黑龙江省哈尔滨市第九中学2020-2021学年高一上学期期末数学试卷

1、 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题纸指定的位置上。函数f（x）=Jl-l呼的定义域是（0,2.【分析】要是解析式有意义，只要1-log2x$0,log2xW1,结合对数函数的图象或单调性求解即可解：1-log2x$0,log2xW1=log22,故0VxW2.故答案为：（0,2已知a0,b0,且a+4b=1,则+的最小值为_9【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解：因为a0,b0,且a+4b=1.当且仅当且a+4b=1,即b=r,a=时取等号,abod则丄宀+的最小值9.故答案为：915.函数f（x）=sin（3x+申）（30,申G0,2n）的部分图

2、象如图所示,T解：由函数图象可知=3-1,得T=&*+=8,解得3=由函数图象知函数f（x）过点（3,0）,所以0=sin（，X3+），由因为曰0,2n),所以Q=兀/、/兀兀、TOC o 1-5 h zf(x)=sin()， HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 44所以f(2020)=sin()=sin(505n+)=-sin=-44442故答案为：-害16.已知函数-2i+l,xO16.已知函数，若方程f(x)=a有四个不同的解X,x2，x3，x4,且xx2x3x4，则a的最小值是1,.的最大值是4.【分析】作出函数f(x)的图象，由图象观察

3、即可得到a的最小值，同时x+x2f.,16=-2，x3x4=1，x4G2，4),由此即可求得的最大值.344解：作函数f(x)的图象如下图所示：由图象可知，要使方程f(x)=a有四个不同的解，则需1WaV2，故a的最小值为1；由二次函数的对称性可知，x1+x2=-2，由对数函数的图象及性质可知，尹衍右2丫40成立的实数m的取值范围.象；结合函数的奇偶性及单调性将不等式转化为解之即可得结论解：(1)设XVO,则-X0,于是f(-X)=-寺3+寺2,又因为f(X)是偶函数，所以f(x)=f(-x)=-x3+吉X2,斗/兮汽胃O图象见右图(2)因为f(x)为偶函数，所以原不等式等价于f(lml)f(

4、I1-2ml),又由(1)的图象可知，f(x)在0,+8)上单调递增，所以Imll1-2ml,两边平方得m21-4m+4m2，即3m2-4m+1V0,解得TVmV1,（12分）已知tan（a-B）=-7,cosa=-_，其中aG（0,n）,|3g（0,5n）.（1）求tanp的值;(2)求a+B的值.分析】(1)利用同角三角函数基本关系式以及两角和与差的三角函数转化求解即可.(2)利用正切的两角和的三角函数,结合角的范围,求解角的大小即可解：(1)因为，,aG(0,n),（2分）（2分）所以虽口口=Vi-C0Sa所以I（4分）0,这与试验数据在v=0时有意义矛盾，所以不选择该函数模型；从而只能

5、选择函数模型Q=av3+bv2+cv，由试验数据得，a+b+c=0.7,8a+4b+2c=1.6，27a+9b+3c=3.3，联立解得：a=0.1，b=-02，c=0.8；故所求函数解析式为：Q=0.1v3-0.2v2+0.8v,(0WvW3)(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)3则所需时间为乞(小时)，其中：0VvW3,v结合(1)知，y=(0.1v3-0.2v2+0.8v)V=0.3(v-1)2+7所以当v=1时，y.=2.1min答：(1)相应的函数解析式：Q=0.1v3-0.2v2+0.8v,(0WvW3);当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航

6、行费用为2.1万元；(12分)已知函数f(x)=4sin(x)cosx+寸g.求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；当xG晋，时，求f(x)的最值及取到最值时x的值；若函数g(x)=f(x)-m在0,今上有两个不同的零点x1,x2,求实数m的取值范围，并求tan(x1+x2)的值.【分析】(1)利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin(ex+申)的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；当x亠牛，-时，利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)的最大值和最小值，并指出f(x)取得最值时对应的x的值.函

7、数g(x)=f(x)-m所在0,今匀上有两个不同的零点X,x2,转化为函数f(x)与函数y=m有两个交点；可求m的范围，结合三角函数的图象可知，x，x2,关于对称轴是对称的，可知x+x2,即可求tan(x+x2)的值.7Tl解：函数f(x)=4sin(x)cosx+.2,化简可得：f(x)=2sinxcosx-2叮gcos2x+叮3=sin2x-2叮g(寺+*cos2x)+叮3=sin2x-J3cos2x=2sin(2x-),J函数的最小正周期T=n,7T7T7T._兀一一5兀由2knW2x-W2kn+,解得：kn-WxWkn+辽，可得函数的单调递增区间为:kn-令，kn+鈴,keZ.由于斗W

8、xW、，可得-等W2x-ti4&3当2x-=晋，即兀=冷-时，f(x)取得最大值1;当2x-*=-今，即兀=-令时，f(x)取得最小值-2.(3)函数g(x)=f(x)-m所在0,今匀上有两个不同的零点x/,x2，转化为函数f(x)与函数y=m有两个交点，人7T7T令u=2x-,VxG0,曰-令,晋,可得f(x)=sinu的图象(如图).从图可知：mf3,2)时，函数f(x)与函数y=m有两个交点，其横坐标分别为x/,x2z.故得实数m的取值范围是me叮3,2),由题意可知X兀2是关于对称轴是对称的:那么函数在0,，的对称轴X=,52LIT，3那么：tan（X52LIT，3那么：tan（X+x

9、2）=tan-5兀(12分)已知函数f(x)=是定义域上的奇函数，且f(-1)=-2.ax+b(1)求函数f(x)的解析式，判断函数f(x)在(0,+*)上的单调性并证明；(2)令h(x)=lnf(x)-x+a,设a0,若对任意方曰寺，1,当x,x2Gb,b+1时，都有lh(x1)-h(x2)IW加4,求实数a的取值范围.【分析】(1)根据题意可得f(1)=2，即，解得a,b,进而可得=2a+b函数f(x)的解析式，进而有单调性得定义证明函数f(x)的单调性.(2)由(1)可得h(x)=ln(丄+a)，进而得h(x)在b,b+1上为减函数，X推出h(x),h(x).，所以问题转化为加(占+a)

10、-加(+a)W加4,max，min7匕匕十1即3ab2+3(a+1)b-10,对任意bw,1成立，只需求出函数y=3ab2+3(a+1)b-1在b姑,1上的最小值，即可.解：(1)因为f(-1)=-2，且f(x)是奇函数，所以f(1)=2，所彳更，解得、a+b2所以f（x）=x+K函数在（0,1）上单调递减，在（1,+*）上单调递增,证明：任取X,x2e(0,1),且XVx2,因为X,x2e(0,1),且XVx2,所以x1-x2V0,0Vx1x2V1,所以兀匹-1V0,所以f(x1)-f(x2)0,即f(X)f(x2),所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，任取X,x2e(1,+g)，且x1Vx2,因为X,x2e(1,+g)，且x1Vx2,所以X1-X2V0,1VX1X2,所以X1X2-10,所以f(x1)-f(x2)V0,即f(X)vf(x2),所以函数f(x)在(1,+8)上单调递增.(2)由(1)可得h(x)=lnf(x)-x+a=加x+丄-x+a=In(丄+a),TOC o 1-5 h zxx不妨令bWxWx2Wb+1,则工I+ag?+a，即函数h(x)=ln(丄+a)在b,b+1上为减函数，所以g(x)=ln(占+a),g(x).=加(+a),maxmin因为当x1,x2Gb,b+1,满足