(完整版)圆锥曲线第三定义及扩展0001

1、（完整版）圆锥曲线第三定义及扩展圆锥曲线第三定义在椭圆上+22=1（b0）中，A,B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A,B两点的任意一点，若k,ka2b2PAPB存在，则kk=-。（反之亦成立）PAPB2x222在双曲线一-二二1（0,b0）中，A,B两点关于原点对称，P是椭圆上异于A,8两点的任意一点，若2b2b2k,k存在，则kk=。（反之亦成立）PAPBPAPB2焦点在丫轴上时，椭圆满足kk二-一，双曲线满足kk二一PAPBb2PAPBb2例、已知椭圆上+22=1（b0）的长轴长为4，若点是椭圆上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交与2b2M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为k1、k2

2、。若k1xk2=-1,则椭圆的方程为。4变式：1、设点儿8的坐标为（一2，0），（2,0）,点是曲线C上任意一点，且直线PA与PB的斜率之积为-1，则4曲线C的方程为。2、设点是曲线C上任意一点，坐标原点是。，曲线C与*轴相交于两点凶（-2，0），3N（2，0）,直线PM，PN的斜率之积为-4，则OP的最小值是。3、已知AABC的两个顶点坐标分别是（一8，0），（8，0）,且AC,BC所在直线斜率之积为m（m中0），求顶点C的轨迹.4、P是双曲线上-q2=1(0,b0)上一点”，N分别是双曲线的左右顶点，直线PM,PN的斜率之积为-,a2b25则双曲线离心率为5、已知椭圆上+”二1的左右顶点分

3、别是A、B,M是椭圆上异于A、B的动点，求证：kk为定值。32MAMB6、平面内与两定点A1(-a,0)，A2(a,0)(a0)连续的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线.求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值得关系；第三定义的应用.xX210例、椭圆+y2=l的左右顶点分别是儿8,点5是椭圆上位于*轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:x=-3分别交于点凶、N,求线段MN长度的最小值.变式：已知A,B分别为曲线C：一+y2=1(y0，a0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与xa2轴垂直，S为l上异于点8的一点，连结AS交曲线C于点T。(

4、1)若曲线C为半圆，点1为圆弧AB的三等分点，试求出点5的坐标；()如图，点凶是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O,M，5三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。第三定义的变形左OAOBZ?2X2丫2框架一：已知椭圆一+=1(ab0),A,B是椭圆上的两动点出为平面上一动点且满足。暇=入OA+uOB.a2b2则有如图框架。(已知任意两个，可以推导第三个).相应的双曲线中有kk=，当焦点在丫轴上时，椭圆满足kk=-，双曲线满足kk=。OA0Ba2OA0Bb2OA0Bb2例、已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两

5、点，OA+OB与a=(3,-1)共线.(I)求椭圆的离心率；(II)设M为椭圆上任意一点，且OM=XOA+目OB(川口R)，证明九2+从2为定值.x2V2变式：已知在椭圆一+二=1(ab0),A,B是椭圆上的两动点，M为椭圆上一动点满足OM=入OA+uOBa2b2b2且九2+从2=1,证明：kk二一一TOC o 1-5 h zOA0Ba2框架二：已知椭圆x2+”=1(ab0),A,B是椭圆上的两动点，凶为平面上一动点且满足OM=kOA+uOB。a2b2b2x2y2贝日有如下框架：kk=o+=X2+u2。OA0Ba2a2b2 HYPERLINK l bookmark18 X2V21例、设动点满足

6、OP=OM+2ON，其中，M，N是椭圆一+二=1上的点，直线OM、ON的斜率之积为-一，422求动点P的轨迹方程。 HYPERLINK l bookmark22 变式：设动点凶满足OM=XOA+uOB，其中A、B是椭圆x2+y2=1(ab0)上的点，且kk=一b2a2b2OA0Ba2x2y2证明：P的轨迹方程为一+=k2+U2。a2b2x2y2框架三：已知动直线l与椭圆一+工=1(b0)交于P(x,x),Q(x,y)两个不同的两点，且a2b21222AOPQ的面积为S，其中O为坐标原点。有如下框图。AOPQkkOP0Qb2-Sb2AOPQy2+y2=b2。x2+x2=a21212例、已知直线l与椭圆