作用，其中：F (x ,t)为单位长度上受到的外力。推导过程相同，结果得：一维波动方程单位质量所受的力(力密度)杆长方向的纵向振动位移所遵从的运动规律： 对于一根杆，只要其中任意一小段有纵向移动，必然使它的临近段压缩或伸长，这邻近段的压缩或伸长又使得它自己的相

7、邻段压缩或伸长 。这样一来，任一小段的纵向振动必然传播到整根杆实际上，这种振动的传播就是波2、均匀杆的纵振动细杆分成许多段（研究B段）t时刻，某点的纵向位移为t时刻，B段伸长相对伸长为事实上，相对伸长是位置的函数，如B段两端：不同的物理过程，可能有相同的泛定方程。如：传输线方程（电报方程）均匀薄膜的微小横振动方程流体力学与声学方程电磁波方程 尽管它们的物理本质根本不同，但是这些方程数学形式与弦振动方程和杆纵振动方程完全一样。3、扩散方程由于浓度不同引起的分子运动扩散流强度q ，即单位 时间内流过单位面积的分子数或质量，与浓度 u(单位体积内的粒子数） 的梯度成正比 D 为扩散系数。 负号表扩散

8、方向与浓度梯度相反。(扩散定律 /斐克定律)大小 x方向左表面，dt 时间流入六面体的流量为流出六面体的流量为净流入量为x 方向净流入量为同理可以求得y 方向净流入量为以及z 方向净流入量为则六面体净流入量如六面体内无源和汇，则dt时间内粒子增加数为该增加数等于六面体净流入量，即于是得到三维扩散方程：如果扩散系数D在空间中是均匀的，则上式可以简化为这里 a2=D 。如果仅在x方向有扩散，则有 即如六面体内有源或汇，则需进一步考虑以下两种情况：第二种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 b2u ，则即第一种情况，若单位时间内单位体积中产生的粒子数为 F(x,y,z,t) 与 u 无关4、热

9、传导方程第一种情况：系统内无热源（热传导仅由物体内部温度不均匀所引发）如果物体内各点的温度不一样，则物体内部就会有热传导现象发生，即热量会从温度高的地方流向温度低的地方。热传导的结果使物体各点温度发生变化，我们的任务就是要推导温度变化所满足的偏微分方程。设有一根横截面为A的均匀细杆，沿杆长有温度差，其侧面绝热。u(x,t) 为 x 处 t 时刻的温度， 为杆密度。xxx+x热传导的傅里叶定律：单位 时间内流过单位面积的热量 q (热流强度量）与温度的梯度成正比，即 （k 为热传导系数） 一维情况下有大小 x方向左表面，dt 时间流入圆柱体的热量为dt 时间流出圆柱体的热量为xxx+xdt 时间

10、净流入的热量为 这里认为热传导系数k 为常数。u(x,t) 为 x 处 t 时刻的温度， 为杆密度xxx+xdt 时间内引起小段dx温度升高所需热量为由能量守恒定律：dt流入dx内的净热量 体元dx温度改变du所吸收 （放出）的热量 即：各向同性均匀物体，当体内无热源时的热传导方程。 为该情况下，按单位质量单位热容量计算的热源强度。设：单位时间单位体积内产生的热量为F (x,t)， （如焦耳热），则能量守恒方程改写为第二种情况：系统内有热源三维情况下5、稳定场方程 以热传导方程为例：如果边界条件及热源内不随时间变化，经过一定时间后，物体内部的温度分布将达到稳定状态。即：那么：退化为 Lapla

11、ce方程泊松方程7.1 作业：P121习题 3和习题 4。注意习题 4需要先推导出(7.1.34)和(7.1.36)。6、静电场情况下的泊松方程和Laplace 方程电场强度通量的高斯定理称为 泊松方程称为 Laplace 方程若高数下册 P229 高斯公式 7、不可压缩流体的无旋稳恒流动无旋稳恒流动的速度势 满足无源无旋稳恒流动的速度势f 为流体源或汇的强度（不讲，幻灯片隐藏）各类方程均是对一种连续分布的物理场的逐点、瞬时的精确描述。也就是说，从空间上看，方程所反映的是系统中除边界点外所有内部点的运动规律。从时间上看，方程所反映的是系统在t0以后各个时刻的运动规律。方程反映的是同一类物理问题

12、的共性，跟具体条件无关泛定方程。具体问题的个性是由边界条件和初始条件反映的；要完全确定地解出一个具体的物理问题，还必须考虑边界条件和初条件定解条件。 7.2 定解条件t0时刻系统的周围环境t=0时刻系统的初始状态物理、工程数学t0时刻系统内部的物理、工程过程泛定方程边界条件初始条件某系统物理状态的最后确定不仅取决于系统内部的物理过程，而且还取决于系统周围环境和初始状态。对于输运方程（一）、初始条件初始条件要求已知对于弦振动方程初始条件要求已知位移满足速度满足定义：描述初始时刻，系统各点状态的定解条件。注：只有非稳定问题，提初始条件才有意义。x=l / 2xyx=lhx0位移满足速度满足（二）、

13、边界条件第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件一维情况解释和M如两端固定弦,端点位移x=l / 2xyx=lhx0（1）、第一类边界条件如细杆热传导端点温度l0 x（如扩散端点浓度）A）、如细杆的纵振动，x=a 处受力 f(t)（2）、第二类边界条件如杆端自由 f(t)=0a0 x如细杆热传导端点有热量流出如细杆热传导端点有热量流入B）、热传导0 xa如细杆热传导，一端自由冷却则热流强度与杆端 u|x=a 和周围介质温度差有关系（3）、第三类边界条件0 xa牛顿冷却定律0 xa对于两端都是自由冷却的杆：x=0 处第一、第二和第三类边界条件可统一写成：第三类第二类第一类非齐次齐次（三）、衔接条件x0 xy01.所研究的区域里出现跃变点，在跃变点处应 提