数学危机简要概述

1、当前文档修改密码：8362839第七讲数学危危机在科学史史上，对对于特别别重大的的知识更更新和观观念突破破，一般般称为科科学革命命（Scciennce Revvoluutioon）。从“革命”的字面面意义我我们也不不难看出出，这种种知识的的变革具具有颠覆覆性，是是在否定定原有知知识体系系的基础础上重新新建立知知识的大大厦。例例如哥白白尼革命命以日心心说挑战战传统的的地心说说，取缔缔了人们们赋予地地球的神神圣地位位；牛顿顿革命建建立了天天体力学学体系，统一了了天上和和人间的的机械力力学现象象；达尔尔文革命命通过自自然选择择和生存存斗争学学说，取取消了人人类与其其它生物物的本质质区别；爱因斯斯坦建

2、立立的狭义义和广义义相对性性原理，否定了了长期以以来关于于绝对时时间和绝绝对空间间的基本本假定。在这一点点上，数数学和自自然科学学不同。从知识识体系上上来讲，数学理理论总是是在原有有的基础础上进行行扩充，新增的的部分与与原来的的体系总总是融为为一体。或者说说，数学学理论的的重大发发展，一一般都不不是对原原有理论论的根本本否定，而是对对原有理理论体系系的某种种推广。所以，一般来来说，并并没有“数学革革命”这种说说法。但没有“数学革革命”，并不不等于数数学在其其发展过过程中就就是一帆帆风顺的的。因为为数学总总是在一一定的基基础上发发展起来来的。随随着人们们处理问问题的深深度和广广度发生生变化，原来

3、的的基础假假定往往往会遇到到根本性性的困难难。这时时候就产产生了所所谓的“数学危危机”。另一方面面，数学学危机和和科学革革命也有有相同之之处，二二者都体体现了人人类直觉觉与理性性的消长长。我们们知道，直觉是是一种富富有创造造性的思思维方式式，人类类一直相相信自己己的直觉觉；但是是历史发发展表明明，直觉觉经常是是和理性性相对立立的。科科学革命命的进程程和数学学危机的的解决过过程，大大体上都都是理性性战胜直直觉的一一个过程程。科学学中的理理性主义义正是通通过对直直觉的怀怀疑与否否定才得得以确立立其至高高无上的的地位。从这一一点上来来看，数数学危机机和科学学革命又又是一致致的。现在公认认的数学学危机

4、共共有3次，即即无理数数的发现现、微积积分的基基础问题题和集合合论悖论论。本讲讲只介绍绍前两次次数学危危机。1. 第第一次数数学危机机1.1无理理数的发发现我们已经经知道，古希腊腊的毕达达哥拉斯斯（Pyythaagorras, caa.5660-cca.4480.BC）学派从从毕达哥哥拉斯开开始，一一直延续续到公元元前四世世纪中叶叶。这个个学派是是一种宗宗教式的的秘密结结社，致致力于哲哲学和数数学的研研究。相相传，“哲学”和“数学”这两个个词就是是它创造造的，原原意分别别指“智力爱爱好”和“可学到到的知识识”。在这这个学派派兴盛的的时期，学派内内部的各各种发现现往往秘秘而不宣宣，并且且大家习习

5、惯于把把各这些些发现都都归结在在领袖毕毕达哥拉拉斯的名名下。毕达哥拉拉斯学派派对数学学最重要要的贡献献之一是是证明了了毕达哥哥拉斯定定理（在在中国被被称为勾勾股定理理），即即：直角角三角形形斜边长长度的平平方等于于二直角角边长度度的平方方和。据据说当时时的人们们为了庆庆祝发现现这个定定理，曾曾经宰了了1000头牛来来拜祭天天神。这这一定理理我们在在小学的的时候就就已经知知道，因因此大家家可能觉觉得当年年毕达哥哥拉斯学学派没有有必要那那么大动动干戈，但这也也可能是是因为大大家对于于这个定定理的重重要性并并不是特特别关注注。之所所以说它它特别重重要，是是因为在在平面几几何学中中，直角角三角形形的地

6、位位很类似似于素数数在数系系中的地地位。我我们知道道，复数数系、实实数系、有理数数系和整整数系都都可以归归结为自自然数系系，而根根据素因因子唯一一分解定定理，自自然数又又可以最最终归结结为素数数。可见见素数在在“数”中的核核心地位位。同理理，任意意规则的的平面多多边形都都可以被被分割成成多个三三角形，而每个个三角形形又可以以被分割割成两个个直角三三角形。而任意意不规则则的多边边形或者者说曲多多边形，我们总总是可以以通过把把它看作作边数无无限多的的规则多多边形来来处理。从这一一点可以以看出，关于直直角三角角形的毕毕达哥拉拉斯定理理是多么么重要。所附的这这张图片片载于欧欧几里得得（Euucliid

7、, ca.3255-caa.2770.BBC）的的巨著几何原原本，相传毕毕达哥拉拉斯学派派曾经使使用过这这个图形形来证明明毕达哥哥拉斯定定理。毕达哥拉拉斯学派派认为“万物皆皆数”（Eveerytthinngiis nnumbber），这个个学派的的一位晚晚期成员员菲洛劳劳斯（PPhillolaaus, caa.3990.BBC）曾曾经说过过：“人们所所知道的的一切事事物都包包含数；因此，没有数数就既不不可能表表达、也也不可能能理解任任何事物物。”在当时时，数学学分为算算术、音音乐、几几何和天天文四个个部分，而毕达达哥拉斯斯学派认认为它们们都可以以归结为为数的理理论（他他们所指指的数是是整数），

8、因此此，他们们认为，一切事事物都可可以归结结为整数数和整数数之比。不难看看出，毕毕达哥拉拉斯学派派所承认认的数仅仅限于有有理数。同时，毕达哥哥拉斯学学派认为为点是位位置的单单位元素素，这样样，在几几何学上上的一个个自然结结论就是是，任意意两条线线段都是是可公度度的，也也就是说说，对任任意给定定的两条条线段，都可以以找到第第三条线线段，以以它为单单位线段段能将给给定的那那两条线线段划分分为整数数份。但是，当当毕达哥哥拉斯学学派研究究等腰直直角三角角形的时时候，矛矛盾出现现了。如图，在在等腰直直角三角角形中，。是一个个实实在在在的线线段长，但它能能不能表表示成整整数的比比呢？若它可表表示为两两个整

9、数数的比，不妨设设(，是互素素的整数数)，则有有，。即，为偶数数。不妨妨设，于于是，即即。于是是，也是是偶数。所以，均为偶偶数，这这与它们们互素的的最初假假设矛盾盾。也就是说说，不能能表示成成两个整整数的比比，或者者说是不不可公度度的。按按照今天天的说法法，毕达达哥拉斯斯学派发发现是无无理数。相传毕达达哥拉斯斯学派的的一个成成员希帕帕苏斯（Hipppassus, caa.4770.BBC）在在该学派派的一次次海上泛泛舟集会会中首先先做出了了这一发发现。当当他把自自己的发发现公之之于众的的时候，惊恐不不已的其其它成员员把他抛抛进了大大海。由由于我们们所接受受教育的的方式，今天的的我们已已经很难难

10、体会到到当时那那些人的的恐惧感感。要知知道，毕毕达哥拉拉斯学派派把抽象象的数作作为万物物的本原原，他们们研究数数的目的的并不是是为了应应用，而而是试图图通过揭揭示数的的奥秘来来探索宇宇宙的永永恒真理理。“万物皆皆数”是整个个毕达哥哥拉斯学学派的一一种信念念，是这这个学派派的宗教教、哲学学和数学学的基础础。而不不可公度度的无理理数的发发现彻底底粉碎了了他们的的基本信信念，使使整个学学派失去去了赖以以存在的的基础。从另一个个角度来来讲，毕毕达哥拉拉斯学派派的观点点类似于于原子论论（这里里的原子子和今天天我们所所熟知的的原子不不同，在在那个时时代，原原子是构构成实体体的基本本的不可可分割的的元素）。

11、对于于毕达哥哥拉斯学学派来说说，整数数是一切切的基础础，这样样，它就就构成了了数的“原子”。也就就是说，他们认认为任何何事物都都可以由由整数表表示出来来。但无无理数的的发现使使整数的的原子地地位受到到了质疑疑，因为为上述的的无理数数显然不不能表示示为整数数的比。如果数数的原子子都不存存在了，那么整整个原子子论也就就失去了了根基，这也许许正是毕毕达哥拉拉斯学派派乃至整整个希腊腊数学所所最为恐恐惧的事事实。继之后，人们又又陆续发发现了许许多其它它的无理理数。这这些无理理数被毕毕达哥拉拉斯学派派隐瞒了了将近一一百年，最后终终于被菲菲洛劳斯斯等人公公布于世世。1.2芝诺诺悖论对毕达哥哥拉斯学学派的哲哲

12、学和数数学的另另一个致致命打击击来自古古希腊伊伊利亚（Eleea）学学派的代代表人物物芝诺（Zenno, ca.4955-4330.BBC）。芝诺提提出过四四个著名名的悖论论，其中中的一个个悖论常常被称为为“阿基利利斯追龟龟说”。阿基基利斯（Achhillles）是希腊腊神话中中的神行行太保，跑得非非常快，但是芝芝诺论证证说阿基基利斯如如果和乌乌龟赛跑跑，它将将永远也也追不上上乌龟。他论证证到，如如果设乌乌龟先于于阿基利利斯一段段距离，那么当当阿基利利斯到达达乌龟的的起跑点点时，乌乌龟也爬爬过了一一段距离离；当阿阿基利斯斯又追完完这段距距离时，乌龟又又向前跑跑了一段段；如此此以至无无穷。虽虽然

13、这一一连串的的距离越越来越小小，但它它们的数数目是无无穷的，所以阿阿基利斯斯永远也也追不上上乌龟。容易看看出，在在这里，芝诺并并没有采采用毕达达哥拉斯斯学派的的“点是位位置的单单位元素素”的观点点，而是是认为一一条线段段是可以以无限分分割的。芝诺采取取这种立立场是有有他的道道理的。因为他他在另一一个常被被称为“飞箭静静止说”的悖论论中否定定了空间间是由点点（单位位元素）所组成成的观点点。芝诺诺认为，飞行的的箭在运运动的任任何瞬间间（即单单位元素素）必定定处于一一个确定定的位置置，这个个位置和和箭的大大小是相相同的，箭既不不能落后后于它，也不会会超过它它；所以以，在任任何这样样的瞬间间里，箭箭是

14、静止止不动的的。这样样，芝诺诺在空间间是点的的总和的的假设下下证明了了运动是是不可能能的。而而这显然然不符合合常识，所以毕毕达哥拉拉斯学派派的基本本假设即即“点是位位置的单单位元素素”至少在在几何学学和运动动学上是是不成立立的。后来，伽伽利略（Gallileeo GGaliileii，15664-116422）在芝芝诺悖论论的基础础上提出出了这样样一种模模型：如图，过作一一直线和和、分别交交于、，容易易看出，和是一一一对应的的，这样样，如果果承认直直线（或或线段）是由点点组成的的，将有有。这显显然是荒荒谬的。我们知道道，毕达达哥拉斯斯学派坚坚持“点是位位置的单单位元素素”是和他他们“万物皆皆数

15、”的信念念一脉相相承的。否定了了“点是位位置的单单位元素素”，也就就间接地地否定了了“万物皆皆数”。同时，芝芝诺悖论论也说明明了这样样一个事事实，即即涉及无无穷的问问题往往往超出了了人们的的直观；人们对对它的感感觉经常常含糊不不清，也也很难用用一个适适当的概概念来说说明它。只有在在数学中中正确地地引入无无限的观观点以后后，这一一困难才才能够被被完全解解决。作作为一个个直接结结果，希希腊数学学中从此此排除了了无限的的观念。1.3数与与量的分分离第一次数数学危机机的消解解依赖于于比例理理论的建建立。这这一工作作是由欧欧多克斯斯（Euudoxxus，4088-3447.BBC）完完成的，其主要要内容

16、被被欧几里里得收录录在其著著名的几何原原本的的第5卷。欧多克斯斯是柏拉拉图（PPlatto, 4277-3447.BBC）的的学生，他对数数学的另另一个重重大贡献献是发展展并完善善了穷竭竭法（简简单地说说，是一一种通过过无限增增加圆内内接或外外切正多多边形的的边数来来求圆的的面积的的方法），使这这一方法法获得了了精确的的严格性性。我们已经经知道，毕达哥哥拉斯学学派证明明了和1不可公公度，或或者说发发现了是是无理数数，但他他们并没没有指出出无理数数到底是是什么。这个问问题成为为当时希希腊数学学关注的的焦点。柏拉图图在其规律一书中中就曾呼呼吁人们们重视关关于不可可公度的的无理数数的知识识。欧多克斯

17、斯区分了了量和数数，认为为量是线线段、角角、面积积、体积积、时间间等等这这样一些些连续变变动的东东西；而而数则是是离散的的，是从从一个跳跳到一个个。对于于数和量量的区分分，也体体现在欧欧多克斯斯同一时时代的亚亚里士多多德（AArisstottle, 3884-3322.BC）的范范畴篇中。欧多克斯斯显然深深知无理理数的困困难，因因此他把把所有的的量从几几何角度度而不是是从算术术角度加加以考虑虑，通过过建立起起比例理理论而把把可处理理的问题题由可公公度量推推广到了了不可公公度量。他的比比例的定定义如下下：设、；、是两对对同类的的几何量量。如果果对于任任意的自自然数、，满足足关系：若，则；若，则；

18、若，则，则称。可以看出出，在这这个定义义中并没没有必要要区分可可公度量量和不可可公度量量，当和和1都被看看作是同同一类的的量（比比如长度度，面积积等等）时，它它们之间间在比例例的运算算中就没没有什么么区别了了。第一次数数学危机机促使人人们对于于数学的的严密性性给予了了更多的的关注，即把数数学建立立在什么么样的基基础上才才是牢靠靠的。对对此，欧欧几里得得曾经说说过“必须承承认，直直觉是不不可靠的的。”因为从从直觉上上来看，有理数数（或者者说整数数的比）在数轴轴上是稠稠密的，但是在在它们之之间居然然还存在在着很多多空隙，这显然然有悖于于人们的的直觉。希腊数学学家开始始借助于于严格的的证明来来保证数

19、数学的正正确性和和严密性性。他们们从经过过精心选选择的少少数几条条明显的的公理和和公设（公理对对所有学学科都成成立，公公设仅针针对数学学学科，现在的的数学家家对此已已经不做做区分了了）出发发，借助助于逻辑辑方法，把数学学上各种种零碎的的、片断断的成果果组织成成一个比比较严密密的知识识体系，揭示出出它们之之间的深深层关系系，并进进而得到到许多新新的结果果，这就就是演绎绎数学。欧几里里得是希希腊演绎绎数学的的集大成成者，其其巨著几何原原本是是用公理理化方法法建立起起演绎体体系的最最早典范范，在历历史上成成为影响响仅次于于圣经经的一一部数学学名著。可以这这样说，正是第第一次数数学危机机导致了了演绎数

20、数学的兴兴起。应该注意意的是，关于连连续量的的比例理理论的建建立并没没有最终终消除无无理数所所造成的的数学危危机。或或者可以以这样说说，比例例理论的的建立只只是掩盖盖了这次次危机。“连续”这个基基本概念念仍然依依赖于直直觉，这这一点可可能会带带来新的的困难，对此，我们将将在第二二次数学学危机中中仔细论论述。另另外，虽虽然无理理数被发发现了，但是它它并没有有被吸收收到演绎绎数学的的体系中中来。而而且，更更重要的的是，很很多数学学家并没没有停止止对这种种当时并并没有逻逻辑基础础的“数”的研究究和使用用。像阿阿基米得得（Acchimmedees, 2877-2112.BBC），托勒密密（Pttole

21、emy, caa.1000-1170.AD），丢番番图（DDiupphanntuss，ca.2500.ADD）等伟伟大的数数学家并并不排斥斥使用无无理数。而东方方的印度度和阿拉拉伯的数数学家则则更进了了一步，他们为为无理数数建立了了运算法法则，而而丝毫不不去关心心其逻辑辑上的困困难。但是，不不管怎样样，比例例理论被被采纳之之后，数数学的基基本问题题由“什么是是数”转变成成了“什么是量量”，毕达达哥拉斯斯学派“万物皆皆数”的信念念也就自自然地转转化为“万物皆皆量”。巴罗罗（Isssacc Baarroow, 16330-116777）曾经经这样评评价过无无理数：“无理数数不过是是一些记记号，脱脱

22、离了几几何量这这个载体体，便不不复存在在了。”对此，帕斯卡卡（B.Passcall, 116233-16662）和牛顿顿（Isssacc Neewtoon, 16443-117277）都持持相同的的观点。可以看看出，他他们都赋赋予了连连续的几几何量以以更基本本的地位位。2. 第第二次数数学危机机2.1危机机的产生生和发展展在牛顿和和莱布尼尼茨（GGotttfriied Willhellm LLeibbnizz, 116466-17716）发明微微积分之之前，很很多数学学家已经经在微分分学和积积分学这这两个原原来没有有关联的的学科上上进行了了深入的的研究并并取得了了很多重重要的结结果。大大体来说

23、说，微分分研究瞬瞬时速度度、切线线和极值值问题；积分则则用于求求解距离离、面积积和体积积的问题题。牛顿顿和莱布布尼茨之之所以享享有微积积分发明明权的荣荣誉，是是因为他他们通过过微积分分基本定定理把这这两个学学科联系系了起来来。我们已经经知道，伽利略略曾经得得到了自自由落体体运动的的距离公公式，根根据这一一公式可可以很容容易求得得任意时时刻的瞬瞬时速度度。但是是对于非非匀加速速运动的的情况，这种方方法就不不能奏效效了。于于是，牛牛顿开始始从不同同的角度度、使用用不同的的方法来来研究瞬瞬时速度度的问题题。仍以自由由落体的的情况为为例，不不过为简简便起见见，我们们省略了了上面公公式中的的常数，而把运

24、运动公式式简单地地表示成成。对，牛顿顿考虑在在时间的的无穷小小增量内内距离的的无穷小小增量。根据自由由落体运运动公式式，有，即。化简得，或。牛顿认为为，和有有限量相相比，无无穷小增增量可以以忽略不不计，所所以在上上式中，牛顿令令，即得得。和第五讲讲“天上人人间”介绍的的伽利略略的方法法相比，牛顿的的方法有有很大的的不同。首先，它更简简单；其其次，它它可以适适用于更更广泛的的情况。但是，这里面面也存在在着一个个问题。我们不不难发现现，牛顿顿在除法法中默认认不是0，而在在把和有有限量进进行比较较时又令令，这在在逻辑上上显然是是自相矛矛盾的。因此，牛顿的的方法受受到了很很多人的的批评，其中尤尤以贝克

25、克莱（BB.G.Berrkelley, 16685-17553）大大主教最最为著名名。在一一本标题题很长的的、名为为分析析学者，或致一一个不信信神的数数学家，其中审审查现代代分析对对象、原原则与推推断是否否比起宗宗教的神神秘与信信条，构构思更为为清楚，或推理理更为明明晰的的小册子子里，贝贝克莱批批评牛顿顿的无穷穷小增量量说：“它们既既不是有有限量，也不是是无穷小小，但也也不是无无，难道道它们是是死去量量的幽灵灵吗！”贝克莱莱指出的的矛盾也也叫“贝克莱莱悖论”，说明明了微积积分理论论在逻辑辑上的明明显缺陷陷，这标标志着第第二次数数学危机机的产生生。但是，和和第一次次数学危危机不同同，第二二次数学

26、学危机在在产生之之初并没没有引起起大部分分数学家家的恐慌慌甚至关关注。由由于微积积分在解解决实际际问题中中所显示示出来的的巨大威威力，数数学家们们不顾对对微积分分的种种种非难，积极投投入到发发展这种种新工具具的历史史大潮中中，而并并不急于于给它奠奠定一个个稳定的的基础。于是出出现了这这样一种种局面：一方面面，微积积分不断断取得各各种显着着的成就就，得到到各种更更强有力力的应用用；另一一方面，在某些些领域，数学家家们由于于滥用微微积分而而得到很很多荒谬谬的结论论。这种种荒谬性性突出地地表现在在无穷级级数的使使用上。以二项式式的负指指数幂的的无穷展展开为例例。牛顿顿在研究究积分问问题时得得到了一一

27、般的二二项展开开式定理理，其形形式和我我们在高高中阶段段所学的的二项展展开式定定理相同同，只不不过后者者仅涉及及正整数数次幂的的情况。根据这这一定理理，我们们有用代替上上式中的的即得在上式中中，令，得为简便起起见，我我们把这这个式子子称为。如果我我们对右右边使用用结合率率，显然然会有=0。对比这两两个式子子，我们们将得到到，这显显然是荒荒谬的。但是问题题并没有有到此结结束。如如果我们们对右边边换一种种结合方方式，比比如=1，我们又得得到。如如此可以以一直进进行下去去。事实实上，如如果我们们对右边边使用所所有类型型的交换换率和结结合率，我们将将得到所所有的整整数；也也就是说说，和所所有的整整数都

28、相相同！上面的结结果已经经够让人人惊讶了了，但是是还有更更加令人人不可思思议的现现象存在在。如果果我们在在的表达达式中令令，将有有这就是说说，无穷穷多个正正数的和和竟然是是一个负负数！当然，这这些悖论论的最终终解决依依赖于后后来无穷穷级数收收敛和发发散理论论的正确确建立。我们所所关心的的是，微微积分中中出现了了这么严严重的困困难，大大多数数数学家却却并没有有停下手手头的工工作来填填补这些些漏洞。这使我我们不得得不意识识到这样样一点，即这个个时代的的数学传传统已经经不同于于欧几里里得时代代坚持严严格证明明的数学学传统了了。这一一点也能能从当时时一些著著名数学学家说过过的话中中得到体体现。克莱洛（

29、Aleexiss-Cllaidde CClaiirauut, 17113-117655）曾经经说过：“欧几里里得自找找麻烦地地去证明明是不足足为怪的的。这位位几何学学家必须须去说服服那些冥冥顽不化化的诡辩辩论者，而这些些人是以以拒绝最最明显的的真理为为自豪的的。因此此，像逻逻辑那样样，几何何必须依依赖形式式推理去去反驳他他们。”他接着着说到了了他那个个时代的的传统，“但是，一切都都倒了个个个儿，所有那那些涉及及到常识识且早已已熟知的的事情的的推理，只能掩掩盖真理理，使读读者厌倦倦，在今今天人们们对它已已不屑一一顾了”。拉克克鲁瓦（S.FF.Laacrooix, 1776518443）在在其微微

30、积分教教程中中也宣布布：“希腊人人所烦恼恼的这种种琐碎的的东西，我们不不再需要要了！”最有意思思的莫过过于大数数学家西西尔维斯斯特（JJamees SSylvvestter, 18814-18997），他在给给学生上上课的时时候经常常会出现现这样两两段互相相联系的的有意思思的开场场白：“我还没没有证明明这个结结果，但但是，我我能像肯肯定任何何必然事事物一样样肯定它它。在这这个基础础上，我我们证明明”“对不起起，上节节课假定定的结果果错了。让我们们重新假假设”高斯（CCarll Frrieddricch GGausss, 17777-118555）可以以称得上上是反传传统的代代表，他他在1881

31、2年年就考虑虑了无穷穷级数的的收敛性性。但是是，大部部分数学学家对这这种严密密性并不不感兴趣趣。对此此，雅可可比（JJakoob JJacoobi, 18804-18551）说说过：“要达到到像高斯斯那样的的严密，我们没没有时间间！”对于当时时的这种种不过分分追求严严密性的的数学传传统，也也有一些些数学家家发出了了反对的的呼声。早在117433年，达达朗贝尔尔（J.B.LL.R. dAleembeert, 17717-17883）就就曾经批批评当时时数学界界的现状状：“人们总总是热衷衷于扩大大数学的的范畴，却很少少阐明其其来源；注重向向高层次次发展，而很少少考虑加加固它的的基础。”罗尔(MMi

32、chhel Rollle, 1665217119)也也宣称“微积分分只是一一些精巧巧的谬误误的集合合”。但如如前所述述，这些些并不高高昂的呼呼声被微微积分前前进的车车轮声淹淹没了。不过，历历史是公公正的。数学家家们迟早早要为他他们的这这种做法法付出代代价。在在18000年左左右，微微积分经经过一个个半世纪纪的迅猛猛发展，已经变变成了一一座雄伟伟的分析析学的大大厦，但但是它赖赖以存在在的基础础却还在在那儿摇摇摇晃晃晃。庞大大的分析析学也正正是在这这个时候候陷入了了困境。这突出出地表现现在以下下几个方方面：首首先是证证明的严严密性问问题，即即上述牛牛顿式的的证明到到底算不不算是一一种数学学意义上上

33、的严格格证明？其次是是函数概概念的模模糊性，例如数数学家们们让无穷穷级数像像普通函函数一样样直接参参与各种种运算，但是，无穷级级数到底底是不是是函数？第三个个是关于于发散无无穷级数数的问题题，上文文已经提提及这种种级数会会造成很很多悖论论，所以以很多数数学家反反对把它它纳入数数学体系系中，但但也有一一些数学学家在这这一领域域得到了了许多很很好的研研究成果果。另外外，由于于没有清清楚的无无穷小概概念，导导数、微微分和积积分等最最基本的的概念并并不是很很清晰，当时的的数学家家们对在在连续这这样的基基本问题题上都没没有取得得一致意意见。例例如，欧欧拉（LLeonnardd Euulerr, 1170

34、77-17783）所说的的连续是是指光滑滑的（即即可微分分的）函函数，而而在188世纪后后期，数数学家们们则把连连续理解解为函数数具有一一致的解解析表达达式，他他们并不不承认我我们今天天所谓的的分段连连续函数数。2.2微积积分的严严格化既然第二二次数学学危机是是由于使使用微积积分的不不严格性性造成的的，这次次危机的的消除过过程自然然就是一一个使之之严格化化的过程程。我们们知道，微积分分产生之之初是建建立在几几何的基基础之上上，而关关于连续续量的几几何在很很大程度度上也要要依赖于于人们的的直觉。像时间间、长度度、角、面积和和体积等等等连续续量，如如果我们们以整体体的观点点来处理理它们，那么根根据

35、欧多多克斯的的比例理理论，我我们不会会遇到什什么困难难。但是是，在微微积分计计算中，这些连连续量不不再被作作为一个个整体进进行研究究，而是是被分割割成无穷穷多份，牛顿和和莱布尼尼茨都是是基于这这种方法法得到微微积分的的一般原原理的。所以，当当数学家家们试图图给微积积分奠定定一个合合适的基基础时，他们的的注意力力就集中中到代数数和算术术上来了了。而代代数最终终可以归归结为算算术，也也就是说说，分析析学应该该建立在在算术的的基础上上。对此此，高斯斯在18817年年曾经说说过：“真理只只存在于于算术之之中。”但是，我们将将会看到到，这一一发展过过程并不不是一蹴蹴而就的的。有两位数数学家对对于分析析学

36、的严严格化做做出了最最重要的的贡献，即柯西西（Auugusstinn Caauchhy, 17889-118577）和维维尔斯特特拉斯（Karrl WWeieersttrasss, 18115-118977）。应应该说明明的是，在此之之前，欧欧拉在其其发表于于17555年的的微分分学中中引入了了无穷小小的不同同阶零的的理论；拉格朗朗日（JJ.L. Laagraangee, 117366-18813）则在其其17997年的的解析析函数论论中把把微积分分归结为为“纯粹的的代数分分析艺术术”。他们们的形式式化观点点加上达达朗贝尔尔于17754年年引入的的比较明明确的极极限观点点，对于于柯西等等人的工

37、工作起到到了奠基基性的作作用。另另一个应应该指出出的人是是波尔察察诺（BB.Boolzaano, 17781-18448），他在118177年发表表了纯纯粹分析析证明，对函函数的连连续性、导数等等概念做做出了合合适的定定义，得得到了很很多实质质上和柯柯西相同同的结果果。但由由于他的的工作长长期湮没没无闻，对当时时的数学学界并没没有产生生什么影影响。柯西生前前写了一一系列的的著作，其中最最具代表表性的是是18221年的的分析析教程和18823年年的无无穷小计计算教程程概论。他的的著作以以严格性性为目标标，对微微积分的的基本概概念，如如变量、函数、极限、连续、导数、微分、收敛等等等给出出了明确确的

38、定义义。例如如，他把把变量定定义为“依次取取许多互互不相同同的值的的量”，进而而把函数数定义为为变量之之间的某某种联系系（即由由自变量量表示的的那些量量），这这样，按按照柯西西的定义义，无穷穷级数就就可以表表示一个个函数了了，而且且还突破破了在他他之前数数学家们们一直坚坚持的函函数必须须有解析析表达式式的限制制；然后后，以变变量为基基础，柯柯西定义义了极限限，并把把无穷小小量定义义为极限限为零的的变量，继而又又用无穷穷小量定定义了连连续函数数，等等等。在以上基基本定义义的基础础上，柯柯西严格格地表述述并证明明了微积积分基本本定理、中值定定理等一一系列重重要定理理。此外外，柯西西还对无无穷级数数

39、进行了了严格的的处理，明确地地定义了了无穷级级数的收收敛性，并建立立了判别别级数收收敛的一一个法则则，即柯柯西收敛敛准则。很明显，柯西的的工作使使分析学学向全面面的严格格化迈出出了关键键的一步步。事实实上，他他的研究究成果也也很快就就在科学学界产生生了轰动动效应。据说，柯西在在巴黎科科学院的的一次会会议上宣宣读第一一篇关于于无穷级级数收敛敛性的论论文时，当时年年高望重重的拉普普拉斯（P.SS.M.de Lapplacce, 17449-118277）大为为震惊，他在会会议之后后急急忙忙忙赶回回家，仔仔细检查查其5大卷的的名著天体力力学，并庆幸幸自己所所用的无无穷级数数都是收收敛的。但是，柯柯西

40、的工工作虽然然在很大大程度上上澄清了了在微积积分基础础问题上上长期存存在的混混乱，但但它也并并非是完完美无缺缺的。例例如，柯柯西使用用了许多多诸如“无限趋趋近、”“想要要多小就就多小”等依赖赖于直觉觉的语言言进行描描述；另另外，他他也混淆淆了连续续和一致致连续这这两个不不同的概概念并错错误地认认为连续续函数一一定可导导。更重重要的是是，柯西西的几个个重要证证明都依依赖于实实数的完完备性，但在当当时，实实数系的的这一基基本性质质还没有有建立起起来，对对此，我我们在后后面还要要进行仔仔细地讨讨论。微积分进进一步严严格化的的重任落落在了维维尔斯特特拉斯的的肩上。在数学学史上，维尔斯斯特拉斯斯关于分分

41、析严格格化的贡贡献给他他带来了了“现代分分析之父父”的称号号，现代代分析学学中普遍遍使用的的语言就就是他创创造的。他批评评柯西等等人使用用的“无限趋趋近”、“想要多多小就多多小”等说法法具有明明显的运运动学涵涵义，并并用其静静态的、不依赖赖于直观观的语言言重新定定义了极极限、连连续、导导数等分分析学的的基本概概念。另另外，维维尔斯特特拉斯引引入了一一直被忽忽视的一一致收敛敛的概念念，最终终消除了了微积分分中不断断出现的的各种异异议和混混乱现象象。可以以说，微微积分能能达到今今天所具具有的严严密形式式，本质质上应该该归功于于维尔斯斯特拉斯斯。18722年，维维尔斯特特拉斯发发表了他他构造的的一个

42、处处处连续续但却处处处不可可微分的的函数，这里，是是奇数，为常数数，。其其实，维维尔斯特特拉斯在在18661年的的课堂上上就已经经给学生生举出了了这个例例子；更更早的波波尔察诺诺也给出出了一个个具有同同样性质质但没有有解析表表达式的的例子，但如前前所述，数学界界直到很很晚才知知道他的的工作。维尔斯特特拉斯的的例子使使数学界界大为震震惊，它它否定了了长期以以来数学学家们一一贯坚信信不移的的直觉，即认为为连续函函数一定定可以微微分，所所以，这这种函数数被数学学界称为为“病态函函数”。当时时的数学学界甚至至掀起了了一股寻寻找这种种病态函函数的热热潮，作作为结果果之一，人们意意外地发发现了存存在无穷穷

43、多间断断点、但但可以积积分的函函数。更更出乎意意料的是是，数学学家们发发现这些些病态函函数远比比他们一一直在研研究的、具有好好的性质质的那些些函数更更为普遍遍。这些些例子促促使人们们得出结结论，即即必须彻彻底摆脱脱对几何何直觉的的依赖性性，重新新认识和和考察分分析学的的基础。这方面面的努力力在199世纪后后期促成成了数学学史上著著名的“分析算算术化”运动。3. 万万物皆数数维尔斯特特拉斯在在19世纪纪中期就就已经认认识到，微积分分计算是是在实数数舞台上上进行的的，连续续和极限限等基本本概念都都建立在在实数的的基础上上，或者者说，实实数才是是分析学学最根本本的基础础。但当当时的数数学家们们对于实

44、实数系本本身仍然然是以直直观的方方式去理理解的，因此，要使分分析严格格化，必必须先使使实数系系本身严严格化。为此，最可靠靠的办法法是，按按照严密密的推理理将实数数归结为为整数（或有理理数，我我们在第第一次数数学危机机中已经经知道，有理数数可以归归结为整整数的比比），继继而归结结为自然然数。因因为，对对于数学学家们来来说，只只有自然然数才是是最可信信赖的。克罗内内克（LLeoppoldd Krroneeckeer, 18223-118911）曾经经说过：“上帝创创造了自自然数，剩下的的都是人人的工作作。”这样，对对实数的的探究不不可避免免地又把把无理数数推到了了历史的的前台。如前所所述，在在第一

45、次次数学危危机中发发现的无无理数并并没有被被希腊几几何学家家接受，但是数数学家对对于它的的使用却却从来没没有间断断过。直直到文艺艺复兴以以及其后后更晚的的一段时时期，数数学家们们对无理理数的感感情仍然然是十分分复杂的的。例如如，斯蒂蒂费尔（Micchaeel SStiffel曾经经自由地地使用各各种无理理数，他他甚至还还用过这这种在当当时来说说是新的的类型的的无理数数。但是是，他同同时也承承认：“当我们们想把它它们数出出来（用用十进制制小数的的形式）时，却发发现它们们无止境境地往远远处跑，因而没没有一个个无理数数实质上上能被我我们准确确地掌握握住而本身身缺乏准准确性的

46、的东西，就不能能称其为为真正的的数因此，正如无无穷大不不是数一一样，无无理数也也不是真真正的数数，而是是隐藏在在一种迷迷雾后面面的东西西。”对无理理数的普普遍接受受要等到到17世纪纪末期，因为直直到那时时候人们们才认为为数和代代数独立立于几何何。那么，无无理数到到底是什什么呢？我们知知道，在在自然数数中引入入减法就就能得到到所有的的整数，在整数数中引入入除法就就能得到到所有的的有理数数。经过过这种处处理，我我们实际际上使数数系得到到了扩张张，即从从自然数数系扩张张到整数数系，继继而又扩扩张到有有理数系系。而希希腊人所所发现的的形如的的无理数数以及它它的各种种推广形形式（如如前面提提到的）和有理

47、理数合在在一起也也可以构构成一个个新的数数系，它它可以看看作是通通过在有有理数中中引入开开方和乘乘方运算算得到的的。所以以，基于于和前面面两种情情况的对对比，我我们当然然希望这这个数系系就是实实数系，或者说说，所有有的无理理数都可可以用根根式来表表示，我我们把这这种无理理数称为为“根式无无理数”。如果果真是这这样，那那么一切切问题都都解决了了。然而，222岁的的阿贝尔尔（N.H. Abeel, 18002-118299）18224年在在其自费费出版的的一本小小册子论代数数方程，证明一一般五次次方程的的不可解解性引引入了“域”（fieeld）这个重重要的近近世代数数概念，证明了了一般的的5次以上

48、上的代数数方程没没有根式式解。而而在其后后不久，更年轻轻的伽罗罗瓦（EE.Gaaloiis, 18111-118322）在18829-18331年间间完全解解决了历历时三百百多年的的代数方方程根式式可解性性的难题题。他开开创了群群论，指指出只有有当方程程的伽罗罗瓦群（即方程程根的置置换群的的某个子子群，在在它的作作用下，经过有有限次加加、减、乘、除除的运算算，方程程的根之之间的代代数关系系保持不不变）是是可解群群的时候候，方程程的解才才能用根根式表示示。但是是，不能能用根式式表示，并不代代表方程程的实数数解不存存在。如如果我们们在坐标标系中表表示一般般的5次以上上的代数数函数，将很容容易发现现

49、它们和和横轴一一般来说说都有交交点，也也就是说说，对应应的代数数方程有有实根存存在，不不过这种种实根既既不是有有理数，也不是是根式无无理数，我们把把这种实实根表示示的无理理数称为为“非根式式无理数数”。至此，我我们已经经知道，实数中中包含有有理数、根式无无理数和和非根式式无理数数，但所所有这些些是否就就构成了了全体实实数呢？对于这这个问题题的回答答自然就就引出了了所谓的的代数数数理论。这个理理论经过过欧拉、勒让德德（A.M. Leggenddre, 1775218333）、库默尔尔（E.E. Kummmerr, 118100-18893）和戴德德金（JJuliius Deddekiind, 1

50、8831-19116）等等人的努努力，已已经发展展成现代代数学的的一个重重要分支支，即代代数数论论。所谓代数数数，是是指整系系数多项项式方程程（）的根。可可以看出出，代数数数同时时包含了了有理数数、根式式无理数数和非根根式无理理数（请请注意，代数数数和下文文将要述述及的超超越数中中还含有有虚数，如方程程的根就是是代数数数，但为为了我们们的目的的，本讲讲中只介介绍关于于实数的的理论，一般不不专门涉涉及虚数数）。另另外，在在这里也也体现了了数学的的抽象性性，即数数学家们们已经不不在乎他他们的数数到底是是什么样样子，而而只在乎乎这种数数的确是是存在的的。所以以，如果果我们仍仍然把代代数数看看作是有有

51、理数的的某种扩扩张，我我们也很很难再像像前述那那样把这这种扩张张的规则则简单地地表达出出来。但是，实实代数数数是否就就是所有有的实数数呢？这这突出地地表现在在人们对对于实数数和e的认识识上。勒勒让德曾曾经猜测测可能不不是代数数数，欧欧拉也指指出它们们“超越了了代数方方法的能能力”。于是是，数学学家们开开始把无无理数分分为代数数数和超超越数（指不是是代数数数的数，它不能能通过有有限次代代数运算算得到）。但是是，在相相当长的的一段时时间里，超越数数只是数数学家们们的一种种猜测。直到118444年，刘刘维尔（Jossephh Liiouvvillle,才第第一次真真正展示示

52、了超越越数的存存在性，他证明明了所有有形如的数都是是超越数数。此后后，埃尔尔米特（Chaarlees HHermmitee, 11822219901）和林德德曼（CC.L.F. Linndemmannn）分别别于18873年年和18882年年证明了了e和的超越越性。这这样，在在欧拉和和兰伯特特（J.G. Lammberrt, 17228-117777）分别别于17737年年和17761年年证明了了e和的无理理性之后后的一百百多年，数学家家们对这这两个重重要常数数的了解解终于迈迈上了一一个新的的台阶。仍然有有悖于我我们的直直觉的是是，经过过千辛万万苦才找找出来的的超越数数甚至比比代数数数更普遍遍

53、。可以说，到现在在为止我我们已经经找到了了所有的的无理数数，虽然然对其中中的绝大大部分我我们仍然然是一无无所知。或许这这样说更更合适，即我们们只是找找到了无无理数的的一个分分类标准准。然而而，即便便是这一一点，当当代的很很多数学学家（尤尤其是构构造主义义学派）也并不不是特别别满意。从本质质上来讲讲，超越越数的定定义是一一种否定定式的定定义，我我们并不不能从这这种定义义中得到到关于超超越数到到底是什什么的任任何启发发。正如如反对反反证法一一样，这这些数学学家也反反对“超越数数”这个概概念本身身。从这个意意义上讲讲，给无无理数或或者实数数一个合合适的、统一的的定义，它的意意义将是是多么不不同寻常常！让我们再再回到维维尔斯特特拉斯。早在118577年，他他就给出出了第一一个严格格的实数数定义，大致来来说，维维尔斯特特拉斯先先从自然然数出发发定义正正有理数数，然后后再通过过无穷多多个有理理数的集集合来