全等三角形难题集锦

1、1、(2007年)已知：如图，AABC中，乙ABC=45,CD丄AB于D,BE平分乙ABC,且BE丄AC于E,与CD相交于点F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(!)求证：BF=AC；1求证：CE=-BF;2(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。2.(2012江)已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列)，使乙DAF=60,连接CF如图1,当点D在边BC上时，求证：BD=CF:AC=CF+CD；如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出

2、AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系.3（08中考第24题）如图14-1,在ABC中，BC边在直线丨上，AC丄BC,且AC二BC.AEFP的边FP也在直线丨上，边EF与边AC重合，且EF二FP.（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；2）将AEFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q,连结AP,BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将AEFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时

3、，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ.你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由l4如图1、图2、图3,AA0B,AC0D均是等腰直角三角形,ZAOB=ZCOD=90,在图1中，AC与BD相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。(2)若ACOD绕点0顺时针旋转一定角度后，到达图2的位置，请问AC与BD还相等吗，还具有那种位置关系吗？为什么？(3)若厶COD绕点0顺时针旋转一定角度后，到达图3的位置，请问AC与BD还相等吗？还具有上问中的位置关系吗？为什么？考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：(1)根

4、据等腰三角形的两腰相等进行解答(2)证明DOB0ACOA,根据全等三角形的对应边相等进行说明.解答:解:(1)相等在图1中AOB,ACOD均是等腰直角三角形，乙AOB=ZCOD=90,OA=OB,OC=OD,:、0A-0C=0B-OD,AC=BD;（2）相等在图2中，0D=OC,ZDOB=ZCOA,OB=OA,dobwacoa,BD=AC点评：本题考査了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是不变的，找出图形中的对应边与对应角5（2008）（9分）复习“全等三角形啲知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在AABC中，AB=AC,卩是厶ABC部任意一点，将

5、AP绕A顺时针旋转至AQ,使乙QAP=ZBAC,连接BQ、CP,则BQ=CP”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了abqwaacp,从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，发现Q=CP”仍然成立，请你就图给出证明.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质专题：证明题；探究型分析：此题的两个小题思路是一致的；已知乙QAP二乙BAC,那么这两个等角同时减去同一个角（2题是加上同一个角），来证得乙QAB二乙PAC；而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知AB=AC，即可由SAS证得ABQACP，进而得出BQ=CP的结论解答：证明：（1）vZQAP=Z

6、BAC,/.ZQAP-ZBAP=ZBAC-ZBAP,即ZQAB=ZCAP；AQ=APZQAB=ZCAPAB=ACBQA二ACPA(SAS)；BQ二CP.(2)BQ=CP仍然成立，理由如下：/ZQAP=ZBAC,z.ZQAP+ZPAB=ZBAC+ZPAB,即ZQAB=ZPAC；在AQAB和APAC中，AQ=APZQAB=ZPACAB=ACQAB二APAC(SAS),BQ二CP点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解答本题的关键5（2009）将一透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两三角形胶片ABC和DEF且AABCWDEF。将这两三角形

7、胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O当ADEF旋转至如图位置，点B（E）,C,D在同一直线上时，ZAFD与ZDCA的数量关系是当HDEF继续旋转至如图位置时，（1）中的结论还成立吗？AO与DO存在怎样的考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质专题：探究型分析：(1)根据外角的性质，得ZAFD=ZD+ZABC,ZDCA=ZA+ZABC，从而得出乙AFD二乙DCA；成立由ABC兰ADEF,可证明ZABF=ZDEC则AABF兰ADEC,从而证出乙AFD=ZDCA；BO丄AD由ABCADEF,可证得点B在AD的垂直平分线上，进而证得点O在AD的垂直平分线上，

8、则直线BO是AD的垂直平分线，即BO丄AD解答：解:(1)ZAFD=ZDCA(或相等).ZAFD=ZDCA(或成立)，理由如下：方法一：由厶ABCADEF，得AB=DE,BC=EF(或BF=EC),ZABC=ZDEF,ZBAC=ZEDF.AZABC-ZFBC=ZDEF-ZCBF,/.ZABF=ZDEC在AABF和ADEC中，AB=DEZABF=ZDECBF=ECABF兰ADEC,乙BAF二乙EDC./.ZBAC-ZBAF=ZEDF-ZEDC,ZFAC=ZCDF./ZAOD=ZFAC+ZAFD=ZCDF+ZDCA,z.ZAFD=ZDCA方法二：连接AD同方法一AABF兰ADEC,AF=DC.由厶

9、ABC兰ADEF,得FD二CA.在AAFD二ADCA,AF=DCFD=CAAD=DAAFD兰ADCA,乙AFD二乙DCA.如图，BO丄AD.方法一：由厶ABC兰ADEF,点B与点E重合，得ZBAC=ZBDF,BA=BD.点B在AD的垂直平分线上，且ZBAD=ZBDA./ZOAD=ZBAD-ZBAC,ZODA=ZBDA-ZBDF,ZOAD=ZODA.OA=OD，点O在AD的垂直平分线上.直线BO是AD的垂直平分线，BO丄AD.方法二：延长BO交AD于点G,同方法一，OA=OD.在ABO和DBO中，AB=DBBO二BOOA=ODABO兰DBO,乙ABO二乙DBO.在厶ABG和中，AB=DBZABG

10、=ZDBGBG=BGABG兰DBG,乙AGB二乙DGB=90.BO丄AD点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握.例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求ZEAF的度数.考点:旋转的性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质分析:延长EB使得BG=DF,易证ABGADF(SAS)可得AF=AG，进而求证AEGAEF可得ZEAG=ZEAF,再求出ZEAG+ZEAF=90即可解题解答：解：延长EB使得BG=DF,在ABG和AADF中，由AB=ADZABG=ZADF=90BG=DF,可得ABGADF(SAS),/.ZDAF=ZB

11、AG,AF=AG,又tEF二DF+BE二EB+BG二EG,AE=AE,AEG兰AAEF(SSS),/.zeag=zeaf,/ZDAF+乙EAF+乙BAE=90aZEAG+ZEAF=90,ZEAF=45.答:ZEAF的角度为45.点评：本题考查了正方形各角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证ZEAG=ZEAF是解题的关键.例2D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,FoA当ZMDN绕点D转动时，求证DE=DFo(2)若AB=2,求四边形DECF的面积。考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角

12、形专题：计算题分析：连CD,根据等腰直角三角形的性质得到CD平分乙ACB,CD丄AB,乙A=45,CD二DA,则ZBCD=45,ZCDA=90,由乙DM丄DN得乙EDF=90,根据等角的余角相等得到乙CDE二乙ADF,根据全等三角形的判定易得ADCE兰AADF,即可得到结论；(2)由厶DCEADF,贝SADCE二SAADF,于是四边形DECF的面积二SAACD，由而AB=2可得CD=DA=1，根据三角形的面积公式易求得SACD,从而得到四边形DECF的面积解答：解:(1)连CD,如图,D为等腰RtAABC斜边AB的中点，CD平分ZACB,CD丄AB,ZA=45,CD=DA,/.ZBCD=45,

13、ZCDA=90,/ZDM丄DN,z.ZEDF=90,z.ZCDE=ZADF,DCE二AADF,在DCE和ADF中,ZDCE=ZDAFDC=DA图2)DE=DF；(图1)图3)(2)tADCE兰AADF,SADCE二SAADF,四边形DECF的面积二SAACD,而AB=2,CD二DA=1,四边形DECF的面积二SAACD=12CDDA=12点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质6、已知四边形ABCD中，AB丄AD，BC丄CD，AB二BC，ZABC=120。，ZMBN

14、=60。，ZMBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.当ZMBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF=EF.当ZMBN绕B点旋转到AE丰CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明DEMB：團1口-2咸立，型口-工不咸壷-证明團10-2.如凰L0H延长DC至:懸，使耳=匹连接魔:则忆鲂垫心匚磴，SS=BK,rAFBE6(T=-FBCtAABE:.AFECAKEC-6CTAKBF-AFBS=60-即血=團107不成NAE,CFtEF的关系是AE-CF=E

15、FKC图Hn7(西城09年一模)已知:PA“2,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.如图当ZAPB=45时求AB及PD的长；(2)当乙APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应乙APB的大小.图1图2图3(I)如图1,当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时Q=；L(II)如图2,点M、N边AB、AC上，且当DM丰DN时，猜想问的两个结论还成立吗？写出例8.(2005年马尾)用两个全等的等边三角形ABC和AACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别

16、与AB,AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时，(如图131),通过观察或测量BE,CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时(如图132),你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：(1)利用全等三角形的判定得出ABEACF即可得出答案；根据已知可以得出乙BAE二乙CAF,进而求出厶ABE兰AACF即可；(3)利用四边形AECF的面积S二SAAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC求出即

17、可解(1)得出结论是：BE=CF,证明:vZBAC=ZEAF=60,:丄BAC-乙EAC=乙EAF-乙EAC,即:ZBAE=ZCAF,又vAB=AC,ZABE=ZACF=60,ZBAE=ZCAFAB=ACZABE=ZACFABE二AACF(ASA),BE二CF,(2)还成立，证明:vZBAC=ZEAF=60,:丄BAC+乙EAC=乙EAF+乙EAC,即ZBAE=ZCAF,又vAB=AC,ZABE=ZACF=60,即卩ZBAE=ZCAFAB=ACZABE=ZACFABE二AACF(ASA),BE=CF,(3)证明:ABE二AACF,SAABE=SAACF,二四边形AECF的面积S=SAAEC+S

18、AACF=SAAEC+SAABE=SAABC；而SAABC=12S菱形ABCD,S=12S菱形ABCD.点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出是解题关键解:BE=CF.证明：在厶ABE和AACF中，vZBAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60,二乙BAE二乙CAF./AB=AC,ZB=ZACF=60,aABEACF(ASA)/.BE=CF.(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明厶ABE和ACF8、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B,C,E在同一条直线上，连结DC1)请找出图2中的全

19、等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；(2)证明：DC丄BE考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形专题：证明题E分析：(1)此题根据厶ABC与厶AED均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABEACD；(2)根据(1)的结论和已知条件可以证明DC丄BE.解答：证明：(1)vABC与厶AED均为等腰直角三角形,AB二AC,AE=AD,ZBAC=ZEAD=90./.ZBAC+ZCAE=ZEAD+ZCAE.即乙BAE二乙CAD,在厶ABE与乂ACD中，AB二ACZBAE=ZCADAE=ADABE二AACD.(2)tAABE兰AACD,ZACD=ZABE=45.又vZACB

20、=45,ZBCD=ZACB+ZACD=90.DC丄BE.点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得9、正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF,求ZEAF的度数.考点旋转的性质全等三角形的判定与性质正方形的性质分析延长EB使得BG=DF,易证ABGWAADF(SAS)可得AF=AG,进而求证AEGAAEF可得乙EAG=ZEAF,再求出ZEAG+ZEAF=90即可解题.解答:解：延长EB使得BG=DF,在氐ABG和AADF中，由AB=ADZABG=ZADF=90BG=DF,可得ABGAADF(SAS),:丄DAF=ZB

21、AG,AF=AG,又EF=DF+BE=EB+BG=EG,AE=AE,AEGAAEF(SSS),ZEAG=ZEAF,ZDAF+ZEAF+ZBAE=90ZEAG+ZEAF=90，ZEAF=45答:ZEAF的角度为45。点评：本题考査了正方形各角均为直角，考査了全等三角形的判定，考査了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证ZEAG=ZEAF是解题的关键7、D为等腰RtAABC斜边AB的中点，DM丄DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。当ZMDN绕点D转动时，求证DE=DF。若AB=2,求四边形DECF的面积。10、如图，已知AB=CD=AE=BC+DE=2,ZABC=ZAED=90,求

22、五边形ABCDE的面积考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题.分析：可延长DE至F,使EF=BC,可得ABCWAAEF,连AC,AD,AF,可将五边形ABCDE的面积转化为两个AADF的面积，进而求出结论.解答:解：延长DE至F,使EF=BC,连AC,AD,AF,AB=CD=AE=BC+DE,ZABC=ZAED=90,CD=EF+DE=DF,在RtAABC与RtAAEF中，AB=AEZABC=ZAEFBC=EFRtAABCWRtAAEF(SAS),AC=AF,在AACD与AAFD中，AC=AFCD=DFAD=ADACDWAAFD(SSS),SABCDE=2SAADF=2x12DFAE=2x1

23、2x2x2=4点评：本题主要考査了全等三角形的判定及性质以及三角形面积的计算,应熟练掌握五、旋转例1正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF二EF,求ZEAF的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG则GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE，AF=AG，所以三角形AEF全等于AEG所以乙EAF=ZGAE=ZBAE+乙GAB二乙BAE+乙DAF又乙EAF+ZBAE+ZDAF=90所以ZEAF=45度如图1,现有一正方形ABCD,将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量，判断AE与AF之间

24、的数量关系，并说明理由将三角尺沿对角线平移到图2的位置，PE、PF之间有怎样的数量关系，并说明理由(3)如果将三角尺旋转到图3的位置，PE、PF之间是否还具有中的数量关系？如果有，请说明理由如果没有，那么点P在AC的什么位置时，PE、PF才具有(2)中的数量关系.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：(1)证明ABE兰AADF可推出AE=AF.本题要借助辅助线的帮助过点P作PM丄BC于M,PN丄DC于N,证明APMEPNF可推出PE=PF.PE、PF不具有(2)中的数量关系当点P在AC的中点时，PE,PF才具有(2)中的数量关系解答：解:(1)如图1,AE=AF理由：

25、证明ABEADF(ASA)2）如图2,PE=PF理由：过点P作PM丄BC于M,PN丄DC于N,贝PM=PN由此可证得APME兰PNF（ASA）,从而证得PE二PF.（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析：（1）证明ABE0AADF可推出AE=AF本题要借助辅助线的帮助过点P作PM丄BC于M,PN丄DC于N,证明APMEPNF可推出PE=PF（3）PE、PF不具有中的数量关系当点P在AC的中点时，PE,PF才具有（2）中的数量关系.解答:解：如图1,AE=AF理由：证明ABE

26、WAADF（ASA）（2）如图2,PE=PF理由：过点P作PM丄BC于M,PN丄DC于N,则PM=PN由此可证得PMEAPNF（ASA）,从而证得PE=PF（3）PE、PF不具有（2）中的数量关系.当点P在AC的中点时，PE、PF才具有（2）中的数量关系点评：本题考査的是正方形的性质以及全等三角形的判定例8.（2005年马尾）用两个全等的等边三角形ABC和AACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB,AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD相交于点E,F时，（如图131）,通过观察

27、或测量BE,CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC,CD的延长线相交于点E,F时（如图132)，你在(1)中得到的结论还成立吗？简要说明理由.解:BE=CF.证明：在厶ABE和厶ACF中，vZBAE+ZEAC=ZCAF+ZEAC=60,二乙BAE=乙CAF./AB=AC,ZB=ZACF=60,aABEACF(ASA)/.BE=CF.(2)BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明厶ABE和ACF10、用两个全等的等边三角形ABC和厶ACD拼成菱形ABCD.把一个含60角的三角尺A与这个菱形叠合，使三角尺的60角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.(1)当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(如图所示），通过观察或测量BE、CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论；（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时（如图所示），你在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由。11已知ZAOB=90。，ZAOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA、0B或它们的反向延长线相交于D、E。当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易证:CD=CE当三角板绕点C旋转