数学建模大作业

1、目录TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 1平板中小孔周围应力集中影响程度简单建模分析1 HYPERLINK l bookmark2 1.1背景材料1 HYPERLINK l bookmark4 1.2模型假设1 HYPERLINK l bookmark30 1.3模型建立31.4结果分析4 HYPERLINK l bookmark80 1.5评注6 HYPERLINK l bookmark82 2鼓风机三角带传动设计的反求分析7 HYPERLINK l bookmark84 2.1背景资料7 HYPERLINK l bookmark86 2.2建立模型72.

2、3结果分析9 HYPERLINK l bookmark168 3带钢10 HYPERLINK l bookmark170 3.1背景10 HYPERLINK l bookmark172 3.2带钢卷取跑偏电液伺服控制系统组成和工作原理10 HYPERLINK l bookmark174 3.3控制系统数学模型11 HYPERLINK l bookmark176 3.4模型假设11 HYPERLINK l bookmark186 3.5模型建立12 HYPERLINK l bookmark210 3.6控制系统的性能分析13 HYPERLINK l bookmark238 3.7评注16 1平板

3、中小孔周围应力集中影响程度简单建模分析1.1背景材料应力集中是指受力构件由于外界因素或自身因素几何形状、外形尺寸发生突变而引起局部范围内应力显著增大的现象。应力集中是局部现象，因为，在几倍孔径以外的地方，应力的大小和分布几乎不受孔（几何尺寸突变因素）的影响。应力集中是弹性力学中的一类问题，在固体局部区域内显著增高的现象。多出现于尖角、孔洞、缺口、沟槽以及有刚性约束处及其邻域。应力集中会引起脆性材料断裂；使物体产生疲劳裂纹。在应力集中区域，应力的最大值（峰值应力）与物体的几何形状和加载方式等因素有关。局部增高的应力值随与峰值应力点的间距的增加而迅速衰减。由于峰值应力往往超过屈服极限而造成应力的重

4、新分配,所以，实际的峰值应力常低于按弹性力学计算出的理论峰值应力。反映局部应力增高程度的参数称为应力集中系数k它是峰值应力与不考虑应力集中时的应力的比值，恒大于1且与载荷大小无关。1898年德国的G.基尔施首先得出圆孔附近应力集中的结果。1909年俄国的G.V.科洛索夫求出椭圆孔附近应力集中的公式。20世纪20年代末，苏联的N.I穆斯赫利什维利等人把复变函数引入弹性力学，用保角变换把一个不规则分段光滑的曲线变换到单位圆上，导出复变函数的应力表达式及其边界条件，进而获得一批应力集中的精确解。各种实验手段的发展也很快，如电测法、光弹性法、散斑干涉法、云纹法等实验手段均可测出物体的应力集中。随着科技

5、的进步，计算机和有限元法以及边界元法的迅速发展，为寻找应力集中的数值解开辟了新途径。为避免应力集中造成构件破坏，可采取消除尖角、改善构件外形、局部加强孔边以及提咼材料表面光洁度等措施；另外还可对材料表面作喷丸、车昆压、氧化等处理，以提咼材料表面的疲劳强度。1.2模型假设如图（1.1）所示矩形薄板中有一小孔，孔径为2a,先考虑在板的两端收到的均匀拉力q作用下，孔边的应力分布情况。取板的厚度为1,孔的直径为坐标原点。考虑到圆孔边界，选用极坐标求解此问题。为此须将外边直线边界变换成圆边界。设想以原点O为圆心，以远大于a的长度b为半径做一个圆，根据应力集中的局部性，可认为大圆周边上任一点A的应力与无孔

6、时相同，即：b=q,Q=T=0Xyxy图1.1开有小孔的矩形薄板应用坐标变换，可得A点的极坐标的应力分量：q(b)=qcos20=(1+cos29)rr=a2(Tr9)=-qsin0cos0=-(1-1)(12)于是带小孔的矩形板就变成了半径为a,外径为b的厚壁圆筒，其中(1),(2)式为其外部边界条件。应用叠加法可将外力分为两部分，第一部分是外壁上的均匀拉力，其应力解答qb2bb2-a2(a2(1-4)1a+rdrdr2丿r2d021逆+泗=0rdrdr2丿(1-5)(1-3)Tr0根据半逆解法，假设应力函数外为(r,0)=f(r)cos20平面问题的双调和方程:极坐标下的平衡微分方程:Q0

7、Tr0d2dr21.3模型建立模型假设中的应力集中问题转化为求厚壁圆筒截面应力分布问题，目标函数是求解Q，T0r0，将（r,0）=f（r）cos20代入平面问题的双调和方程（5）式中，得co20f（r）=Ar4+Br3+C+r2式中A，B，C，D为待定常数，将式（7）代入（4）中得应力函数表达式（r,0）=（Ar4+Br3+C+）cos20r2将式（8）代入极坐标形式下的平衡微分方程（）式，得L4C6D）=-2B+.r2r4丿1d2+1dr2d02rdrcos20=d2=dr2Tr012Ar2+2B+6Dr4丿“2C6D）6Ar2+2B-r2r4丿d（1d）=drrd0式中常数由下列边界条件确

8、定。cos20（1-6）Q，r（1-7）（1-8）（1-9）（1-10）sin20在外壁上：G）=纟cos20，（T）=-纟sin20rr=b2r0r=b2在内壁上：Cr）=0，C）=0rr=a将应力式（10）代入4个边界条件，并令ab=0（即假设板无限大），求得4个常数为A=0，B=遗，C=詈，D竽将常数代入式（10），再加上均匀载荷q2产生的应力（由（3）式确定），得本问题的解答:、.a2a44+3r2r4丿cos20+21、1-air2丿、cos20-(、,a21+丿2Ir2丿a4-号I1+3(1-11)Tr0、a4宀a4+2r4r4丿sin291.4结果分析（1）现考虑孔边附近的应力情

9、况，沿孔边（r=a），环向应力为。丿=（1-2cos20）,可见，o随0而变。当0=0，兀时，o=-q为压应力；当0=2时，o0取得最大值C0）=3q。其分布规律如下图/（2）所示。200max3q图1-2沿孔边环向应力分布规律图兀（2）沿y轴（与均匀拉力垂直方向），以0=-代入式（11），得2（2+巴+3a4）w2r2r4J沿y轴的几个主要数值如表（1-1）所示，其分布情况如图（1-3）所示。0表（1）ra2a3a4a5a10a03q1.22q1.07q1.037q1.022q1.005q（3）沿x轴，即以0=0，兀代入式（11），得a4a2%沿x轴的几个主要数值如表（1-2）所示，其分布规

10、律如图（1-3）所示0表（2）raJ3a2aJ6a3a4a5a10aQ0-q00.0312q0.0416q0.037q0.025q0.0176q0.0048q3q3q3q图1-3孔边应力沿y轴分布情况从表（1）,表（2）可知，当r=5a时，有孔与无孔两种情况下的值仅差2%左右。由此可以认为孔的影响范围在孔的半径a的5倍距离之内。于是，当平板的宽度大于10a/时，可作为无限大的平板处理。现在引人应力集中系数k来表征应力的影响程度k=JLx其中C）为圆孔周边的最大环向应力，q为横截面上的平均应力。本qymaxC）模型下的应力集中系数为k二xq1.5评注将分析矩形薄板中开有小孔的周围的存在应力集中的

11、程度进行了定量分析，同时将其转化为厚壁圆筒模型的环向应力分布问题，分析结果符合工程实际的情况。同时此模型需要丰富和完善的地方是当发生应力集中的位置出为微小窄缝，裂纹的应力分析将更加复杂，考虑多种复杂应力时应力集中的影响程度。如上述模型如果在薄板的ox方向与oy方向同时均匀受拉，ox方向受压与oy方向均匀受拉等受力情况下应力集中影响程度将会发生很大的变化,都需要进一步对模型进行修正。2鼓风机三角带传动设计的反求分析2.1背景资料人们对机械设计的要求，总是希望在满足功能和约束条件的前提下，使它或是达到体积最小或是效率最高，或是造价最低，或是达到某一专项目标，而有时则是几项目标兼而有之，此即优化设计

12、。用术语表达，是指在满足约束的前提下，求解设计变量，使目标函数取极值的一种设计方法。但这种优化设计，对那些模糊概念的设计要求，如“运转平稳，“维护较方便”等，以及那些模糊界限的约束条件，如“线速度在15m/s左右”、“重量不超过一”等的处理上，由方法和手段不得不把它们人为地当成确定性的来对待，这样就把设计的约束条件和目标简单化了，以致得到的结果不符合实际要求。现设计一鼓风机用三角带传动，原动机为滑环或异步电机，中心距范围a=500800mm，要求轮廓紧凑。模型分析：三角带传动设计要确定的参数是带的型号，带轮直径（DI，D2），中心距a，带长Li,带根数z及带轮轴上的压力Q。在这些参数中，除中心

13、距外，均可按常规方法求得。讨论如何用优化设计方法确定中心距。由题意可知，这是一个以“轮廓紧凑”为目标,以“中心距范围300500mm”为约束条件的三角带传动优化设计。该优化设计是以模糊约束条件为前提的，所以，这是模糊优化设计问题。由三角带传动设计原理可知，其独立的设计变量是带轮直径DI,D2，该问题的优化设计模型为：图2-1带传动简图2.2建立模型设计变量：x=(x,x)T=(D,D)T1212目标函数：minA二min约束函数：500a800其中A=a+D1+2为该传动的轮廓，如上图（2-1）所示。由题意分析可知，中心距愈小，愈接近500，满足设计目标要求的程度愈高;反之，中心距愈大，愈接近

14、800,满足设计目标要求的程度愈低。据此，可写出中心距大小满足设计目标要求程度的函数关系为：0,a500800aG（a）二，500a800、丿函数的图形如图（2-2）所示。800a令九二300，得：a=800一300九，上式表示九与a的关系三由模糊优化的求解原理可知，在九eb，1中，必有一只九*能在满足模糊约束的前提下满足模糊目标的要求。今利用模糊综合评判法确定又九*。根据模糊算法知道影响九的因素集为：U=（u，u，u）=（维修方便程度，制造费用效果，寿命）123因素的权重集为：A=.615,0.117,0.268（根据层次分析的方法确定权重）九的备择集为：V=（X,九,九）=（0.9,0.8

15、,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0）1210单因素评判矩阵为：九：0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.4,0.3,0.2,0.1,0a：30B60B90)620)65Q68071074077(；BOO0.20.30.40.50.60.60.60.60.61.00.90.80.70.60.50.40.30.20.10.20.30.40.50.60.70.80.9R0.60.11.0u1u2u3B=AR0.60.60.60.60.6)有下式模糊综合决策模型-（0.20.30.40.50.6当出现多个相同的评判因子时需要对上式进行加权处理，可得到最优的九*为:匹九.

16、b九*二ji二0.38另bjj=1将九*值代入上面九与a的关系式中，得a=800300九*=800300 x0.38=686(mm)2.3结果分析通过查阅手册知道利用穷举法得出了的在各种中心距下的外廓尺寸A的数值，与a686mm,最接近的中心距为675.49mm,该组设计的参数为D132mm，D300mm，12L（普通V带内周长度）-2000mm，iL（普通V带基准长度）-2040mm，d（普通V带在主动轮上的包角）-165.75。，z=61a675.49mm,A891.49mm可见模糊优化与普通优化几乎相同的满意结果。上例表明，这种优化设计方法，是在满足模糊约束条件的前提下，考虑各种实际因素

17、的影响，使目标函数取极值。这种方法的实质是利用了模糊数学中的模糊综合评判法在九wb,i中确定的一个与模型最贴近的九*，九*对应着一组设计参数和目标函数值，该函数值就是目标函数的极值。3带钢3.1背景建立控制系统的数学模型，并在此基础上对控制系统进行分析、综合，是机电控制工程的基本方法。如果将物理系统在信号传递过程中的动态特性用数学表达式描述出来，就得到了组成物理系统的数学模型。经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程为基础。而以物理定律和实验规律为依据的微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。系统的数学模型是描述系

18、统的输入、输出量以及内部各变量之间关系式的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。控制系统对高性能的追求使得控制理论在实际工程和科学实验中得到广泛应用,并由此产生了各类控制系统。常见的控制问题可视其对控制对象的要求分为两类：当控制对象的输出偏离平衡状态或有这种趋势时，对它加以控制，使其回到平衡状态，这是调节器问题，相应的控制系统称为恒值系统；对控制对象加以控制，使它的输出按某种规律变化，这是伺服机问题，相应的控制系统称为随动系统。随着轧钢生产向自动化、连续化、高速化方向的发展，液压控制系统已成为现代轧钢设备的重要组成部分，在张力控制、位置控制和速度控制上都可以看到它们的应用

19、。这里介绍生产中用到的一类带钢卷取跑偏电液伺服控制系统。电液伺服系统是指将电气（含电子系统）和液压两种传动方式结合起来组成的控制系统。在电液伺服控制系统中，用电气和电子元件（有时需要与计算机接口）实现信号的检测、传递和处理，用液压传动来驱动负载。这样可以充分利用电气系统的方便性、智能性以及液压系统响应速度快、负载刚度大的特点，使整个系统更具适应性。电液伺服系统是综合性能很好的控制系统。在带钢的连续轧制过程中，跑偏控制是十分必要的。尽管在机组及辅助设备设计中采取了许多使带钢运动定向的措施，但跑偏仍是不可避免的。引起跑偏的主要原因有：张力不适当或张力波动较大；辊系的不平行度和不水平度；辊子偏心或有

20、锥度；带钢厚度不均、浪形及横向弯曲等。跑偏控制的作用在于使带钢在准确的位置上运动，避免跑偏过大损坏设备或造成断带停产。同时，跑偏控制也使带钢卷取整齐，从而减少带边的剪切量，提高成品率。卷取整齐的带钢也为摆放、包装、运输和使用带来诸多方便。3.2带钢卷取跑偏电液伺服控制系统组成和工作原理带钢卷取跑偏电液伺服控制系统如图3.1所示。该系统由液压能源、电液伺服阀、电流放大器、伺服液压缸、卷曲机和光电检测器等部件组成。带钢的跑偏位移是系统的输入量，卷曲机（或卷筒）的跟踪位移是系统的输出量。输入量与输出量的差值经光电检测器检测后由电流放大器放大，放大后的功率信号驱动电液伺服阀动作，进而控制伺服液压缸驱动

21、卷曲机（或卷筒）的移动。液压能源为整个系统工作提供足够的能量。除此之外，系统中还设置了辅助液压缸和液控单向阀组。辅助液压缸有两个作用：第一个作用是在卷完一卷要切断带钢前将光电检测器从检测位置退出，而在卷曲下一卷前又能使检测器自动复位对准带边。这样可以避免在换卷过程中损坏光电检测器;第二个作用是在卷曲不同宽度的带钢时调节光电检测器的位置。液控单向阀组可使伺服液压缸和辅助液压缸有较高的位置精度。图3.1控制系统职能方框图3.3控制系统数学模型建立模型是将各个控制系统的电气元件的传递函数分别计算，然后根据各部分的传递函数求得整个系统的输入与输出的传递函数，通过对传递函数的分析，得出系统的相关性能指标

22、。为了从理论上对控制系统进行性能分析，首先要建立系统的数学模型。系统的数学模型，是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。系统数学模型有多种形式，这取决于变量和坐标系统的选择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组的形式；在复数域则采用传递函数形式；而在频率域采用频率特性形式。必须指出，建立合理的数学模型，对于系统的分析和研究极为重要。由于不可能将系统实际的错综复杂的物理现象完全表达出来，因而要对模型的简洁性与精确性进行折衷的考虑。一般是根据系统的实际结构参数和系统分析所要求的精度，忽略一些次要因素，建立既能反映系统内在本质特

23、性，又能简化分析计算工作的模型。在控制工程中，直接求解系统微分方程是研究分析系统的基本方法。系统方程的解就是系统的输出响应，通过方程的表达式，可以分析系统的动态特性，可以绘出输出响应曲线,直观地反映系统的动态过程。但是，由于求解过程较为繁琐，计算复杂费时，而且难以直接从微分方程本身研究和判断系统的动态性能，因此，这种方法有很大的局限性。显然，仅用微分方程这一数学模型来进行系统分析设计，显得十分不便。对于线性定常系统，传递函数是常用的一种数学模型，它是拉氏变换的基础上建立的。用传递函数描述系统可以免去求解微分方程的麻烦，间接地分析系统结构及参数与系统性能的关系，并且可以根据传递函数在复平面上的形

24、状直接判断系统的动态性能，找出改善系统品质的方法。3.4模型假设模型中涉及到的电器元件的输入与输出相应之间的传递函数均适用于线性定常系统。假设系统在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。模型中涉及到的电器元件均适合于单输入-单输出系统。模型中涉及到的电器元件串联时，若两者之间不存在负载效应(如加入隔离放大器)，即各个电气元件之间工作时互相不产生干扰，只是理想串联关系。带钢卷曲电液伺服系统的主要设计数据如下：带钢运行速度v=5m/s；惯性负载M=2.75x104Kg；t工作行程H=75mm；纠偏调节速度V二2.5x10-2m/s；系统频宽f=63血；b钢卷边部误差e=(l2)

25、mm；3.5模型建立首先确定系统中各个电气元件的输入与输出之间的关系(传递函数)。光电检测器和电流放大器由透镜组将点光源变成平行光是为了增大扫描面积并减少侧光干扰。检测器的开口，即发射部分与反射器之间距离S=0.55m,检测横向跑偏范围x=(68)mm。光路调整好以后，检测器增益uK=7=const(3-1)1xe式中：X带钢跑偏量，m；eu检测器输出电压，V。g考虑到电液伺服阀线圈电感的影响，电流放大器通常引入深度电流负反馈，从而使放大器有较高的输出电阻，减小线圈电路的时间常数，使放大器具有恒流源性质。电流放大器的增益为卩&K=(3-2)2ue式中：Ai电流放大器输出的电流，A。因此，光电控

26、制器(包括光电检测器和电流放大器)的增益AK=一=KK(3-3)2x12e由于光电检测器与电流放大器的时间常数都很小，可看作比例环节，因此光电控制器的传递函数为iAI(s)Xe(s)(3-4)电液伺服阀控制系统中采用的是TR-h7/20EF型动圈双级滑阀位置反馈式电液伺服阀其主要技术参数为：额定电流AiR=03A；供油压力Ps=4.5Mpa;额定流量qR=510一3m心；零位泄漏流量qc=&310一6m心；单个线圈电阻Rc=40；单个线圈电感-=3x10-3H；颤振电流幅值和频率分别为0,025A和50Hz；流量增益为:K=r=1.67x10-3m-3.(s-A)(3-5)SVAiR如果认为液

27、压源的压力是恒定的，且不计液压油的惯性，伺服阀可以看成是一个二阶环节,该伺服阀的阻尼比G=0.6和固有频率二112rad/s，从而得到伺服阀的传递函数SV(3-6)c()Q(s)K1.67x10-3TOC o 1-5 h zG(s)=l=s HYPERLINK l bookmark198 SVAI(s)s22c,.s22x0.6.+Ss+1+s+1 HYPERLINK l bookmark202 w2w1122112SVSV(3)液压缸-负载液压缸的技术参数为：活塞直径D=0.125m,活塞杆直径d=0.06m,活塞行程H=0.075m，液压缸有效工作面积A=9.45x10-4m2，系统总的压

28、缩容积(液p压缸及与之相连的管路的容积)V=2.48x10-3m3，液压缸-负载环节的的阻尼比c=0.2t和固有频率w=60.5rad/s。SV由于是惯性负载，液压缸-负载环节的传递函数为GiqX(s)pQ(s)L1AT2s22cs+ns+1Iw2w HYPERLINK l bookmark140 Vnn9.45x10-3亠+注s+1|s160.5260.5丿(3-7)式中，X(s)和Q(s)分别是液压缸活塞的位移和负载流量。PL(4)系统的总体传递函数为：(3-8)GGGG=isvlq总1+GGGisvlq3.6控制系统的性能分析首先校核该系统输出的力和速度是否能满足负载拖动和速度调节的要求

29、。(1)驱动力在伺服控制系统的分析和设计中，外加的工作负载对动态过程的影响一般是不计算的，因为它不影响系统的固有特性(如稳定性)。但校核系统的稳态拖动力是必要的。如果不计粘性摩擦力和弹性力，液压缸驱动负载的力平衡方程为pA=Ma+F(3-9)LPtmL式中，p、a和F分别是液压缸的负载压力、活塞运动的最大加速度和滚动摩擦力负载。lml假设系统的调节运动是正弦运动，即a=vxw=2.5x10-2x2兀x3=0.47ms2。取滚动摩擦系数u=0.05，则F=uMgmmLt所以Ma+uMg小c2小P二jt二2.8MpaP二3Mpa，表明油泵提供的压力能够满足液压缸驱LA3sp动负载的要求。稳定性分析

30、一个闭环控制系统的基本设计完成以后，一定要对该系统进行稳定性校核，因为稳定性是控制系统必须满足的条件。下面的分析是在时域和频域中进行的。计算中将开环传递函数写成有理分式形式，并取开环增益K：K二GGG，其中，光电控制器的增益K.待定。下面用MATLAB数值计算的方法对系ilqsvi统的稳定性进行分析。根据公式(3-8)确定系统的单位阶跃、单位斜坡响应如图3.2和图3.3所示系统的开环博德图。相应的MATLAB语言程序如下：求单位阶跃、单位斜坡响应程序：num=10;den=0.00000002178,0.000003453,0.0004187,0.01732,l,10;u=0:0.1:1.5;

31、t=0:0.1:1.5;y,x=lsim(num,den,u,t);y1,x1=step(num,den,t);plot(t,y,t,y1)图3-2单位速度与单位阶跃相应求开环博德图MATLAB程序：w=logspace(-1,3);num=10;den=0.00000002178,0.000003453,0.0004187,0.01732,1,10;m,p=bode(num,den,w);subplot(211),semilogx(w,20*log10(m)subplot(212),semilogx(w,p)的相位裕量，满足一般控制系统对稳定性的要求。从图3.2可以看出，该系统是I型系统理论上可以无静差地跟踪阶跃信号和以恒定静差跟踪斜坡信号，这一点可以从图3.3中看出。然而，由于本系统的某些环节存在着死区和零漂，在建立数学模型中没有考虑这些因素。因此，即便是跟踪