广西科技大学时间序列分析计算题复习题

1、第 页(共6页)广西科技大学20132014学年第2学期时间序列分析计算题复习题1.设时间序列X来自ARMA(2,1)过程，满足t(1B0.5B2)X二(10.4B)e,tt其中e是白噪声序列，并且E(e)=0,Var(e)=b2,ttt判断ARMA(2,1)模型的平稳性。(5分)利用递推法计算其一般线性过程表达式的前三个系数：，。(5分)012解答:(1)其AR特征方程为1-x+0.5x2二0，特征根为x二1-1二1i，在单位圆外，故平稳!也可用平稳域法见(P52公式(4.3.11)。(2)由P57公式(4.4.7)知道=10=+=(0.4)1=1.4。111=_+=一0一0.5+1.4=0

2、.9222112.某国1961年1月一2002年8月的1619岁失业女性的月度数据经过一阶差分后平稳(N=500),经过计算样本其样本自相关系数0及样本偏相关系数0的前10个数值如下表kkkk12345678910八pk-0.470.06-0.070.040.000.04-0.040.06-0.050.010kk-0.47-0.21-0.18-0.10-0.050.02-0.01-0.060.010.00利用所学知识，对X所属的模型进行初步的模型识别。(5分)t对所识别的模型参数和白噪声方差G2给出其矩估计。(5分)e解答：(1)样本自相关系数1阶截尾，样本偏相关系数拖尾，ARIMA(0,1,

3、1)2)一八由于ARIMA(0,1,1)模型有0=11+2111+140201=-lJ+4x0.47=,0.74152x0.47=0.645。1+213.设X是二阶滑动平均模型MA(2),即满足X=e+e,其中e是白噪声序列，并且tttt,2tE(e)=0,Var(e)=62，tt求X的自协方差函数和自相关函数。t当00.8时，计算样本均值(X,X,X,X)/4的方差。1234解答：(1)(,022,k0y(kE(XXE(G+0)G+0)=0q2,k=2tt+ktt2t+kt+k20,其他p(k)=2)VarI,k0,k21+020,其他(X+X+X+X)12344丿二丄Var(&+0、+0+

4、G+0、+0+)=g21+0+021611203441+0.8+0.64=2()0.61c24第 #页(共6页)第 页(共6页)4.设e是正态白噪声序列，并且E(e)=0,Var(e)=b2，时间序列X来自ttttX0.8X+ee，问模型是否平稳？为什么？tt1tt1解答：该模型是平稳的，因为其AR特征方程10.8x0的根为1.25，大于1。5.假定Acme公司的年销售额(单位：百万美元)符合AR模型：Y=5+1.1Y0.5Y+e,其tt1t2t中G22。e如果说2005年、2006年和2007年的销售额分别是900万美元，1100万美元和1000万美元，预测2008年和2009年的销售额。证

5、明模型里的”1.1。计算问题(a)中2008年预测的95%预测极限。如果2008年的销售额结果为1200万美元，更新对2009年的预测。解答：(a)应用P142公式(9.3.28)得f(1)5+1.1Y0.5Y5+1.1(10)0.5(11)=10.5(百万美元)200720072006f(2)5+1.1f(1)0.5Y5+1.1(10.5)0.5(10)=11.55(百万美元)200720072007(b)由课本54页公式(4.3.21),”1，”1.1。(c)由课本第140页公式(9.3.15)的95%预测极限为(Y(1)z200710.0251101矢口道：Var(e(1)=2(1+”2

6、+”2+.+”2)，2008年预测te12t1Var(e(1),Y(1)+zVar(e(1)，这里2007200710.0252007O22007ee(1)YY(1)e，故Var(e(1)=。2=2，代入后简单计算得2008年预测的95%2007200820072008预测极限为(7.67,13.33)。(d)由148页更新方程(9.6.1)知F(1)#(1+1)+”YF(1)，所以t+1tlt+1tF(1)”(2)+”YY(1)11.55+1.1(1210.5)13.2(百万美元)200820071200820076.设X的长度为10的样本值为0.8,0.2,0.9,0.74,0.82,0.

7、92,0.78,0.86,0.72,0.84，试求t样本均值x；样本的自协方差函数吟和自相关函数00；1,21,2对AR(2)模型参数给出其矩估计，并写出模型的表达式。(1)样本均值X。0.758(2)样本的自协方差函数值：和自相关函数值0，02。艺（x一x）（x一X）tt+k八4，而0n一kk匚(这里n10，具体计算略过)0第 页(共6页)(3)对AR(2)模型参数给出其矩估计，并且写出模型的表达式。由Yule-Walker方程P=+P1121P=P+21121-ppP22P-0.18649，吕-0.08090811P121P2TOC o 1-5 h z入（I）11。t10.8Btt由(P1

8、43公式(9.3.38)知道Vare）2中2,j0l1因为中1,中0.2,中0.16,故有012VareG0.0025，Vare(2)0.0026，Vare(30.002664。所以未来/期的预测值的10010010095%的预测区间为：X(/)+zVarL(/)丿故未来3期的预测值的95%的预测区间1000.025100为：101(0.234-1.960.0025,0.234+1.960.0025)101(0.136，0.332)102(0.087，0.287)103(-0.049，0.251)o8.设平稳时间序列X服从AR(1)模型：X，Xe,其中e是白噪声序列，并且tt1t-1ttE(e

9、)，0,Var(e)，2,证明：tt证明：由题意X，Xet1t1tVar(X)，2t1，两边求方差得Var(X)，VarX+e)t1t1t，2Var(X)Var(e)(因为e与X1t1ttt1，2Var(X)+2(因为X平稳)1tt相互独立)整理即得Var(X)，2te，t2t其中e是白噪声序列，tk，2k3。，0o(其一般证明见课本9.设平稳时间序列X服从AR(2)模型：X，QX+QXtt1t12并且E(e)，0,Var(e)，2，证明其偏自相关系数满足：Q=J2ttkk0证明：因为AR(2)模型偏自相关系数2阶截尾，即当k3时，QkkP80页)这里仅证明Q，Qo222事实上，Q满足如下Yu

10、le-Walker方程：jQ21+P1Q22，p1(见课本P81公式(628),其中22pQ+Q,p121222pp分别为该AR(2)模型前2阶自相关系数。由课本P52页的公式(4.3.14)和P53页的公1,2式(4.3.15)知：qp2Qp，1H11-QQ(1Q)+Q201Q2于是，解Yule-Walker方程得Q，22Q(1Q)+Q2(Q-p21Q1Q1pl1-(阳1Q2)2，Qo210.设时间序列X服从ARMA(1,1)模型：X，0.5X+e0.25e，其中e是白噪声序列,ttt1tt1t1k，0并且E(e)，0,Var(e)，2，证明其自相关系数满足：p=2vk-1解：方程两边乘以X

11、再取数学期望得E(XX)，E(0.5X2)+E(Xe)E(0.25Xe)，t1tt1t1t1tt1t1(1)第 页（共6页）整理得方程两边求方差得Var(X)=Var(0.5Xe0.25e)tt1tt1=0.25Var(X)Var(e一0.25e)2Cov(0.5X,e一0.25e)t1tt1t1ty=0.25y+(1+)2一0.252y0016Y二0.5丫-0.252lO整理得t113=2012t1(2)将（2）7代入到可得：y1=242,所以p1注意到71/W1260再取数学期望可得0.27。p=U=1，而当k2时，方程两边乘以X0yt-k0E(XX)=E(0.5XX)E(Xe)E(0.2

12、5Xe)ttkt1tktkttkt1y=0.5ykk,1整理得在（3）式两边同除y,即得p=0.5p，k2。证毕!0kk，13）11.设时间序列X服从AR（1）模型:tX=0X+e，其中e是白噪声序列，E(e)=0,Var(e)=2tt，1tttteX1，X2（X1丰X2）为来自上述模型的样本观测值试求模型参数0，；的极大似然估计。21t=2解：依题意n=2，故无条件平方和函数为S（0）=（X，0X）2（1，02）X2=X2号-20X1X2易见（见pll3式（7.3.6）其对数似然函数为11(0,2)=，log(2兀)log(2)log(1，02)S(0)ee222e所以对数似然方程组为1(0

13、,2)0e=020e，即(0,2)=0e0X2X2一20 xX1212=22e20一2xx小=01，022e。解之得12xx12X2X21X2“X2一X2丿2=2”2V2X212(1)第 #页（共6页）(1)第 页（共6页）求E(Y)和Var(Y)。tte一O.lett1对下列每个ARIMA模型，Y=3+Y+e-0.75eY=101.25Y-0.25YTOC o 1-5 h ztt1t2解：(a)原模型可变形为VY=3e-0.75e,注意到e为零均值方差为2的白噪声序列。ttt，1teE(VY)=E(3+e-0.75e)=3所以有1ttt125Var(VY)=Var(3+e-0.75e)=(1

14、+0.752)2=一2ttt-1e16e（b）原模型可变形为VY=100.25VYe，0.1e，因此VY为一个平稳可逆的tt1tt1tARMA（1,1）模型。同时注意到e为零均值方差为2的白噪声序列，所以我们有teE（VY）=E（100.25VYe0.1e）=100.25E（VY）（v平稳性）tt1tt1t第 页(共6页)E(VY)=巴=40TOC o 1-5 h z/1-0.253另一方面，Var(VY)=Var(10+0.25VY+e0.1e)tt1tt1=0.252Var(VY)Var(e-0.1e)2Cov(0.25VY,e-0.1e)t1tt1t1tt1=丄Var(VY)(10.01

15、)22E0.25VY(e-0.1e)16tet1tt1(1-丄)Var(VY)=(10.01)20.5E(VYe)-0.05E(VYe)16tet1tt1t1=(10.01)20-0.05E(Ye)=1.01a2-0.05E(ee)=0.962et，1t，1et，1t，1e所以有Var(VY)=962=1.0242。t15ee若一时间序列长度为35,现对该时间序列拟合AR(1)模型得其残差的前6个样本自相关系数如下：r=o.o5i,r二o.o32,r二0.047,r二0.021,r=0.017,r=0.019123456计算Ljung-Box统计量并由此对残差的自相关性进行检验(显著性水平a=

16、0.05)。解:易见K=6,p=1,q=0，(见课本P132)故Ljung-Box检验统计量等于Q=35(35+2)(，0.051)2+(。血(0.047)2(0.021)2(-0.017)2(，0.019)2匕-()35，135，235，335，435，535，6沁0.28此时服从一个自由度为6-1-0(=5)的卡方分布，因为Q=0.28/2=11.0705，所以没*0.05有证据来拒绝残差项是不相关的零假设。若一时间序列长度为100，现对该时间序列拟合ARMA(1,1)模型得其残差的前8个样本自相关系数如下：r=0.02,r=0.05,r=0.10,r=0.02,r=0.05,r=0.01,r=0.12,r=，0.0612345678计算Ljung-Box统计量并由此对残差的自相关