函数的单调性与最值 高考数学专题复习要点及习题解答

1、函数的单调性与最值1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f

2、(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M.结论M为最大值M为最小值小题体验1下列函数中，定义域是R且为增函数的是()AyexByx3Cyln x Dy|x|答案：B2函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则()Akeq f(1,2) Bkeq f(1,2) Dk0时，f(x)3x为减函数；当xeq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)时，f(x)x23x为减函数，当xeq blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)，)时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)eq f(1,x1)为

3、增函数；当x(0，)时，f(x)|x|为减函数2讨论函数f(x)eq f(ax,x21)(a0)在x(1,1)上的单调性解：法一(定义法)：设1x1x21，则f(x1)f(x2)eq f(ax1,xoal(2,1)1)eq f(ax2,xoal(2,2)1)eq f(ax1xoal(2,2)ax1ax2xoal(2,1)ax2,xoal(2,1)1xoal(2,2)1)eq f(ax2x1x1x21,xoal(2,1)1xoal(2,2)1).1x1x20，x2x10，x1x210，(xeq oal(2,1)1)(xeq oal(2,2)1)0.f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，

4、故函数f(x)在(1,1)上为减函数法二(导数法)：f(x)eq f(ax212ax2,x212)eq f(ax21,x212).又a0，所以f(x)0，所以函数f(x)在(1,1)上为减函数谨记通法判断或证明函数的单调性的2种重要方法及其步骤(1)定义法，其基本步骤：取值eq x(aal(作差商,变形)eq x(aal(确定符号,与1的大小)eq x(aal(得出,结论)(2)导数法，其基本步骤：eq x(求导函数)eq x(确定符号)eq x(得出结论)eq avs4al(考点二求函数的单调区间) eq avs4al(重点保分型考点师生共研)典例引领求下列函数的单调区间：(1)yx22|x

5、|1；(2)ylog (x23x2)解：(1)由于yeq blcrc (avs4alco1(x22x1，x0，,x22x1，x0，)即yeq blcrc (avs4alco1(x122，x0，,x122，x0.)画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)(2)令ux23x2，则原函数可以看作ylogu与ux23x2的复合函数令ux23x20，则x1或x2.函数ylog (x23x2)的定义域为(，1)(2，)又ux23x2的对称轴xeq f(3,2)，且开口向上ux23x2在(，1)上是单调减函数，在(2，)上是单调增函数而ylogu在(0，)上是单调减函

6、数，ylog (x23x2)的单调递减区间为(2，)，单调递增区间为(，1)由题悟法确定函数的单调区间的3种方法提醒单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“”联结，也不能用“或”联结即时应用1若将典例引领(1)中的函数变为“y|x22x1|”，则结论如何？解：函数y|x22x1|的图象如图所示由图象可知，函数y|x22x1|的单调递增区间为(1eq r(2)，1)和(1eq r(2)，)；单调递减区间为(，1eq r(2)和(1,1eq r(2)2函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2x23x1的单调递增区间为()A(1

7、，)B.eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,4)C.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，) D.eq blcrc)(avs4alco1(f(3,4)，)解析：选B令u2x23x12eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)2eq f(1,8).因为u2eq blc(rc)(avs4alco1(xf(3,4)2eq f(1,8)在eq blc(rc(avs4alco1(，f(3,4)上单调递减，函数yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)u在R上单调递减所以yeq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2x23x1在eq

8、blc(rc(avs4alco1(，f(3,4)上单调递增eq avs4al(考点三函数单调性的应用) eq avs4al(常考常新型考点多角探明)命题分析高考对函数单调性的考查多以选择题、填空题的形式出现，有时也应用于解答题中的某一问中常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值题点全练角度一：求函数的值域或最值1函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(f(1,x)，x1，,x22，x1)的最大值为_解析：当x1时，函数f(x)eq f(1,x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值

9、，为f(1)1；当xx11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abBcbaCacb Dbac解析：选D因f(x)的图象关于直线x1对称由此可得f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2).由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12eq f(5,2)f eq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)f(e)，bac.角度三：解函数不等式3f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(

10、8，) B(8,9C8,9 D(0,8)解析：选B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有eq blcrc (avs4alco1(x0，,x80，,xx89，)解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值4如果函数f(x)ax22x3在区间(，4)上是单调递增的，则实数a的取值范围是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)，) B.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,4)，)C.eq blcrc)(avs4alco1(f(1,4)，0) D.eq blcrc(avs4

11、alco1(f(1,4)，0)解析：选D当a0时，f(x)2x3，在定义域R上是单调递增的，故在(，4)上单调递增；当a0时，二次函数f(x)的对称轴为xeq f(1,a)，因为f(x)在(，4)上单调递增，所以a0, 且eq f(1,a)4，解得eq f(1,4)a1，)若f(x)在(，)上单调递增，则实数a的取值范围为_解析：要使函数f(x)在R上单调递增，则有eq blcrc (avs4alco1(a1，,a20，,f10，)即eq blcrc (avs4alco1(a1，,a2，,a210，)解得2a3，即实数a的取值范围是(2,3答案：(2,3方法归纳函数单调性应用问题的常见类型及解

12、题策略(1)求函数值域或最值常用方法有：单调性法、图象法、基本不等式法、导数法、换元法(2)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(3)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(4)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数提醒若函数在区间a，b上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2016珠

13、海摸底)下列函数中，定义域是R且为增函数的是()Ay2xByxCylog2 x Dyeq f(1,x)解析：选B由题知，只有y2x与yx的定义域为R，且只有yx在R上是增函数2函数f(x)|x2|x的单调减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)解析：选A由于f(x)|x2|xeq blcrc (avs4alco1(x22x，x2，,x22x，x2.)结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2016长春市质量检测)已知函数f(x)|xa|在(，1)上是单调函数，则a的取值范围是()A(，1 B(，1C1，) D1，)解析：选A因为函数f(x)在(，a)上是单调函数，所以a1，解得a1.4

14、函数f(x)eq f(1,x1)在区间a，b上的最大值是1，最小值是eq f(1,3)，则ab_.解析：易知f(x)在a，b上为减函数，eq blcrc (avs4alco1(fa1，,fbf(1,3)，)即eq blcrc (avs4alco1(f(1,a1)1，,f(1,b1)f(1,3)，)eq blcrc (avs4alco1(a2，,b4.)ab6.答案：65已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范围为_解析：函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区

15、间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)二保高考，全练题型做到高考达标1给定函数：yxeq f(1,2)；ylogeq f(1,2)(x1)；y|x1|；y2x1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是()A BC D解析：选B是幂函数，在(0，)上为增函数，故此项不符合要求；中的函数图象是由ylogeq f(1,2)x的图象向左平移1个单位得到的，函数ylogeq f(1,2)x是(0，)上的减函数，所以函数ylogeq f(1,2)(x1)是(1，)上的减函数，故此项符合要求；中的函数在(，1)上为减函数，(1，)上为增函数，符合要求；中的函数在R上为

16、增函数，不符合要求2已知函数f(x)eq r(x22x3)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)解析：选B设tx22x3，由t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)3(2016安徽师大附中第二次月考)函数f(x)eq f(x,1x)在()A(，1)(1，)上是增函数B(，1)(1，)上是减函数C(，1)和(1，)上是增函数D(，1)和(1，)上是减函数解析：选C函数f(x)的定义域为x|x1f(x)eq f(x,

17、1x)eq f(1,1x)1，根据函数yeq f(1,x)的单调性及有关性质，可知f(x)在(，1)和(1，)上是增函数4定义新运算：当ab时，aba；当ab时，abb2，则函数f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12解析：选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5已知f(x)eq blcrc (avs4alco1(3a1x4a，x0在x1时恒成立，令g(x)(3a1)x4a，则必有eq blcrc (avs4alco1(3a10，,g10，)即eq

18、blcrc (avs4alco1(3a1f(a3)，则实数a的取值范围为_解析：由已知可得eq blcrc (avs4alco1(a2a0，,a30，,a2aa3，)解得3a3.所以实数a的取值范围为(3，1)(3，)答案：(3，1)(3，)8设函数f(x)eq blcrc (avs4alco1(1，x0，,0，x0，,1，x1，,0，x1，,x2，x0，x0)，(1)求证：f(x)在(0，)上是增函数；(2)若f(x)在 eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上的值域是eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)，求a的值解：(1)证明：任取x1x20，则f(x

19、1)f(x2)eq f(1,a)eq f(1,x1)eq f(1,a)eq f(1,x2)eq f(x1x2,x1x2)，x1x20，x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，f(x)在(0，)上是增函数(2)由(1)可知f(x)在eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)，2)上为增函数，f eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq f(1,a)2eq f(1,2)，f(2)eq f(1,a)eq f(1,2)2，解得aeq f(2,5).10已知f(x)eq f(x,xa)(xa)(1)若a2，试证明f(x)在(，2)内单调递增；(2

20、)若a0且f(x)在(1，)上单调递减，求a的取值范围解：(1)证明：任设x1x20，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)上单调递增(2)任设1x10，x2x10，要使f(x1)f(x2)0，只需(x1a)(x2a)0在(1，)上恒成立，a1.综上所述知a的取值范围是(0,1三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2015浦东一模)如果函数yf(x)在区间I上是增函数，且函数yeq f(fx,x)在区间I上是减函数，那么称函数yf(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”若函数f(x)eq f(1,2)x2xeq f(3,2)是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为()A1，) B0，eq