导数中恒成立问题最值问题

1、导数中恒成立问题(最值问题)恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。知识储备(我个人喜欢将参数放左边，函数放右边)先来简单的(也是最本质的)如分离变量后，a f(x)包成立，则有a f(x)maxaf(x)恒成立,则有a f(x)min(若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大).对于单变量的恒成立问题0包成立，那么只需f(x)min 0如：化简后我们分析得到，对 x a,b , f(x)x a,b ,使得 f (x) 0,那么只需 f(x)max 0.对于双变量的恒成立问题如：化简后我们分析得到，对x1，x2a

2、,b , f(xi) g(x2),那么只需f(x)min g(x)max如：化简后我们分析得到，对x1a,b ,x2c,d使f(x1) g(x2)，那么只需f(x)ming( x) min如：化简后我们分析得到,xia,b , x2c,d 使 f(xi) gd),那么只需 f(x)max g(x)min还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话(双变量的存在性与包成立问题，都是先处理 一个变量，再处理另一个变量)3.对于带绝对值的包成立问题，我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒 成立问题(2014.03锡常镇一模那题特别典型)今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数

3、是最本质的，(甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%!ax b与ax3 b这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,e之类)，所以如果 e我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。那么我们先从一道练习题说起一.二次函数型(通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值)例题1.已知f (x)，2、2 2ax a 1定义域为R ,求a的取值围思考：引入定义域(非R)参数在二次项，就需考虑是否为0引入局次(3次，4次，lnx, ex等等)x引入a2, a3等项(导致不能分离变量)方法：1.一次函数，二次函数直接

4、根据图像讨论最值 （二次函数也可以分离变量）.对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函 数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）.对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值变式:已知f(x)axb ,若对任意的x （m,n）,均有f （x） 0 ,求a的取值围已知f(x)2 ax2x 5,若对任意的x （ 3,2）,均有f（x） 0,求a的取值围已知f(x)2 ax2(a1 2 31）x 5 ,若对任意的x(3,2),均有 f(x)0,求a的取值围已知f(x)3 ax2(a1）x 5 ,若对任意的x(3,2),均有 f

5、(x)0求a的取值围已知f(x)3 ax2(a29）x 5 ,若对任意的x(3,2),均有 f(x)0求a的取值围例题2.（改编）已知函数f x ax8a 4, a 2x 1在1,3上的最大值为M a ,最小值为m a ,又已知函数g a M a m a ,g a的最小值（1）求g a的表达式；（2）指出g a的单调区间，并求出答案：根据对a是否为0以及对称轴的讨论，易知M (a)9a 5,a9a,、.11 m(a) 1 一，一 a 3a 1,a,所以易知1g（a）9a1 c 12, aa 31 Ja 28a 4, a 1所以g（a）在（1 、，、一、， ，1,一）单调递减，在（,22）单调递

6、增，所以当11x 3时，f（x）有取小值己点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论变式：1.对称轴不动（定义域不动定义域动（含参数）2.对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）.对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴 与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可.对称轴动（含参），定义域动（含参）参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的围，是否可以直接根据单调性求参数不一样，参数也没围，那么真不能做了1(13)在平面直角坐标系xOy中，设止点A(a, a), P是函数y(x0)图象上一动点.若点 xP, A之间的最短距离为272,

7、则满足条件的实数a的所有值为.1解：设 P Xo, Xo 0 xo2则PA2Xoa21aXo2Xo211211 2a Xo+ +2a = Xo+ -2a Xo+ XoXoXoXo2a2 2人1令 Xot t 2Xo则 PA2=f(t)=t2 2at 2a2 2 t 2对称轴 t aa 2时,a 2时，2PA2minf 22a2 4a 22PA2minf(a)a2 2 822a2 4a 28a2 2a 1 , a 3 (舍去)a 尺, a50 (舍去)点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题(高一下学期必须学会)，同时考查了换元思想，分类讨论的思想是一道非常漂亮的题目

8、 二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值)先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了.一 ,. ., ._ 一 .一 . .(原创)已知函数f(x) 0且xf(x) f(x) 0,对所有满足条件的函数f(x),始终有f(2) (a 2a 3) f (1)成立，求a的取值围答案：由题可知x 0时，0 f(0) 0与题目f (x) 0矛盾，所以显然有x 0 TOC o 1-5 h z 所以由条件易知 工凶单调递增，由题可知 但 a3 2a 3 f (1)始终成立,即 X22受 a3 2a 3何成立，因为“单调递增，又 起是满足条件的所有函数，f

9、(1)2xx1所以3E的最小值总大于1,所以有a3 2a 3 1,知a的围是a 上行或上后 a 1 f(1)2221点评：对于某些题中既有f(x)又有f (X)的这种题型，我们不妨去联想它的原函数.(原创)已知函数f(x) 10g2(1 x) x2 ax;若对于任意a 1,3 ,总存在x 1 1 ,使 22得不等式f(x。)m成立，则m的取值围是答案：分析知10g 2(1+x)单增，又分析知x2 ax在x 1时取最大值，所以f(x()的最大值为f (1),1所以有m f(1)恒成立，分离变事易知m -2. f(x)=x3+ax2 a2x m(a 0)若对任意 a 3,6 , f (x) 1 在

10、 x2,2 上恒成立，求 m 围解答：先看成是a的二次函数，对称轴为-1,1 ,所以最大值不是在3处就是在6处，所以232,x 3x 9x m 1有32又t x2,2包成立，易知m 87x 6x 36x m 1点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值.对满足|p| 2所有实数p,求使不等式x2 px 1 p 2x何成立的x的取值围解答：看成是p的一次函数点评：对哪个参数包成立，就看成是哪个参数的函数m2x 1.已知0对x 4恒成立，求m的取值围mx 1解答：法1:看成乘积小于0包成立，转变成二次函数包成立法2:必须有一正一

11、负包成立2变式： 0对m 4恒成立，求x的取值围mx 1解答：如果看成是m的函数，乘积后就变成关于 m的三次函数，所以我们可以转变思维，转 变成两个式子同正或同负.若对于满足1 t 3的一切实数t,不等式x2 (t2 t 3)x t2(t 3) 0恒成立，则x的取值围为.解答：分解因式易知(x t2) x (t 3) 0 所以必须有同正或同负包成立点评：通过这几个题目的对比，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数包成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板3x x 7.已知f(x) J 3a 4,若对任意的x 1,3 , f(x) 0恒成立，求a的取值围类题：(10.).将边

12、长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形的面积梯形，记s (梯形的周长)g(x)的取小值为g(3一) - - ln(3a) 1,解得：a 一。故所求a 。，则S的最小值是点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先分离常数，转变成一次比二次，设一次为t,转变成关于t的对勾函数，解决值域另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白. f (x) 水产 n的最大值是9 ,最小值是1,求m与n的值x 1解答：整理成关于x的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有 0恒成立，转变成关于y的一个二次函数包成立，易知5和9是它的两个根，容易把

13、 m,n求出来点评：此题比较特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了. (08)已知 f(x) ax3a3 333点评：当遇到包成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下围，或许可以 避免一些不必要的讨论 3x 1 对于 x 1,1 总有 f(x) 0成立，则 a=解：f(x) 3ax2 3法1:分离变量，求最值法2:直接求导.若不等式|ax3 lnx1对任意x (0,1都成立，则实数a取值围是.1 3ax3 1斛析：显然 x 1 时，有 |a| 1,a 1,or,a 1。令 g(x) ax ln x, g (x) 3ax2 - 当a1 时，对任意 x (0,1,

14、 g (x)3 axx0, g(x)在(0,1上递减,g(x)min g(1) a 1,此时g(x) a,), | g(x)|的最小值为0,不适合题意。当a 1时，对任意x (0,1, g (x)%一1 1 e2一 e2 0 x /x- 3a.设常数 a 0,函数 f(x) x ln2 x 2a In x 1 (x (0,).(I)令g(x) xf (x) (x 0),求g(x)的最小值,并比较g(x)的最小值与零的大小; (II )求证：当 x 1 时，恒有 x ln2 x 2aln x 1 .解(I) ; f (x) x (In x)(ln x) 2a In x 1 , x (0, TOC

15、 o 1-5 h z 112a. f (x) 1 ln x (ln x) ,1xx xg (x) xf (x) x 2ln x 2a , x (0,)2x2g(x) 1 ，令g(x) 0,得 x 2, x x易知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,)单调递增g(x)在x 2处取得极小值g(2) 2 2ln 2 2a,即g(x)的最小值为g(2) 2 2ln 2 2a .)21n x 2ax xg(2) 2(1 ln 2) 2a,v ln 2 1 , 1 ln2 0 ,又 a 0 ,g(2) 0 .证明(n)由(i)知，g(x)的最小值是正数，对一切 x (0,)，恒有 g(x) xf (x

16、) 0 , 从而当x 0时，恒有f (x) 0 ,故f(x)在(0, 8)上是增函数. 当 x 1 时，f (x)f(1),f(1) 1 ln21 2aln1 1 0f (x) 0,即 x 1 ln2 x 2a ln x 0 , x ln2 x 2a ln x 1 故当x 1时，恒有x ln2 x 2aln x 1 .点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时， 我们或许可以想想 是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断 xf(x)的正负来确定导函数的正负，但是本题 由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感12. f(x) x2 1,对 x -, 3解答：化

17、简易得(4 4m2) mx2 2x 32x,f () 4m2f(x) f (x 1) 4 f (m)恒成立，求 m的取值围 m点评：分离变量时不一定要分离成单个变量，要知道整体分离也是一样的，不能太死板当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论f(x) x a, g(x) 2 x 4a , F (x)上(x) g(x)若 F(x) 2 J7 包成立，求 a 的围 x4 xa解答：F(x) 4a(1 1)x 2x a 4法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调所以只需对a的临界点进行讨论即可法二：求导，转变成二次函数根的讨论2x7 一 .1 11 1

18、f (x) 2 , g(x) x 3ax ,右对 x1 一，一，总存在 x21,一,使得x182 22 2g(x2) f(x1)成立，求正整数a的最小值解答：分析题目易知f (x)值域为g(x)值域的子集，转变成求g(x)的最值g(x) 3x2 3a15.函数 f(x) xIn x,不等式f(x) 2bw0在x (0,)上有解，数b的取值围1 ln xx In x 1解析：f (x) 1 2, 即 f (x) 2,xx点评：此题需要使用观察法，容易发现1是零点，然后讨论单调性类题：(、宿迁市2013届高三期末)已知函数f(x) ax x2 xln a(a 0,a 1).(1)求函数f(x)在点

19、(0, f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)单调区间；(3)若存在xx2 1,1,使得|f(x1)f(x2) e 1(e是自然对数的底数)，数a的取值围.解答：f(x) axlna 2x ln a容易发现0是零点，然后对a围，x围讨论点评：通过这两题我们发现，有时候难以处理导函数的正负情况时，我们需要使用观察法去寻找它的零点，从而进行讨论，看是否能确定单调性(零点通常是1,eJ)等等e.已知函数f(x) x2 2a cosk In x(k N , a 0),讨论函数f(x)的单调性;解析：由已知得x0且f(x) 2x ( 1)k型.x当k是奇数时，f(x) 0,则f(x)在(0,)上是增

20、函数；当k是偶数时，则f1(x) 2x型2(x a)(x -a).已知函数g(x) 1 ln x在1 , +oo)上为增函数，且 (0,) , f(x) mx U lnx ，怵Rxx(1)若f(x) g(x)在1 , +oo)上为单调函数，求 m的取值围；(2)设h(x)空，若在1 , e上至少存在一个小,使f(%) g(%) h(%)成立，求m的取值围. x2mmx 2x m TOC o 1-5 h z 解析：(1) f(x) g(x) mx 21nx. f (x) g(x) 2 .xx f(x) g(x)在其定义域为单调函数, mx2 2x m 0 或者 mx2 2x mW0在1 , +

21、00)恒成立.，* 一 22xmx 2x m 0 等价于 m(1 x ) 2x 即 m 2 ，1 x2xx2 121，x x2Txmxx 2x mW0 等价于 m(1 x2) 2x ,即 m w _2x 在1 , +oo)恒成立,1 x一 2x而 F e (0, 1 , m 0 .x 1 TOC o 1-5 h z 综上，m的取值围是，0 |J 1，.(2)构造 F (x) f (x) g(x) h(x) , F (x) mx m 2ln x 空.xx当m w 0时，x 1,e , mx m 0 , 2ln x空 0 , mx2m 0,所以(F (x) 0 在 x 1,e包成立.故F(x)在1

22、,e上单调递增，F(x)max F(e) me m 4 , 只要me m 4 0 ,解得m 一包eee 1故m的取值围是(上，).e 118. (2014.03 锡常镇一调)已知函数f (x) mx aln x m, g(x) x ,其中 m a均为实数.e(1)求g(x)的极值;x2) , f (X2)f (Xi)，包成立，求a的最小值; g(x2)g(x1)(2)设m 1,a 0 ,若对任意的 x1, x2 3,4 (x(3)设a 2 ,若对任意给定的X0 (0,e,在区间(0,e上总存在t/K t?),使得f(t1) ft) g(%) 成立，求m的取值围.X 1X解析：g(x) exex

23、 吟:1令g(x) 0易得x 1(e )e所以9(刈在(，1)上单调递增，在(1,)上单调递减 所以当x 1时，g(x)有极大值，极大值为1无极小值1、，、m 1,a 0时，易证f(x)单增，单减 g(x)i i .不妨设Xi X2 所以有f(x2) f(x1) 恒成立g(X2) g(xi)一ii . . i .即f(x2) f(xi) 恒成立由题易知必须有f (x) 单减g(x2)g(xi)g(x)求导整理得a x ex1 J在3,4包成立易证右边这个函数单调减x所以有a 3 2e23(3)易知 x00,e 时，0 g(x0) 1f (x) mx 2ln x m(0 x e)j2f (x)

24、m - x由题可知f (x) g(x0)在0,e上有两根m 0时，f(x)单调不合题意m 0时，由f(x) 0易得x -所以函数在0,- 单减，在 -,e单增mmm画出f(x)简图如下由题要有两个跟f(e) 1于是我们有f(-) m2 e -m3 m 0容易得到 e 1f(-) 0 m19.设函数f(x)一一 .一一， 21所以显然有f(-) mf(1) 0综上所述,x2 bln(x 1),其中 b0.1(I)当b 1时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；2求函数f (x)的极值点；证明对任意的正整数n,不等式ln(1 1) 4 4都成立. n n n解:(I)函数f (x) x2 bln(x 1)的定义域为1,. f (x)2x2x2 2x bx 1 TOC o 1-5 h z .o11令g(x) 2x 2x b,则g(x)在 -,上递增，在 1,- 上递减，,、，1、1,g(x)ming(-)-b.22112,当 b -时，g(x)min - b 0 , g(x) 2x 2x b 0在 1,上包成立.f (x