麦克斯韦方程组洛伦兹协变性的两种证明方法

1、麦克斯韦方程组洛伦兹协变性的两种证明方法朱永乐(天水师范学院物理系甘肃天水741000摘要:麦克斯韦方程组的证明一般有电磁场张量分析法和洛伦兹微分变电磁场张量分析法数学上是简洁的，洛伦兹微分变换法则具有明显的物理意义，其结论都显示了电磁场的统一性，本文通过两种方法来证明麦克斯韦方程组具有相对论不变性。关键词:伽利略变换洛伦兹变换麦克斯韦方程组办变性相对性原理LorentzcovarianceofMaxwellsequationsthatthetwomethodsZhuyongle(ThedepartmentofPhysicsTianshuinormaluniversity,GansuTians

2、hui741000)AbstractMaxwellsequationsthataregenerallyelectromagneticfieldtensoranalysismethodsandLorenzdifferentialtransformmethod,electromagneticfieldtensoranalysismethodissimplemath,Lorenzdifferentialtransformmethodhasobviousphysicalmeaning,itsconclusionsareshowstheunityoftheelectromagneticfield,thi

3、spapertwomethodstoprovetherelativisticinvarianceofMaxwellsequationswith.Keyword$Galileantransformation;Lorentztransformation;thecovarianceofMaxwellsequationsofrelativitytheory1引言相对性原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。当坐标经过变换而方程的形式不变时，称方程对于这个变换是“协变”的。狭义相对论要求所有表述物理规律的方程对于洛伦兹变换是协变的。在经典物理中，由于牛顿力学的基础是牛顿相对性原理和绝x二x一vt对

4、时空观，其坐标变换服从伽利略变换：y=y。牛顿运动方程fz=zTOC o 1-5 h zdvdvF=F=m=m即对伽利略变换是协变的，但麦克斯韦方程不服从伽利略变换, HYPERLINK l bookmark86 o Current Document dtdt_qB即对伽利略变换不是协变的，例如：对于方程E=-(I)方便起见，考虑一dtQEdEdB_个分量:-久y+&=一匚按牛顿时空观,，.E.pJ在不同的惯性系内是相同dzdydt的，故dEdEddEdEdE乩=y=yI同埋z=ldzdzdzdzdydydBdxdB+xdBdxdB+x=xdxdtdtx=xdtdtdtdB将上式代入分量式整理

5、得丫xE=一h+(v7)B(H)dt(II)式与(I)式的形式不同，即1()在伽利略变换下不是协变的。狭义相对论中坐标变换服从洛伦兹变换义相对性原理要求所有表达物理规律的方程对于洛伦兹变换都是协变暖克斯韦方程组是电磁场所遵循的基本规在狭义相对论的四维时空中麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换且是协变得电磁场张量分析法和微分洛伦兹变换法可验证麦克斯韦方程组的协变性。2洛伦兹变换设有两个相对作匀速直线运动的参考系x,y,z)与S(jc,y,z),S为静止系,S为运动系。在t=t=0时，两个坐标系固定在两个参考系上勺原点及二个坐标轴重合S相对S沿x轴正向以v匀速运动:如图根据洛伦兹变换关系，空间任一点坐标系

6、中的时空坐标有如下关系：x二x1x二yV2x二z3x二letI4x二丫(x一vt)y二yz二z令t二丫(t一x)tEEl亍報对寿=対正向灿肇匀运动则洛伦兹变换可写为x二丫(x+一x)11c4x二tEEl亍報对寿=対正向灿肇匀运动则洛伦兹变换可写为x二丫(x+一x)11c4x二xV22x二x33x二丫(-lx+x)、4c14Y0010丫令a=0010-lpy001(2)1v其中丫=,0二-。L-2c1一-C2即a为沿x轴的特殊洛伦兹变换矩阵。一般洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维变换:x=ax卩,v=1.2.3.4卩pvV(3)有电流密度四维矢量j=（J，lcp）P=Y(P-j)C2x由（3）式变

7、换得电荷密度与电流密度矢量的变换弍j=Y(j-P)x(4)=jy=jz3电磁场张量分析法电磁场E和电磁场E和B用势表出为:B=VxA,E=V申dA石其分量为B1TOC o 1-5 h zdAdAdAdA、其分量为B1=32,E=ic(4i)dxdx1dxdx314厂dAdA厂./dAdA、B=13,E=ic(42)2dxdx2dxdx124dAdA2dx1dA1,e3=辿dA4dx3dx(6)(8一般情况下麦氏方程组:VxB=ps(6)(8一般情况下麦氏方程组:VxB=ps00_E+pjdt0VB=0dB234(9)dA引入一个反对称张量：F=_a-片时dAdA卩v由（5）式可见，电磁场构成一

8、个四维张量:0BB-上E32c1B0B-Ie31c2BB0-E21c3上E上E上E0c1c2c3在洛伦兹变换下的变换方式是：F=aaFpv“VT肮逆变换为：F=aaF,pv九卩pv九p用电磁场张量T以把麦克斯韦方程组写为明显的协变式，这方程组中的12式( )(19)x0(19)x0 HYPERLINK l bookmark22 o Current Document dBvdBQBdB门=Yxy略+z+z0dXc2dtfdydzdB故,dEdEdE故,dEdEdEdEdEdEdEdEdEdXdEdBdB+yvdBdxdB+yvdBd HYPERLINK l bookmark22 o Curren

9、t Document dBvdBQBdB门=Yxy略+z+z0dXc2dtfdydzdB故,dEdEdE故,dEdEdEdEdEdEdEdEdEdXdEdBdB+yvdBdxdB+yvdBdEvdEy丹+yz7dxc2dtvdEdBzyyc2dtdtdt1dxidEdzi+yvy斗yz+ydzdxidBdBdEdEdBdBy工+yvdtidB(17)dB故，丫dEdEdEdy1将麦克斯韦方程组15）dEd+一y(EvB)dxidyydy1dBdti+yvdtdBdxidE式中代入14）式，消去dt(E+vB)y(P+yvdB得:j)x0(18)-dE将麦克斯韦方程组式14）代入15）式中中，消

10、去dx，得:冷(Bdyzv1dE+E)-巴y(jx-vp)+石石1同理，（15）中可化为:dBdzic2dty(E一vB)(20)（15）中可化为:AvAv1A4(B+E)-AvAv1A4(B+E)-汀(B+B)=卩j+丫7(E+vB)(21)?xyc2zAyxc2y0zc2AtzyAb将麦克斯韦方程组17）中代入16）式，消去x，得到:AxABAvAvX+;Y(B+E)+；Y(BE)0AxAyyc2zAzzc2y(22)Ab把（16）式代入17）式中，消去廿，得到:Ax孰(E+vB)AL丫(EvB)=甞AyzyAzyzAt(23)17)式可化为：AEAAv(E+vB)=_(B+B)AzAxz

11、yAtyc2z17)式可化为：(24)AAE乔Y(Ey叫一硬Av乔丫(Bz凤By)(25)把（4）式和12）式分别代入18）（25）中，整理得:f0AEf(26)vrxB二八+00Atr(26)Bf=0Vx丄At式中V表示在S，系的算符。（26）式正是麦克斯韦方程组在系的形式。与9）式相比较，在S系和S中麦克斯韦方程组的数学形式保持不变。5结语至此,我们用电磁场张量分析法和洛伦兹微分变换法验证了麦克斯韦方程组的洛伦兹协变性，它们完全满足相对性原理的要施磁场张量分析法结果证明电场和磁场统一为四维张量，反映出电磁场的统一性和相对性，电场和磁场是一种物质的两个方面,即同一张量的不同分量电场合磁场的六个分量结合起来描述了电磁场的性洛伦兹微分变换法与电荷不变性原理相结合数学公式和相对论力学规律直接导出了相对论电磁规律洛伦兹协变性的数学公式，具有深刻的物理意义。参考文献1电动力学郭硕鸿高等教育出版社第三版b狭义相对论蔡伯廉高等教育出版社b麦氏方程组协变性的另一种证0戴结林安徽教育学院学报第20卷第3期20