基于数形结合思想在高中数学解题中的应用分析

1、 基于数形结合思想在高中数学解题中的应用 张潇译【Summary】作为数学解题中常见的一种方式，数形结合方法的使用使得解题过程更加简单、直观.本文以数形结合思想在高中数学解题中的应用为研究内容，通过实际案例分析，对数形结合思想的应用进行讲解，以指导高中生对这一解题思想的灵活应用.【Key】数形结合；高中；数学；解题在数学解题过程中，利用几何知识与代数知识的转换，能够有效降低题目难度，使解题步骤更加清晰，提高了解题的准确率.一、数形结合思想概述数形结合思想中的“数”意味着数字、代数，而“形”这代表着几何图形，数形结合思想就是将这两种简单的数学基础知识进行融合，使用几何图形关系来表述代数关系，而代

2、数关系也可以通过几何图形进行直观的展现.因此，在数学解题过程中，数形结合思想的应用主要有两种形式：代数知识辅助解答几何题目，或者是几何知识辅助解答代数题目.二、数形结合中的转换措施根据数形结合的实际使用效果来看，“数”与“形”之间的转换的形式多种多样，具体包括“形”向“数”的转换、“数”向“形”的转换，以及“数”和“形”之间的相互转换.在“形”向“数”的转换过程中，是根据当前题目中所给出图形的已知信息，经过分析，找出在几何图形中所隐藏的代数关系，并用数字进行表达，对几何图形类题目的解答提供帮助.“数”向“形”转换的实际使用有着一定的限制，多以题目中的问题进行假设，并将假设以几何图形的方式进行展

3、现，从而有助于更好地说明假设中所表现出来的数量关系.“数”与“形”之间的相互转换，在实际解题过程中的应用较为广泛，其主要利用了数学知识中“数”“形”相互对立的思想，在几何图形与代数关系之间寻求转换的平衡性，以利于对题目的分析和解答.由此可见，数形结合思想的使用，需要根据实际题目的需要选择合适的“数”“形”转换措施，单一的数形结合转换措施并不能解决所有问题.三、数形结合思想在高中数学解题中的实际应用高中数学解题过程中，数形结合思想的使用不仅提高了数学解题的速度和准确度，也在一定程度上培养了学生的数学思维能力，提高了学生对数学学习的兴趣.（一）集合类型题目中的数形结合思想在高中数学基础知识中，集合

4、知识属于考试的重点内容，并作为数学知识延伸的重要铺垫，在教学内容中属于较为重要的部分.其中，集合知识中的交际、补集、并集等知识的介绍，就用到了几何图形辅助描述，因此，在高中集合类型题目的解题过程中，使用数形结合的思想也就不足为奇.例1 存在两个集合M，N，集合M=（x，y）|x2+y2=1，xR，yR，N=M=（x，y）|x2-y=0，xR，yR，求MN中元素的数量.解析 如果采用直接求解法，将题目中的两个方程x2+y2=1，x2-y=0组成方程组，求得对应未知量x，y的取值范围，尽管，这种解题方法可以得到最终答案，但是，对于数学基础较差的学生来说，解题过程过于烦琐，不仅浪费了大量时间，出现错

5、误的可能性也大大增加.在该题目中，以数字形式表述的集合关系过于抽象，即便通过计算求得了相关未知量的取值范围，也需要利用几何知识进行直观的展现.其中x2+y2=1是半径为1的圆的通用表达式，而x2-y=0则是常见的抛物线，因此，求解两个集合的交集，也就变为求两个图形的交点，解题难度大大降低，思路也更加清晰.（二）函数类型题目中数形结合思想的应用函数的学习几乎贯穿于数学学习的整个过程，是数学知识体系中较为基础的内容，在高中阶段的函数学习已经不再是简单的函数基础知识学习，更重要的是学会利用函数关系解决实际问题.对于这一理论性与抽象性同时存在的数学基础知识，在相关题目中，该类型题目不仅包含多种函数关系

6、，还可以借助几何图形进行辅助理解，极大地降低了函数类型题目的难度，提高了解题效率.例2 求解方程sin2x=sinx在区间x（0，2）中的解的个数.解析 该题目看似简单，但是其中涉及的知识内容则较为丰富，如果直接进行解题，则需要进行适当的函数变形，利用sin2x=2sinxcosx=sinx的变化关系，且在区间x（0，2）上，sinx0，所以，cosx=12，这样也可以找到3个答案与之对应.但是，对于函数变形掌握程度较差的学生来说，则可以使用数形结合的思想进行解答，通过建立坐标系的方式，将两个三角函数在利用平面几何图形进行展现，在保证几何图形绘制过程中相关参数正确的同时，就可以直观地发现两个图

7、形的交点数量，问题也就得到解答.基于数形结合思想在数学解题中所体现出来的简便性、高效性等特点，在实际解题过程中，也常常被用来检验答案是否正确.因此，掌握数形结合思想，对于提高数学解题效率有着极为重要的作用.四、总 结在高中数学解题方法中，数形结合思想有着较为广泛的应用，基于数形结合思想在数学解题中应对措施的不同，在使用这一方法进行解题时，应明确“数”“形”之间转换关系，选择与之相适应的解题方法.盡管，数形结合思想能够帮助高中生提高数学解题效率，却不能忽视数学基础知识所起到的重要作用，牢固掌握数学基础知识，建立完善的“数”“形”知识体系，能够促进高中生对数形结合思想的有效应用.【Reference】1田昀.高中数学解题中数形结合思想的思考研究J.中华少年，201