《微积分》各章习题与详细

1、-第一章函数极限与连续一、填空题1、已知f(sinx)1cosx，则f(cosx)。22、lim(43x)2。x(1x2)xsinx是x的3、x0时，tanx阶无量小。4、limxksin10成立的k为。x0 x5、limexarctanx。x6、f(x)ex1,x0在x0处连续，则b。xb,x07、limln(3x1)。x06x8、设f(x)的定义域是0,1，则f(lnx)的定义域是_。9、函数y1ln(x2)的反函数为_。10、设a是非零常数，则lim(xa)x_。xxa111、已知当x0时，(1ax2)31与cosx1是等价无量小，则常数a_。12、函数f(x)arcsin3x的定义域是

2、_。1x13、lim(x22x22)_。x14、设lim(x2a)x8，则a_。xa15、lim(nn1)(n2n)=_。n二、选择题1、设f(x),g(x)是l,l上的偶函数，h(x)是l,l上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。（）f(x)g(x)；（）f(x)h(x)；（C）f(x)g(x)h(x)；（D）f(x)g(x)h(x)。2、(x)1x，(x)13x，则当x1时有。1x（）是比高阶的无量小；（）是比低阶的无量小；（C）与是同阶无量小；（D）。1x13、函数f(x)31x1,x0(x1)在x0处连续，则k。kx0（）3；（）2；（C）1；（D）0。234、数列极限limnln(n

3、1)lnn。n（）1；（）1；（C）；（D）不存在但非。xsinx0 xx5、f(x)x0，则x0是f(x)的0。xcos1x0 x-（）连续点；（）可去中止点；（C）跳跃中止点；（D）振荡中止点。6、以下各项中f(x)和g(x)相同的是（）（）f(x)lgx2，g(x)2lgx；（）f(x)x，g(x)x2；（C）343322f(x)xx，g(x)xx1；（）1，g(x)secxtanx。Df(x)7、limsinx=（）0|x|（）1；（）-1；（C）0；（D）不存在。18、lim(1x)x（）x0（）1；（）-1；（）e；（）e1。9、f(x)在x0的某一去心邻域内有界是limf(x)存

4、在的（）xx0（）充分必要条件；（）充分条件；（C）必要条件；（D）既不充分也不用要条件.10、limx(x21x)（）x（）1；（）2；（C）1；（D）0。11、设an,bn,cn均为非负数列，且2liman0,limbn1,limcn，则必有（）nnn（A）anbn对任意n成立；（B）bncn对任意n成立；（C）极限limancn不存在；（D）极限limbncn不存在。nn1时，函数x2112、当x1ex1的极限（）x1（）等于；（）等于；（）为；（）不存在但不为。三、计算解答1、计算以下极限（1）lim2nsinnx1；（2）limcscxcotx；n2x0 x12x13x（3）lim(

5、x1)；（4）lim；xxe2x1x（5）lim8cos2x2cosx1；（6）lim1xsinxcosx；2x2cosxcosx1x0 xtanx3（7）lim111；（8）limln(132x)。n1223n(n1)x2arctan34x2、试确定a,b之值，使limx21axb1。xx12、利用极限存在准则求极限11111(1)lim231nn1。n11123n（2）设x1a0，且xn1axn(n1,2,)，证明limxn存在，并求此极限值。n5、谈论函数f(x)limnxnx的连续性，若有中止点，指出其种类。nxnxn6、设f(x)在a,b上连续，且af(x)b，证明在(a,b)内最少

6、有一点，使f()。-第一单元函数极限与连续习题解答一、填空题1、2sin2x。f(sinx)1(12sin2x)22sin2x，222f(x)22x2f(cosx)22cos2x2sin2x。、0。lim(43x)2lim9x224x160。2x(12)x3xxxx3、高阶。limtanxsinxlimtanx(1cosx)lim(1cosx)0，x0 xx0 xx04、k0。tanxsinx是x的高阶无量小。sin1为有界函数，所以要使limxksin10，只要limxk0，即k0。xx0 xx05、0。limexarctanx0(limex0,arctanx(,)。xx226、b2。lim

7、f(x)lim(xb)b，limf(x)lim(ex1)2，x0 x0 x0 x0f(0)b,b2。7、1limln(3x1)lim3x1。2x06xx06x28、1xe依照题意要求0lnx1，所以1xe。9、yex12y1ln(x2),(y1)ln(x2)，x2ey1，xey12，y1ln(x2)的反函数为yex12。10、e2a原式=lim(12axax2ae2a。)2axaxxa3111x2，以11、a由(1ax2)31ax2（利用教材P58(1x)a1ax）与cosx123211ax2及lim(1ax2)31lim32a1，x0cosx1x01x2323可得a。11212、x由反三角函

8、数的定义域要求可得4213x1解不等式组可得1x1f(x)的定义域为1x11x42，4。1x0 x1213、0limx22x22lim(x22x22)(x22x22)xx2222xxlimx22(x22)0。22xx2x214、ln2lim(x2a)xlim(13a)x,令t=xa，所以x=3ataxxaxxa3a-即：lim(x2a)xlim(11)t3a(11)a=e3a8xxatttln233aln8a1ln8ln2。3315、2lim(nn1)(n2n)lim(nn1)2nn(n2n)2(111)limn2。n121n二、选择题1、选（）令F(x)f(x)g(x)h(x)，由f(x),

9、g(x)是l,l上的偶函数，h(x)是l,l上的奇函数，F(x)f(x)g(x)h(x)f(x)g(x)h(x)F(x)。2、选（）lim(x)lim1xlim1x(x)x)(13x)x)131(1x)x1x1(1x1(1lim1x3（利用教材P58(1x)a1ax）x1x)1(1x)2(131x1x133、选（A）limf(x)limlim2（利用教材P58(1x)a1ax）x0 x031x1x01x231)4、选（）limnln(n1)lnnlimln(1n1nnn5、选（）f(0)1，f(0)0，f(0)06、选（）在（A）中f(x)lnx2的定义域为x0，而g(x)2lnx的定义域为x

10、0，f(x)g(x)故不正确在（B）f(x)x的值域为(,)，g(x)x2的值域为x0，故错在（D）中f(x)1的定义域为R，g(x)sec2xtanx的定义域为xR,xk2，f(x)g(x)，故错7、选（）limsinxlimsinx1，limsinxlimsinx1x0|x|x0 xx0|x|x0 xsinxlim不存在111)8、选（）lim(1x)xlim1(x)(e1，xx0 x09、选（）由函数极限的局部有界性定理知，limf(x)存在，则必有x0的某一去心邻域使f(x)有界，xx0而f(x)在x0的某一去心邻域有界不用然有limf(x)存在，比方limsin1，函数1sin11有

11、界，xx0 x0 xx但在x0点极限不存在10、选（）（limx(x21x)limx(x21x)(x21x)lim2xxxx21xxx1x-lim112x111x2n充分大时”的情11、选（D）（A）、（）显然不对，由于有数列极限的不等式性质只能得出数列“当况，不可以能得出“对任意n成立”的性质。（）也显然不对，由于“无量小无量大”是不决型，极限可能存在也可能不存在。x21ex1112、选（D）lim1lim(x1)ex1200 x1x1x1x211lim1ex1lim(x1)ex1x1x1x1当x1时函数没有极限，也不是。三、计算解答1、计算以下极限：（1）解：lim2nsinxlim2nx

12、2x。2n12n1nn1cosxx2（2）解：limcscxxcotxlimsinxsinxlim1cosxlim21。x01x0 xx0 xsinxx0 x221（3）解：limx(ex1)limx1。xxxx112x13x23x13lim(1)lim(1)22。（4）解：lim()1x2x1x2x1xx12111lim(1)x23lim(11)23e3xx1xx22（5）解：lim8cos2x2cosx1lim(2cosx1)(4cosx1)x2cos2xcosx1x3(2cosx1)(cosx1)3lim4cosx141122。cosx13112（6）解：lim1xsinxcosxlim

13、1xsinxcosxxtanx1xsinxcosx)x0 x0 xtanx(limxsinx1cosxlimxsinx1cosx1132x22x2lim2x2。x0 x0 x0244lim(1xsinxcosx)2x0（7）解：lim111x1223n(n1)lim(11)(11)(11)x223nn1lim(11)1。xn1ln(132x)32x111（8）解：limlimlim()33。arctan34x24x224x2x23x2x-、解：lim(x21b)limx21ax2(ab)xbaxxx1xx1lim(1a)x2(ab)x(1b)1xx121a0a1(ab)1b3221111n11

14、、（1）123n1111n11n2111111而limn11lim23nn11。x1x111123n（2）先证有界（数学归纳法）n1时，x2ax1aaa设nk时，xka，则xk1axka2a数列xn有下界，再证xn单调减，xn1axna1且xn0 xnxnxnxn1xn即xn单调减，limxn存在，设limxnA，nn则有AaAA0（舍）或Aa，limxnan、解：先求极限得f(x)limnnn而limf(x)1limf(x)x0 x0f(x)的连续区间为(,0)2x1x01x02x01x01f(0)0(0,)0为跳跃中止点.。、解：令F(x)f(x)x，则F(x)在a,b上连续而F(a)f(

15、a)a0F(b)f(b)b0由零点定理，(a,b)使F()0即f()0，亦即f()。-第二章导数与微分一、填空题1、已知f(3)2，则limf(3h)f(3)h02hf(x)2、f(0)存在，有f(0)0，则limx0 x=。3、yxxarctan1，则yx1=。4、f(x)二阶可导，yf(1sinx)，则y=；y=。5、曲线yex在点处切线与连接曲线上两点(0,1),(1,e)的弦平行。6、ylnarctan(1x)，则dy=。7、ysin2x4，则dy=，dy=。dxdx28、若f(t)limt(11)2tx，则f(t)=。xx9、曲线10、设yx21于点_处的切线斜率为2。yxex，则y

16、(0)_。11、设函数yy(x)由方程exycos()0确定，则dy_。xydx12、设x1t2则d2y_。ycostdx2二、单项选择1、设曲线y1和yx2在它们交点处两切线的夹角为，则tan=（）。1；x（）1；2；（）3。（）（C）3、函数f(x)etankx，且f()e，则k（）。4（）1；（）1；（C）1；（）2。24、已知f(x)为可导的偶函数，且limf(1x)f(1)2，则曲线yf(x)在(1,2)处切线的方程2xx0是。（）y4x6；（）y4x2；（C）yx3；（）yx1。5、设f(x)f2(xx)f2(x)。可导，则limx=x0（）0；（）2f(x)；（C）2f(x)；（

17、）2f(x)f(x)。6、函数f(x)有任意阶导数，且f(x)f(x)2，则f(n)(x)=。（）nf(x)n1；（）n!f(x)n1；（C）(n1)f(x)n1；（）(n1)!f(x)2。7、若f(x)x2，则limf(x02x)f(x0)=（）x0 x2x0；（）x0；4x0；（）4x。（）（C）8、设函数f(x)在点x0处存在f(x0)和f(x0)，则f(x0)f(x0)是导数f(x0)存在的（）（）必要非充分条件；（）充分非必要条件；（C）充分必要条件；（）既非充分又非必要条件。9、设f(x)x(x1)(x2)(x99)则f(0)（）（）99；（）99；（C）99!；（）99!。-10

18、、若f(u)可导，且yf(x2)，则有dy（）（）xf(x2)dx；（）2xf(x2)dx；（C）2f(x2)dx；（）2xf(x2)dx。11、设函数f(x)连续，且f(0)0，则存在0，使得（）（A）f(x)在(0,)内单调增加；（B）f(x)在(,0)内单调减少；（C）对任意的x(0,)有f(x)f(0)；（D）对任意的x(,0)有f(x)f(0)。12、设f(x)x2sin1x0在x0处可导，则（x）axbx0（A）a1,b0；（B）a0,b（C）a0,b0；（C）a1,b三、计算解答1、计算以下各题为任意常数；为任意常数。sin21xlnt，求d2yt1；（1）yex，求dy；（2）

19、yt3dx2（3）xarctanyy，d2y；（4）ysinxcosx，求y(50)；dx2（5）y(x)x，求y；1x（6）f(x)x(x1)(x2)(x2005)，求f(0)；f(a)、f(a)；（）f(x)(xa)(x)，(x)在xa处有连续的一阶导数，求7（8）设f(x)在x1处有连续的一阶导数，且f(1)2，求limdf(cosx1)。x1dx2、试确定常数a,b之值，使函数f(x)b(1sinx)a2x0各处可导。eax1x03、证明曲线x2y2a与xyb（a,b为常数）在交点处切线相互垂直。4、一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米/分，当此气球上升到50

20、0米空中时，问观察员视角的倾角增加率为多少。5、若函数f(x)对任意实数x1,x2有f(x1x2)f(x1)f(x2)，且f(0)1，证明f(x)f(x)。6、求曲线yx3325上过点(1,3)处的切线方程和法线方程。x-第二章导数与微分习题解答一、填空题1、1limf(3h)f(3)limf(3h)f(3)(1)1f(3)1h02hh0h222、f(0)limf(x)limf(x)f(0)f(0)x0 xx0 x03、lnxyxlnx1y|x1lnx、f(1sinx)cosx，f(1sinx)4yf(1sinx)cosx，yf(15、(ln(e1),e1)弦的斜率kcos2xf(1sinx)

21、sinxsinx)cos2xf(1sinx)sinxe1e110y(ex)exe1xln(e1)，当xln(e1)时，ye1。6、dx1(1x)2arctan(1x)dy1x)darctan(1x)11x)2d(1x)arctan(1arctan(1x)1(1dxarctan(1x)1(1x)27、4x3sin2x4，2x2sin2x4dy2sinx4cosx44x34x3sin2x4dxdydy2x2sin2x4dx22xdx1)2tx8、e2t2te2tf(t)limt(1te2tf(t)e2txx2、(1,2)y2x，由2x02x01，y091x21在点(1,2)处的切线斜率为210、2

22、yexxex，yexexxexy(0)e0e0211、exyysin(xy)方程两边对x求导得exy(1exyxsin(xy)2te2t12y)sin()(xy)0 xyy解得yexyysin(xy)。exyxsin(xy)sinttcost由参数式求导公式得dyytsint，12、3dxxt2t4t再对x求导，由复合函数求导法得d2yd(yx)t1tcostsint1sinttcostdx2(yx)xt2t22t4t3。dx二、选择题y1交点为(1,1)1)|1，k2)|21、选（）由，k(xx1(x1x2x1yx2tan|tan(21)|k2k1|31k1k2-3、选（）tankxk12f

23、xektanxsecx()由f()e得ek2ek124f(1x)f(1)f(1x)4、选（A）由limlimx02xx02xf(1x)f(1)1f(1)(1lim()x0 x22切线方程为：y24(x1)即y4x65、选（）limf2(xx)f2(x)f2(x)x0 xf(1)2f(1)42f(x)f(x)6、选（）()()22()()23()fxfxfxfxfxf(x)2f3(x)23f2(x)f(x)23f4(x)设f(n)(x)!n1(x)，则f(n1)(x)(n1)!fn(x)f(x)(n1)!fn2(x)nff(n)(x)n!fn1(x)7、选（）limf(x02x)f(x0)lim

24、2f(x02x)f(x0)2f(x0)x0 xx02x又f(x)(x2)2x，2f(x0)4x08、选（）f(x)在x0处可导的充分必要条件是f(x)在x0点的左导数f(x0)和右导数f(x0)都存在且相等。9、选（）f(x)(x1)(x2)(x99)x(x2)(x99)x(x1)(x3)(x99)x(x1)(x2)(x98)f(0)(01)(02)(099)(1)9999!99!另解：由定义，f(0)limf(x)f(0)lim(x1)(x2)(x99)x0 x0 x01)9999!(99!10、选（）f(x2)f(x2)(x2)2f(x2)dy2xf(x2)dx11、由导数定义知f(0)l

25、imf(x)xf(0)0，x0)时f(x)f(0)再由极限的保号性知0,当x(,x0，从而当x(,0)(x(0,)时，f(x)f(0)0(0)，所以C成立，应选C。12、由函数f(x)在x0处可导，知函数在x0处连续limf(x)limx2sin10,limf(x)lim(axb)b，所以b0。x0 x0 xx0 x0f(x)f(0)x2sin1f(x)f(0)ax又f(0)limlimx0,f(0)lima，x0 x0 x0 xx0 x0 x所以a0。应选C。三、计算解答1、计算以下各题（1）dysin2121)sin212sin1cos1(112sin21exd(sinxexxx2)dxx

26、2sinexdxxx-（2）dy3t23t3，d2y9t29t3，d2y9dx1dx21dx2|t1t1t（3）两边对x求导：1yyyy211y2y2y3y2y3(y21)23(121)yy（4）ysinxcosx1sin2x2ycos2xsin(2x2)y2cos(2x)2sin(2x2)22设y(n)2n1sin(2xn)2则y(n1)2ncos(2xn)2nsin(2x(n1)22y(50)249sin(2x50)249sin2x2（5）两边取对数：lnyxlnxln(1x)两边求导：1ylnxln(1x)1xy1xy(x)xlnxln(1x)1xx1x1（6）利用定义：f(0)limf

27、(x)f(0)lim(x1)(x2)(x3)(x2005)2005!x0 xx0（7）f(x)(x)(xa)(x)f(a)(a)又f(a)limf(x)f(a)lim(x)(xa)(x)(a)xaxaxaxalim(x)(a)(x)(a)(a)2(a)xaxa注：因(x)在xa处可否二阶可导不知，故只能用定义求。（8）limdf(cosx1)limf(cosx1)(sinx1)1x1dxx12x1limf(cosx1)limsinx1f(1)(1)1x1x12x122、易知当x0时，f(x)均可导，要使f(x)在x0处可导则f(0)f(0)，且f(x)在x0处连续。即limf(x)limf(x

28、)f(0)x0 x0limf(x)ba220而x0f(x)0ablimx0又f(0)limf(x)f(0)lim(1sinx)a2ba2bx0 x0 x0 xf(0)eax1ba2eax1limaxalimxlimxxx0 x0 x0由aba1ab20b1-3、证明：设交点坐标为(x0,y0)，则x02y02ax0y0b对x2y2a两边求导：2x2yy0yxy曲线x2y2a在(x0,y0)处切线斜率k1y|xx0 x0y0又由xybbybyx2x曲线xyb在(x0,y0)处切线斜率k2y|xx0b2x0又k1k2x0(b)b1y0 x02x0y0两切线相互垂直。4、设t分钟后气球上升了x米，则

29、tanx500两边对t求导：sec2d1dx1407dt500dt500257cos2dt25当x500m时，4当x500m时，d717（弧度/分）dt252505、证明：f(x)limf(xh)f(x)limf(x)f(h)f(x0)h0hh0hlimf(x)f(h)f(x)f(0)limf(x)f(h)f(0)h0hh0hf(x)f(0)f(x)6、解：由于y3x26x，于是所求切线斜率为k13x26x|x13，从而所求切线方程为y33(x1)，即3xy60又法线斜率为k211k13所以所求法线方程为y31(x1)，即3yx803-第三章中值定理与导数应用一、填空题1、limxlnx_。x

30、02、函数3、函数fx2xcosx在区间_单调增。fx48x33x4的极大值是_。4、曲线yx46x23x在区间_是凸的。5、函数fxcosx在x0处的2m1阶泰勒多项式是_。6、曲线yxe3x的拐点坐标是_。7、若fx在含x0的a,b（其中ab）内恒有二阶负的导数，且_,则fx0是fx在a,b上的最大值。8、yx32x1在,内有_个零点。9、limcotx(11)_。x0sinxx10、lim(121)_。x0 xxtanx11、曲线yex2的上凸区间是_。12、函数yex1x的单调增区间是_。二、单项选择1、函数f(x)有连续二阶导数且f(0)0,f(0)1,f(0)2,则limf(x)x

31、（）2x0 x（）不存在；（）0；（）-1（）-2。；2、设f(x)(x1)(2x1),x(,),则在(1,1)内曲线f(x)（）2（）单调增凹的；（）单调减凹的；（）单调增凸的；（）单调减凸的。3、f(x)在(a,b)内连续，x0(a,b),f(x0)f(x0)0，则f(x)在xx0处（）（）获取极大值；（）获取极小值；（）必然有拐点(x0,f(x0)；（）可能获取极值，也可能有拐点。4、设f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则：在(a,b)内f(x)0与：在(a,b)上f(x)f(a)之间关系是（）（）是的充分但非必要条件；（）是的必要但非充分条件；（）是的充分必要条件；（）不是的

32、充分条件，也不是必要条件。5、设f(x)、g(x)在a,b连续可导，f(x)g(x)0，且f(x)g(x)f(x)g(x)，则当axb时，则有（）（）f(x)g(x)f(a)g(a)；（）f(x)g(x)f(b)g(b)；（）f(x)f(a)；（）g(x)g(a)。g(x)g(a)f(x)f(a)6、方程x33x10在区间(,)内（）（）无实根；（）有唯一实根；（）有两个实根；（）有三个实根。7、已知f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0，limf(x)2，则在点x0处f(x)（）cosxx01（）不可以导；（）可导，且f(0)0；（C）获取极大值；（）获取极小值。、设f(x)有二阶连续

33、导数，且f(0)0，limf(x)1，则（）x0|x|-（）f(0)是f(x)的极大值；（）f(0)是f(x)的极小值；（）(0,f(0)是曲线yf(x)的拐点；（）f(0)不是f(x)的极值点。9、设a,b为方程f(x)0的二根，f(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，则f(x)在(a,b)内（）（A）只有一实根；（B）最少有一实根；（C）没有实根；（D）最少有2个实根。10、在区间1,1上满足罗尔定理条件的函数是（）（A）f(x)1（B）f(x)|x|；x2；（C）f(x)1x2；（D）f(x)x22x1。11、函数f(x)在区间(a,b)内可导，则在(a,b)内f(x)0是函数f(x

34、)在(a,b)内单调增加的（）（A）必要但非充分条件；（B）充分但非必要条件；（C）充分必要条件；（C）没关条件。12、设yf(x)是满足微分方程yyesinx0的解，且f(x0)0，则f(x)在（）（A）x0的某个邻域单调增加；（B）x0的某个邻域单调减少；（）x0处获取极小值；（）x0处获取极大值。三、计算解答1、计算以下极限(1)limarccosx；(2)limlncotx；x1x1x0lnx(3)lime2xesinx；(4)lim112ln(1x)；x0 xln(1x)x0 xx(5)xarctanx；(6)limlntan(ax)。limx3lntan(bx)x0 x02、证明以

35、下不等式(1)、设bae，证明abba。(2)、当0 x2时，有不等式tanx2sinx3x。3、已知yx3sinx，利用泰勒公式求y(6)(0)。4、试确定常数a与n的一组数，使适合x0时，axn与ln(1x3)x3为等价无量小。5、设f(x)在a,b上可导，试证存在(ab)，使1b3a323f()f()。baf(a)f(b)6、作半径为r的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积V最小，并求出该体积最小值。7、若f(x)在0,1上有三阶导数，且f(0)f(1)0，设F(x)x3f(x)，试证：在(0,1)内最少存在一个，使F()0。-第三章中值定理与导数应用习题解答一、填空题lnx11

36、、0limxlnxlimlimxlim(x)011x0 x0 x0 x0 xx22、(,)f(x)2sinx0f(x)在(,)上单调增f(x)24212x3122(x2)3、20令f(x)0 x10,x22当x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0极大值为f(2)204、(1,1)y4x312x3，y12x21212(x1)(x1)当x1时，y0.当x(1,1)时，y0；当x(1,)时，y0曲线在(1,1)上是凸的5、11x21x4(1)m1x2m（见教材P13页，泰勒公式）2!4!(2m)!6、(2,2e2)ye3x3xe3xe3x(13x)，33y3e3x(13x)3e3xe3x(9x6)

37、9e3x(x2)2223令y0 x，当x0；当x时y03时，y33而当x2时，y2e2拐点为(2,2e2)33337、f(x0)0,f(x0)limf(x)f(x0)xx0 xx0当xx0时，f(x0)0,f(x)单调增加；当xlimf(x)0f(x)0 xx0 xx0 xx0 x0时，f(x)0,f(x)单调减少8、1yx220，y在(,)上单调增加3又limylimy.在(,)内有1个零点。xx9、1610、13原式原式=limcosx(x2sinx)x0 xsinxlimtanxxlimx0 x2tanxx0 xsinxlim1cosx1。limcosxlimx33x26x0 x0 x0

38、tanxxlimsec2x11limtan2x1。x3x03x23x0 x2311、(2,2)y2xex2,y2(2x)2ex2令y0 x2，当x(2,2)时，22222y0，上凸，其他区间y0，上凹，故应填入(2,2)。函数yex22yex1，因12、(0,)x1的定义区间为(,)，在定义区间内连续、可导，且为在(0,)内y0，所以函数yxx在(0,)上单调增加。e1二、选择题1、选（）limf(x)xlimf(x)1limf(x)1x22x2x0 x0 x0-2、选（）当x(1,1)时，f(x)0，又f(x)4x14(x1)0 x(1,1)242(x)在(1,1)上单调减且为凹的。23、选

39、（）f(x)x3，则f(0)f(0)0，x0是f(x)x3的拐点；设f(x)x4，则f(0)f(0)0，而x0是f(x)x4的极值点。4、选（）由f(x)在(a,b)内f(x)0的充分必要条件是在(a,b)内f(x)C（C为常数），又由于f(x)在a,b内连续，所以Cf(a)，即在(a,b)上f(x)f(a)。5、选（）由f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)0f(x)0f(x)单调减少，x(a,b)g(x)g(x)f(x)f(a)g(x).f(b)6、选（）令f(x)x331，则f(x)3x233(x1)(x1)；x当x1时，f(x)0，f(x)单调增加，当x(1,

40、1)时，f(x)0，f(x)单调减少当x(1,)时，f(x)0，f(x)单调增加.而f(1)3，f(1)1limf(x)，limf(x)xxf(x)在(,1)上有一实根，在1,1上有一实根，在(1,)上有一实根。、选（）利用极限的保号性可以判断f(x)的正负号：limf(x)20f(x)0（在x0的某空心邻域）；cosx1cosxx01由1cosx0，有f(x)0f(0)，即f(x)在x0取极小值。8、选（）由极限的保号性：f(x)10f(x)（在x0的某空心邻域）；由此f(x)（在0的某空心邻域），lim|x|x|00 xx0f(x)单调增，又由f(0)0，f(x)在x0由负变正，由极值第一

41、充分条件，x0是f(x)的极小点。9、选（B）由罗尔定理保证最少存在一点(a,b)使f()0。10、选（C），A选项f(x)在x0不连续，B选项f(x)在x0处不可以导，D选项f(1)f(1)。11、选（B），如yx3在(,)单增，但f(0)0，故非必要条件。12、选（），由f(x0)0有y(x0)sinx0y(x0)sinx00，所以f(x)在x0处获取极小值。ee三、计算解答1、计算极限（1）解：limarccosxx1x111lim2arccosx1x2lim1111arccosx1x2x1x12x1lncotx1(csc2x)xsinx(2)解：limlimcotxlimx1。x0ln

42、xx01x0cosxsin2x-(3)解：limexesinxlimesinx(exsinx1)limxsinxlim1cosx12ln(1x)x3x33x26x0 xx0 x0 x011xln(1x)11111x(4)解：limln(1x)limlimxx2limx22x2(1x)x0 x0 x0 x02xarctanx11x21(5)解：limlim1x2lim。x33x222x0 x0 x03x(1x)3(6)解：limlntan(ax)limx0lntan(bx)x01sec2(ax)asec2(ax)tan(ax)limtan(bx)a12x0tan(ax)sec2(bx)bsec(

43、bx)btan(bx)limbxcos2(bx)a1axcos2(ax)bx02、(1)证明：abbablnaalnb令f(x)xlnaalnx，则f(x)在a,b上连续f(x)lnaa0 xa,bxf(x)在a,b上单调增加，f(b)f(a)得blnaalnbalnaalna0，即abba(2)令f(x)tanx2sinx3x在x(0,)时2f(x)sec2x2cosx31cosxcosx3331cosxcosx30cos2xcos2xf(x)0，f(x)在(0,)上单调增，又limf(x)lim(tanx2sinx3x)02x0 x0(0,),f(x)23、解：麦克劳林公式而sinxxli

44、mf(x)0，即tanx2sinx3xx0f(x)f(0)f(0)xf(0)x2f(n)(0)xno(xn)2!n!x3x5(1)m1x2m1(2m)3!5!(2m1)!oxyx3sinxx4比较x6的系数有：4、解：axnlimx3x0ln(1x3)x6x83!5!f(6)(0)1f6!3!limanxn13x23x2x01x3(6)(0)6!1203!limanxn6(1x3)1x03n6，an113a25、即证：b3f(b)a3f(a)23f()f()3ba令)xxfxF(x)a,bF在上满足拉格朗日定理的条件()，则-(a,b)，使F(b)F(a)F()ba即b3f(b)a3f(a)3

45、2f()3f()ba即1b3a323f()f()af(a)f(b)b6、解：设圆锥的高为h，底面圆半径为R，则有比率关系hrrR2hr2h2R2Rh2rV1R2h1h2r2(h2r)33h2rdV2(h2r)221hr2(2h4rh)12hrhr3dh3(h2r)2(h2r)2dV0唯一驻点h4rdh所以，当h4r时，体积最小，此时V116r2r28r334r2r3F(1)，由罗尔定理，1(0,1)7、解：由题设可知F(x),F(x),F(x),F(x)在0,1上存在，又F(0)使F(1)0，又F(0)3x2f(x)x3f(x)|x00，可知F(x)在0,1上满足罗尔定理，于是2(0,1)，使

46、F(2)0，又F(0)6xf(x)6x2f(x)x3f(x)|x00，对F(x)在0,2上再次利用罗尔定理，故有(0,2)(0,1)(0,1)，使得F()0。-第四章不定积分一、填空题1、xxdx=_。2、dx=_。x2x3、(x23x2)dx=_。4、cos2xdx=_。cosxsinx5、dx=_。1cos2x6、sintdt=_。t7、xsinxdx=_。8、arctanxdx=_。9、sin2xdx_。1sin2x10、xf(x)dx_。11、1dx_。(x3)x112、dx_。x22x5二、单项选择1、关于不定积分fxdx，以低等式中（）是正确的.（A）dfxdxfx；（B）fxdx

47、fx；（C）dfxfx；（D）dfxdxfx。dx2、函数fx在,上连续，则dfxdx等于（）（A）fx；（B）fxdx；（C）fxC；（D）fxdx。3、若Fx和Gx都是fx的原函数，则（）（A）FxGx0；（B）FxGx0；（C）FxGxC(常数)；（D）FxGxC(常数)。4、若f(x3)dxx3c，则f(x)（）（A）6x35c；（B）9x35c；（C）x3c；（D）xc。555、设f(x)的一个原函数为xlnx，则xf(x)dx（）（A）x2(11lnx)c；（B）x2(11lnx)c；2442（C）x2(11lnx)c；（D）x2(11lnx)c。42246、设f(x)dxx2c，

48、则xf(1x2)dx（）（A）2(1x2)2c；（B）2(1x2)2c；-（C）1(1x2)2c；（D）1(1x2)2c。22、ex1dx（）ex1（A）ln|ex1|c；（B）ln|ex1|c；（C）x2ln|ex1|c；（D）2ln|ex1|xc。、若f(x)的导函数为sinx，则f(x)的一个原函数是（）（A）1sinx；（B）1sinx；（C）1cosx；（D）1cosx。、F(x)f(x),f(x)为可导函数，且f(0)1，又F(x)xf(x)x2，则f(x)=（）（A）2x1；（B）x21；（）2x1；（）x21。CD10、32x23x（）2xdx（A）3x2ln3(3)xC；（B

49、）3x2x(3)x1C；222（C）3ln32(3)xC；（D）3x2(3)xC。ln22ln3ln2211、3xexdx=（）（A）13xexC；（B）13xexC；（）13xex；（D）13xex。ln31ln3ln31ln312、121x2secxdx=（）（）tan1C；（）tan1C；（）cot1C；（）cot1C。xxxx三、计算解答1、计算以下各题(1)xdx；(2)x2x1dx；a2x24x13(3)xarccosxdx；(4)xexdx；1x2ex1(5)xsin2xdx；(6)ln1exdx。sin2tan2ex2、设fxcos2xx，当0 x1时求fx。3、设Fx为fx的

50、原函数，当x0时有fxFxsin22x，且F01,Fx0，求fx。4、确定A、B使下式成立dxAsinxBdx12cosx212cosx2cosx15、设fx的导数fx的图像为过原点和点2,0的抛物线，张口向下，且fx的极小值为2，极大值为6，求fx。-第四章不定积分习题解答一、填空题1、2x25C532、2x2C33、1x33x22x323xxdxx2dxdx5x2dxx2xC(x2x32x25C。532x2C。32)dx1x33x22xC。324、sixncoxsC15、tanxC2cos2xcos2xsin2xcosxsinxdxdxcosxsinx(cosxsinx)dxsinxcos

51、xC。dx1dx11sec2xdx1cos2x2cos2x21tanxC。26、2costCsintdt2sintdt2costC。t7、xcosxsinxCxsinxdxxdcosxxcosxcosxdxxcosxsinxC。8、xarctanxarctanxCarctxadnxxarctxandarctxanxarctanxarctanxC。9、ln(1sin2x)C1sin2xdx2sinxcosxdxsin2x1sin2xdsin2xln(1sin2x)C。1sin2x10、xf(x)f(x)Cxf(x)dxxdf(x)xf(x)f(x)dxxf(x)df(x)xf(x)f(x)C11

52、、2arctan(x1)C令x1t，则xt212原式(t21d(t21)2dt2)tt22211d(t)2arctan(t)C2arctan(x1)C()21222212、1arctanx21Cdxdx1arctanx1C。2x22x5(x1)2422二、选择题1、选（）。由dfxdxfxdx，fxdxfxC，dfxfxC知（A）、（B）、（）选项是错的，故应选。2、选（）。由微分的定义知df(x)dxf(x)dx。3、选（）。函数f(x)的任意两个原函数之间相差一个常数。4、选（B）两边对f(x3)dxx3C微分得2f(x3)3x2,f(t)3t3-25f(x)f(x)dx3x3dx9x3C

53、55、选（B）原式xdF(x)xd(xlnx)x2lnxxlnxdxx2x2lnxxdxx2(1lnx1)C22246、选（C）xf(1x2)dx1f(1x2)d(1x2)1(1x2)C22、选（D）ex1dxex1212ex1exdxexdx11x2exdxx21xx1)exxxde(ee(e1)x2(1ex1)dexx2x2ln|ex1|Cex1x2ln|ex1|C8、选（B）由题意知f(x)sinx，f(x)cosxC1，f(x)2的原函数为f(x)dxsinxC1xC，C10,C21，应选B。9、选（C）由F(x)xf(x)x2两边求导得F(x)f(x)xf(x)2x，又F(x)f(x

54、)，所以f(x)所以f(x)2dx2xC，又由于f(0)1，所以C10、选（）32x23xdx32(3)xdx3x212x23ln1(3)x23x2ln3C。ln2211、选（B）3xexdx(3e)xdx1(3e)x13xex。ln3e1ln32，1,f(x)2x1。(3)xC212、选（）12sec21dx(12)sec21dxsec21d1tan1C。xxxxxxx三、计算解答1、计算以下各题x11(1)解：dx(a2x2)2d(a2x2)a2x2C；a2x22d(x2(2)解：x2x1dx12x42dx14x13)d(x2)4x132x24x132x24x13(x2)2321ln(x2

55、4x13)1arctanx2C；2xarccosxdx33(3)解：arccosxd(1x2)1x21x2arccosx1x2(1x2)dx11x2arccosxxC；-(4)解：xexdx令ex1t，则xln(t21)ex1得ln(t21)(t21)2ttt2dt12t22ln(t21)dt2tln(t21)21dt2tln(t2t21)4(tarctant)C2ex1x4ex14arctanex1C；(5)解：xsin2xdxx1cos2xdx1xdx1xcos2xdx2221x21xdsin2x1x21xsin2x1cos2xC；44448(6)解：ln(1xex)dxln(1ex)d(

56、ex)exln(1ex)exxexdxe1eexln(1x1exexdxe)1exexln(1ex)xln(1ex)C。2、解：f(sin2x)cos2xtan2x12sin2xsin2x1sin2xf(x)12x1x2x110 xsin21xxf(x)f(x)dx(2xx1)dxx2ln|x1|Cx21ln(1x)C3、解：对f(x)F(x)sin22x两边积分：f(x)F(x)dxsin22xdxF(x)dF(x)1cos4xdx1F2(x)x1sin4x2C228由F(0)1知C1又F(x)0得F(x)x1sin4x14f(x)F(x)1(xdx24、解：由(12cosx)21B2Bco

57、s2xdx(12cosx)由不定积分的定义：有sin4xAsinx12cosxAsinx12cosx(Asinx12cosx11)2(1cos4x)Bdx整理得2cosx1C1B2Bcosx)2(12cosx)即Acosx(12cosx)2Asin2xAcosx2A1B2Bcosx(12cosx)2(12cosx)2(12cosx)2对此导数：A2B2，B11BA（也可直接两边求导求解）2A335、解：设fxax2bxc()(a0)-由f(0)0，c0.由f(2)04a2b0b2af(x)ax22ax令f(x)0驻点x10，x22又f(x)2ax2af(0)2a0，x0为极小值点，f(0)2f

58、(2)2a0，x2为极大值点，f(2)6而f(x)f(x)dx(ax22ax)dxax3ax2c3a84acba3由3c2c2f(x)x33x22第五章定积分一、填空题5sin2x)dx=_。1、4(142、41xdx=_。13、4sin3xdx_。04、1arcsinx。01x2dx_5、1xdx_。0 x216、21x2dx_。07、设fx,dsinx2tdt在上连续，则fx2dx3x8、设fx在0,42tdtx3，则f2上连续，且1f9、e3dx。1x1lnx10、dx。1xx2111、2sinxx43x21cosxdx。1x2f(x)dxb12、_，f(2x)dx_。a13、01sin

59、xdx_。二、单项选择1、lim111（）nn1n2nn（A）0；（B）e；（C）ln2；（D）1。2、若fxdxxsintxdt，则f等于（）。dx0（A）sinx；（B）1cosx；（C）sinx；。（D）0。-3、定积分2xxexdx的值是（）。2（A）0；（B）2；（C）2e2+2；（D）6。e24、设fu连续，已知n12xdx2tftdt，则n=（xf0）0（A）1/4；（B）1；（C）2；（D）4。5、若连续函数fx满足关系式fx2xftdtln2，则fx等于（）。2（A）exln2；（B）e2xln2；（C）exln2；（D）e2xln2。6、设M2sinx222x4cosxdx

60、，N2(sinxcosx)dx，212P2(x4sin5xcos2x)dx则有（）2（A）NPM；（B）MpN；（C）NMP；（D）PMN。7、设f(x)x2x2sin10 x则当x0时，f(x)是g(x)的cos(t2)dt,g(x)0（A）等价无量小；（B）同阶但非等价无量小；（C）高阶无量小；（D）低阶无量小。8、设f(x)是连续函数，且F(x)exx2f(t)dt，则F(x)等于（）（A）exf(ex)2xf(x2)；（B）exf(ex)f(x2)；（C）exf(ex)2xf(x2)；（D）exf(ex)f(x2)。9、设函数f(x)在闭区间a,b上连续，且f(xxf(t)dtx10)