数列习题课(一)

1、题型探究启迪思维探究重点题型探究启迪思维探究重点习题课(一)求数列的通项公式【学习目标】1.了解通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式的常见方法.2掌握利用递推公式求通项公式的常见方法.3.掌握利用前n项和S与a的关系求通项公式的方法.nn预习新知夯实基础问题导学预习新知夯实基础知识点一通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式思考你能看出数列：一1,1，1,1与数列(2):0,2,0,2的联系吗？由此写出数列的一个通项公式.答案数列每项加1得到数列数列的通项公式是an=(1)n，故数列(2)的通项公式是a=(一1)“+1.n梳理通过数列前若干项归纳出数列的一个通项公式，关键是依托基本数列如等

2、差数列、等比数列，寻找a与n,a与a+1的联系.nnn1知识点二利用递推公式求通项公式思考还记得我们是如何用递推公式a+1a=d求出等差数列的通项公式的吗？n+1n答案累加法.梳理已知递推公式求通项公式的主要思路，就是要通过对递推公式赋值、变形，构造出我们熟悉的等差数列或等比数列，进而求出通项公式.赋值、变形的常见方法有累加、累乘、待定系数法、换元、迭代等.知识点三利用前n项和S与a的关系求通项公式nn思考答案梳理如何用数列a的前n项和S表示思考答案梳理nnnS,n=1,a=当n2时，a4-a3=3,这n-1个等式累加得，aa=n1，nn1n(n-1)a-a=1+2+(n-1)二n12n(n-

3、1)n2-n+2、故a二2+a二2且a=1也满足该式，n2121n2n2.*.a=(nN*).n2命题角度2构造等差(比)数列例3已知数列a中，a1=1,a1=2a+3,求a.TOC o 1-5 h zn1n1nn考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列解递推公式a+1二2a+3可以转化为a十t二2(a-t),即a+二2at,则t=-3.n1nn1nn1n故递推公式为a+1+3=2(a+3)n1nb+1a+1+3令b二a+3,贝Ib1=a1+3=4,且人=2.nn11bna+3n所以bn是以4为首项，2为公比的等比数列.所以b=4X2n-1=2n+1，即a=2W+1-3.nn反思与感悟型如

4、an+1=pan+q(其中p,q为常数，且pq(p-1)0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步假设将递推公式改写为a+1+t=p(a+t)；n+1n第二步由待定系数法，解得t二亠；p-1第三步写出数列an+p|的通项公式；第四步写出数列an通项公式.跟踪训练3已知数列a”满足an+1=2a”+3X5n,a1=6,求数列a”的通项公式.考点递推数列通项公式求法题点a”+=pan+f(n)型解设a+xX5”+1=2(a+xX5”),”+1”将a+1=2a+3X5”代入式，得2a+3X5”+xX5”+1二2a+2xX5”，等式两边消去2a,”+1”得3X5”+xX5”+1=2xX5”，两边

5、除以5”，得3+5x=2x，则x=-1，代入式得a+-5”+”+11二2(a-5n)”a+-5”+1由a1-51=6-5=10及式得a-5”工0贝U=2,则数列a-5”是以1为首项，1”a-5”2为公比的等比数列，则a-5n=2n.1,故a二2一1+5.nn类型三利用前n项和S与a的关系求通项公式TOC o 1-5 h znn例4已知数列a的前n项和为S，若S=2a4,nN*,贝Va等于()nnnnn2n1B.2nC.2n1D.2n2考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn答案A解析因为S二2a-4,所以S1二2a.-4,两式相减可得S-S二2a-2a，即a1111a=2a-2a,整理得

6、a=2a,，即l=2，因为S=a.=2a.-4，即a=4，所以数列ann1nn11111nan1是首项为4,公比为2的等比数列，则a=4X2n-i=2n+i，故选A.n反思与感悟已知Sn=f(an)或Sn=f(n)解题步骤：第一步利用S满足条件p,写出当n2时，S,的表达式；nn1第二步利用a=S-S,n2)，求出a或者转化为a的递推公式的形式；nnn1nn第三步若求出n2时的an的通项公式，则根据a广-求出a1,并代入a“的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式如果求出的是an的递推公式，则问题化归为类型二.n1跟踪训练4在数列a”中，a1=1,a1+2a2+3a3na”

7、=?a”+1(nN*),求数列a”的通项a.n考点a与S关系nn题点由Sn与an递推式求通项nnn+1解由a,+2a2+3a3+na=2a+，得123n2n+1n当n三2时，a+2a+3a+(n-1)a二a,123n12n两式作差得na二n+两式作差得na二n+1n+1n-2an，得(n+1)a丄，二3na(n三2),n+1n即数列na从第二项起是公比为3的等比数列，且a,=1,a2=1，于是2a_=2，故当n三2n122时，na二23n-2.n于是a=n2匕3-2，心2.达标检测检测评价达标过关1在数列an于是a=n2匕3-2，心2.达标检测检测评价达标过关1在数列an中，a1=3，an+1

8、=an+n（n；1）则通项公式a=n答案4-1解析原递推公式可化为a+1=a+1-n+1nn1n+1则a2=ai+l3a1-211=a2+2_3，丄1a4=a3+3_4，an1=an-21+n-21n-111,aa.+-nn-1n-1n，逐项相加得a广a】+1故a=4-1.nn2设数列a的前n项和为S，若S2=4,a=2S+1,nWN*，则a1=,S5=TOC o 1-5 h znn2n1n15考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn答案1121解析a1+a2=4，a2=2a1+1，解得a1=1，a2=3，再由a+=2S+1,即a=2S,+1（n三2），得a+-a=2a，即a+=3a（n

9、三2），又a=n+1nnn-1n+1nnn+1n23a1,所以a3a1,所以a1n+1=3a（n三1）,S=n5=121.1-3如果数列a的前n项和S=2a1,则此数列的通项公式a=TOC o 1-5 h znnnn考点a与S关系nn题点由Sn与an递推式求通项nn答案2n1角军析当n=1时，S=2a1-1，：a】=2a1-1,：。1=1.当n22时，a=S-S=(2a-1)-(2a-1),nnn-1nn-1a=2a1,Aa是首项为1，公比为2的等比数列，nn1n:.a=2n-一、选择题已知数列a“中，叮一、选择题已知数列a“中，叮2,a“十an+2n(nWN*)，则a的值是()n已知数列a”

10、的前n项和S=1kan，其中久工0.证明a”是等比数列，并求其通项公式.考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn解由题意得a=S=1+Aa,故久工1,a=,a工0.11111-A1由S由S=1AannS=1Aa得a亠=Aa-Aa，n1n1n即a(A-1)=Aa.n1n由a工0,AH0得a工0,1n所以A所以A-11A所以an是首项为厂，公比为力的等比数列，所以an所以an=n1-aU-1丿T规律与方法不论哪种类型求通项公式，都是以等差数列、等比数列为基础.利用数列前若干项归纳通项公式，对无穷数列来说只能算是一种猜想，是否对所有项都适用还需论证.待定系数法求通项，其本质是猜想所给递推公式可

11、以变形为某种等差数列或等比数列，只是其系数还不知道，一旦求出系数，即意味着猜想成立，从而可以借助等差数列或等比数列求得通项.使用递推公式或前n项和求通项时，要注意n的取值范围.课时对点练注重双基强化落实A.9900C.9A.9900C.9904D.11000考点递推数列通项公式求法题点a“+i=pa“+f(n)型答案B解析ai00二(ai00-a99)+(a99-a98)+(a2-ai)+ai=2(99+98+2+1)+2=2X=2X99X(99+1)2+2=9902.2.已知数列an2.已知数列an中，a1=1,a”+=!+万，则这个数列的第n项为（）n2n1B.2n+1C.12”一11D.

12、2n+1考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案C解析n+1a解析n+1an1+2anan+1二丄+2.anf11为等差数列，公差为2，首项十=1.n1.丄=1+(n-1)2=2n-1,anTOC o 1-5 h za_.n2n-13.在数列a”中，a=2,a”基=a”+ln(1+”)，则a”等于()A.2+lnnB.2+(”1)lnn2+nlnnD.1+n+lnn考点递推数列通项公式求法题点an+=pan+f(n)型答案Aa_n+1)_ln解析由an+1_an+ln(a_n+1)_lnn+1(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)-ln2+ln+-ln2+ln+lnnn-1

13、=In2x2x.X、2n-1；=lnn,即a-a=lnn,a=lnn+2.n1n4.已知数列4.已知数列a的首项为a1=1,1一1卄1A-则此数列的通项公式a等于()nA.2nn(nA.2nd.3考点递推数列通项公式求法题点an+”。“+加)型答案C解析7an+1=2an+2n，2n+1an+1=2an+2，即2n+S丄-2na=2.n+1n又21a1=2,数列2nan是以2为首项，2为公差的等差数列，2na2+(n-1)X22n,nTOC o 1-5 h zna.n2n-15.数列a满足a,aa,a3a2，a_a,是首项为1,公比为2的等比数列，那么n12132nn1an等于()nA.2n1

14、B.2n112n+1D.4n1考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案A解析由题意，得a-a-12n-1，nn-1a1+a1+(a2-a1)+(a3a2)+(an-an-1)1+21+22+.+2-11-2n2n-11-2即a=2n-1.n一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)第1行1第2行23第3行4567则第8行中的第5个数是()A.68B.132C.133D.260考点数列的通项公式题点根据数列的前几项写出通项公式答案B解析前7行中共有1+2+22+26二27-1二127个数，则第8行中的第5个数是127+5=132.二、填空题TOC o 1-5 h

15、 z若数列a”的前n项和为S”，a1=2，且对于任意大于1的整数n,点&迓二)在直线xy近=0上，则数列an的通项公式为.考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn答案a=4n2n解析由题意得VS”-Sn-1二迈，nN*,n2,：瓦是首项为瓦二，公差为迈的等差数列.MSn=：/2n,ASn=2n2,a=S-S二2n2-2(n-1)2=4n-2，n丘N*，n22，nnn-1a1=2也适合上式.a=4n-2,nN*.n数列an中，a1=3,a”，+2a”=0,数列b”的通项满足关系式a”b”=(1)n(nWN*),则b”考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案(1)n32n-1解析易知

16、a是首项为3，公比为2的等比数列，:.a=3X2n.i,n(-l)n(-1)n:,b=nan3X2n-19.在数列9.在数列a中,a=1,n1n+1a.=a,n1nn则数列a的通项公式a=nn考点递推数列通项公式求法题点累乘法求通项答案n解析aa二n,an-1aa-.r.z.ana-an-2a2a1n-1n-2nn-132n-1n-2n.10.已知数列a满足a1=3a+2,且a=1,则a=nn1n1n考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案2X3n11解析设a+1+A=3(a+A)，化简得a.,=3a+2A.TOC o 1-5 h zn1nn1n又a+1=3a+2,.2A=2，即A=1

17、.n1nan11n1+1=3(a+1)，即-n1na1n数列an+1是等比数列，首项为a1+1=2，公比为3.则a+1=2X3n-1,即a=2X3n-1-1.nn2111若数列a的前n项和S=3a+3，贝a的通项公式是a=TOC o 1-5 h znn3n3nn考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn答案(2)12-3-nQ2-3解析当n二1时，a】二1；当n22时，a2-3-nQ2-3nnn-1故訂八2,故叮(-2)n-1.n-1三、解答题12.已知数列a是递增的等比数列，且a1+a4=9,a2a3=8.1423(1)求数列an的通项公式；a设S”为数列a”的前n项和，b”=sg当n三

18、2时，S-S=当n三2时，S-S=a=a,nn1nn1nn1考点a与S关系nn题点由S与a递推式求通项nn解(1)由题设可知aa4=a2-a3=8,又a1+a4=9,a1=1a1=1,la4=8a1=8,或11、a4=1(舍去).由a4=由a4=a、q3得公比q二2,故a”二a1qn-1=2n-1.a1(1-qn)1-2nSn=1-q=L=2n-1，”+1Sn+1-Sn”+1Sn+1-Sn1又b=1JnnSSn1n1所以T=b1+b2n121S；丄八亠S2n1-1n113.已知S=4ann12n-2,求a与S.nn考点a与S关系nn题点由Sn与an递推式求通项nnVS=4-ann12n2ASn1=4an112n31-a+n2n312n2/，an=2an-1+(2)n-1-a-1n1=2a-1n1=2,2na-2n-1a,nn-I=2，2na“是等差数列，d=2，首项为2a1.aa】二S=4-a