高考数学复数典型例题附答案

1、1, 已知复数求 k 的值解：，由 的表示形式得 k=2即所求 k=2点评：(i) 对于两个复数 、 ，只要它们不全是实数，就不能比较大小，因此， 、 能够比较大小， 均为实数。(ii )虚数不能与 0 比较大小，更无正负之分，因此，对于任意复数 z，且 R ；且 R 。2, 若方程 有实根，求实数 m 的值，并求出此实根。解：设 为该方程的实根，将其代入方程得由两复数相等的定义得 ，消去 m 得 ，故得当 时得 ，原方程的实根为当 时得 ，原方程的实根为点评：对于虚系数一元方程的实根问题，一般解题思路为：设出实根 代入方程 利用两复数相等的 充要条件求解。3, 已知复数 z满足，且 z 的对

2、应点在第二象限，求 a的取值范围。11)11)解：设 ，对应点在第二象限，故有又由得由得即，于是由，得 ，再注意到 a0，故得即所求 a 的取值范围为点评： 为利用导出关于 a的不等式， 再次利用式： 由式中两复数相等切入，导出关于a 的关系式： 此为解决这一问题的关键。择的局部代入以及 与 的相互转化，都展示了解题的灵活与技巧，请同学们注意领悟，借鉴4, 求同时满足下列两个条件的所有复数：此外，这里对于与有选2）z 的实部与虚部都是整数。解：设 ，则由题意 y=0 或）当 y=0 时，由注意到当 x0 由题意 y=0 或）当 y=0 时，由注意到当 x0 时，此时式无解（）当 时，由 得又这

3、里 x ，y 均为整数 x=1 ， 或 x=3 ， ，或于是综合（）（）得所求复数z=1+3i ， 1-3i ， 3+i，3-i.（1）关于 x 的方程 在复数集中的一个根为 -2i，求 a+b 的值（2）若一元二次方程有虚根 ，且 ，试判断 a，b， c 所成数列的特征。解：（1）解法一：将 代入方程得由于 ，故有解法二：注意到实系数一元二次方程根成对，所以方程的另一根必是，解得由韦达定理得，解得2）解：设则 为方程的另一虚根，由 得 又由韦达定理得由得 ，若即 a ， b， c 成等比数列。，若（2004 上海卷） 已知复数满足 ， ，其中 i 为虚数单位，求 a 的取值范围。分析：从化简

4、 切入，从利用复数的模的公式突破。解：由题意得 所求 a 的取值范围为（ 1， 7）。1设 zC ，求满足 z+ R 且|z 2|=2 的复数 z za、b 的两个方程分析：设 z=a+bi（a、bR ），代入条件，把复数问题转化为实数问题，易得 解法一：设 z= a+bi， 则 z+ 1 =a+ bi+ 1 =a+bi+ a2a、b 的两个方程z a bi a 2 b2 bb=a+ 2 2 +（b 2 2 ）i R a b a b b= 2 b 2 b=0 或 a2+b2=1 a 2 b 2当 b=0 时， z= a， |a 2|=2 a=0 或 4 a=0 不合题意舍去， z=4 当 b0

5、 时， a2+ b2=1 又 |z 2|=2， （a 2）2+b2=4 解得 a= 1 ， b=15 ， z= 1 15 i44 4 4综上， z=4 或 z= 1 15 i解法z+1z=z44 z+ 1 解法z+1z=z+ z（zz） z z =0，（z z ） | z |2 2 1=0 zz| z|2z= z或|z|=1，下同解法点评： 解法一设出复数的代数形式， 把复数问题转化为实数问题来研究 ;解法二利用复数是实数的条件复数问题实数化 这些都是解决复数问题的常用方法1设 z 是虚数， =z+ 是实数，且 1 2 z（1）求 |z|的值及 z的实部的取值范围；1z（2）设 u=1 z ，

6、求证： u 为纯虚数；1z（ 3）求 u(1 a bi)(1 a- bi)22 a(1 a bi)(1 a- bi)22 a2 b2 2bi = b (1 a) 2 b2 = a 11 a（ ，1）， b 0， u 为纯虚数（ 1）解：设 z= a+bi（ a、b R，b0），1 a b则=a+bi+a1bi=(a+a2ab2)+(ba2bb2 )i 是实数， b 0， a2+ b2=1，即 |z|=1 =2a， 102 u2 2 2 3=11当 a+1= 1 ，即 a=0 时，上式取等号 a1u2 的最小值为 1，则其共轭复数 z =（2009 年上海卷理） 若复数 z 满足 z （1+i）

7、 =1-i （I ，则其共轭复数 z =答案】 i11(4 (4 a)2 4 1311(4 (4 a)2 4 13解析】设 z a bi ，则（ abi ） （1+i） =1-i ，即 abab） i1i，由aa，解得 a0， b 1，所以 z i， z i10,已知关于 x 的方程 x2 zx1 2i 0 有实数根，求复数z 的模的最小值。解：设 x0 是方程的一个实数根12zx0ix0 x0214x0 2x02 52 211,解：x0当且仅当设关于1）则x2）x05即 x0 x045 时， zmiminx 的方程 2x223ax aa 0 至少有一个模为1 的根，求实数 a的值。,80,时

8、，方程有两个实数根，若其中至少有一个模为1或xx 1a22a 2 0 a2x 1 a 4a 2 0 a228,0 时，方程有一对共轭虚根，设虚根为ni m,n R,n 0方程有一个模为m nim nia22mm nim ni2 aa22m1或22的根1由韦达定理知2 m2 n综上所述， an2 1a 1或 a （2 舍）12, 已知复数 z1 满足z15i ， z2其中 i 为虚数单位， a R 。若 z1z2z1 ，求 a 的取值范围。由题意得 z1 1 5i 21i3i是 z1 z22i(4 a)2 4 ， z1138a7 0 a 1,713, （1）当 z i 1 时，求 z20 z10

9、 1的值；2）已知复数 z 满足 z 3 4i 1，求 z 的取值范围。2i2i点 点 Q 的轨迹方程为 y 2 3 x 2 3 22i2i点 点 Q 的轨迹方程为 y 2 3 x 2 3 21) zi1220 z10z10i15ii20 10z20 z10 12）复数 z在复平面所表示的点在以 C 3,4 为圆心，以 1 为半径的圆上z 表示复数 z 在复平面上圆 C 上的点到原点的距离 z 4,614,21i方程1z6，2x 2 0 的 根 在 复 平 面 上 对 应 的 点 分 别 为 A 、 B ， 点 C 对 应 复 数 z 满 足 求 ABC 的最大内角。解方程214,21i方程1

10、z6，2x 2 0 的 根 在 复 平 面 上 对 应 的 点 分 别 为 A 、 B ， 点 C 对 应 复 数 z 满 足 求 ABC 的最大内角。解方程2x 2x1 i ，则 A 1,1 ,B 1, 1又由1i1z6 解得 z 1AC2,2,AB15, 已知复数 z01 mim 0 ,z x0, 2 cosAA34R ，i 为虚数单位，且对于任意复数 z ，有z0 z, 2 z 。（1）试求 m的值，并分别写出 a和b用 x、y表示的关系式；（2）将 x, y 作为点 P 的坐标， a,b 作为点 Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变 换：它将平面上的点 P变到这一平面上的

11、点 Q，当点 P 在直线 y x 1上移动时，试求点 P经该变换后得 到的点 Q 的轨迹方程；（ 3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出 所有这些直线；若不存在，则说明理由。（1）由题意知z0 z2 z z021 m2 4m3z0 1mim0abi1 3i xyix 3y 3x y i ax 3yb3x y2）由题意 P x,y 在直线 y x 1上移动时，点 Q 的坐标满足a 1 3x 3b 2 3 a 2 3 2b 3 1 x 1（3）假设存在这样的直线，显然平行于坐标轴的直线不满足条件故设直线方程为 y kx b k 01由1由12得 12

12、x21由1由12得 12x216,设直线上任意一点 P x,y 经过变换后得到的 Q x 3y, 3x y 仍然在该直线上3x yk x 3y3k 1 y k 3 x当 b 0 时，当 b 0 时，方程组k11无解3k 2 2k 3存在这样的直线，其方程为3 x或 y3x3(1)若zC,则 z20(2)若 z1,z2C,且 z1z2 0 ，则 z1(3)若ab，则 a ibi满足条件 z2iz15 的点的轨迹是A.椭圆B.直线C.判断下列命题是否正确17,线段z2D.1z 是实数，且 z求 z 的值及 z的实部的取值范围 .18,设z是虚数，2.解析z是虚数可设z 1 (x yi) z1yiy

13、i 2xx yi2y(xx2 2 )xy(yy2)i是实数，y 0,122xy0,即x21,此时2x1,即 z的实部的范围是 (12,1)4444圆锥曲线 一、在椭圆中一般以选择题或填空题的形式考查考生对椭圆的两个定义、焦点坐标、准线方程等基础 知识的掌握情况；以解答题的形式考查考生在求椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等涉及分析、探求的 数学思想的掌握情况例 1 从集合 1,2,3, ,11 中任意取两个元素作为椭圆2x2m2y2 1方程中的 m和 n ，则能组成落在 n矩形区域 Bx,y |x| 11,| y| 9 内的椭圆的个数是（A、43、72、86D、90解：根据题意， m是不大于 1

14、0的正整数、 n 是不大于28 的正整数 但是当 m n 时 x 2 m222 1 是圆 n而不是椭圆先确定 n ， n 有 8 种可能，对每一个确定的 有 8 9 72 个本题答案选x225n， m有10 1 9种可能故满足条件的椭圆例 2 如图，把椭圆B2y 1的长轴 AB分成 8等份，过每个分点作 x轴的 16垂线交椭圆的上半部分于P1, P2, P3, P4, P5 , P6 , P7七个点， F 是椭圆的一个焦点，则 P1F P2F P3FP4F P5F解：如图，根据椭圆的对称性知，同理其余两对的和也是 2a ，又 P1FP2FP3F例 3如图， 直线 y面积为 S （）求在 k 0

15、 ，）当 AB 2 ，解：（）设 A （x1，1 所以 S b2P4FP6F P7FP1F1P4F1P5F2kx b 与椭圆 x40 b 1 的条件下，a，P7F1 P1F1 P1F22a，P6FP7F7a 352y2 1交于 A，B 两点，S的最大值；S 1时，求直线 AB 的方程2b），B （x2，b） ，由b24x1 x2 2b 1 b2 b21 b21，解得 x1，21当且仅当y）由 x24kxb，得 （k21124）x22kbx b2 1 0 ，AB1 k2x1x21222 b2 1 2 k2 1记AOB的2 1 b2，OB例3图b 2 时， S 取到最大值 124k2 b2 1 1

16、1设O到 AB的距离为 d，则d2SAB1，又因为 db1 k2所以 b2解得 k 2k 2 1 ，代入式并整理，得 k41 2 3 ， b2，代入式检验，22k20，0，故直线 AB 的方程是2x 6或 y222xx226或y22 x 26 ，或 y26x22点评：本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想 方法和综合解题能力二、在双曲线中常以一道选择题或填空题的形式考查双曲线的两个定义、焦点坐标、准线方程以及渐 近线方程等基础知识；解答题中往往综合性较强，在知识的交汇点出题，对双曲线的基础知识、解析几何 的基本技能和基本方法进行考查22例 4已知双曲

17、线 x2 y2 1(a 0,b 0)的右焦点为 F ，右准线与一条渐近线交于点 A， OAF ab2的面积为 a ( O 为原点)，则两条渐近线的夹角为( )2A30oB45oC60oD90o解： D双曲线2 x22 y21(a0,ba20)的焦点 F (c,0), 右准线方程 x ，渐近线 y b x ，则ab2ca2 A(a ,ab)，所以 SOAF1cab2a ，求得 a b ，所以双曲线为等轴双曲线，则两条渐进线夹角cc2c2为 90 ，故选 D点评： 本题考查双曲线中焦距， 准线方程， 渐近线方程， 三角形面积， 渐近线夹角等知识的综合运用22例 5 P 是双曲线 x y 1的右支上

18、一点， M 、N 分别是圆 (x 5)2 y2 4 和 (x 5)2 y2 1 9 16上的点，则 PM PN 的最大值为( )A. 6 B.7 C.8 D.9解：设双曲线的两个焦点分别是 F1( 5,0) 与 F2 (5,0) ，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P 与M、 F1三点共线以及 P与 N 、 F2三点共线时所求的值最大，此时点PMPN ( PF1例 6已知双曲线 x22) (PF2y2 2 的左、)若动点 M 满足1) 10 1 9 ，故选 B右焦点分别为 F1 ，F2，过点 F2的动直线与双曲线相交于A，B两F1B其中 O为坐标原点) ，求点 M 的轨迹方程；）在 x轴上是

19、否存在定点 C ，使 CACB为常数？若存在，求出点 C 的坐标；若不存在，请说明理由解：由条件知 F1( 2，0) ， F2(2，0) ，设 A(x1，y1) ， B(x2，y2)(x 2，y)， F1AF1M F1A F1B F1O 得（）设 M （x，y），则F1B则 F1M(x1 2，y1) ，( x2 2，y2)，F1O2 x1 x2 6，即y1 y2当 AB 不与 x 轴垂直时，（2，0），x1 x2y1 y2y1 y2x1 x2又因为 A，B 两点在双曲线上，所以4，是 AB 的中点坐标为x 4 ，y ，22y2x4222y，x8即 y1y2xy8(x1 x2) 22x1 y12

20、， x222y22 ，两式相减得(x1 x2 )( x1 x2) (y1 y2)(y1 y2)，即 (x1x2)(x4)(y1 y2)y 将 y1 y2y (x1 x2 ) 代入上式，化简得 (x 6)2x84当 AB 与 x 轴垂直时，x1 x2 2，求得 M （8，0） ，也满足上述方程所以点 M 的轨迹方程是 （x 6）2 y2 4 ）假设在 x轴上存在定点 C（m，0） ，使为常数当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 y k（x 2）（ k1)代入 x2 y2 2 有 (1 k2)x2 4k2x (4k2 2) 0 则 x1，x2 是上述方程的两个实根，所以x1 x24

21、k2k2 1， x1x24k2 2 ， k 2 12(x1 m)(x2 m) k ( x1 2)(x2是2)(k2 1)x1x2 (2k2 m)( x1 x2)4k 2 m2(k2 1)(4k 22)k 2 14k 2(2k2 m) 2 2 2 4k m k 2 122(1 2m)k 2 22m2 2(1 2m)4 4mk 2 1是与 k 无关的常数，所以因为k 2 14 4m0，m 1 ，此时当 AB 与 x轴垂直时，点 A， B的坐标可分别设为 （2，2） ， （2， 2） ，此时为常数例 7抛物线 yA1716B1516解：由题意抛物线为： x2到焦点的距离与到准线的距离相等，C7811

22、y ，则焦点为 此时为常数例 7抛物线 yA1716B1516解：由题意抛物线为： x2到焦点的距离与到准线的距离相等，C7811y ，则焦点为 F（0, ） ，准线为： y1615y0推得：例 8已知抛物线 x2 4y 的焦点为 B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明 FM AB 为定值；F，A、D01 ；由抛物线上的点1615，即 M 点的纵坐标为 ，故选 B16 16B是抛物线上的两动点，且 AF FB （M（x0,y0）0） 过 A、）设 ABM 的面积为 S，写出f（） 的表达式，并求 S 的最小值解：（）由已知条件，得 F （0,1） ，0设 A（x1,y1）， B（x2,

23、y2）由 AF FB，1故在 x轴上存在定点 C（1，0） ，使（1， 1故在 x轴上存在定点 C（1，0） ，使三、抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与 函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等24x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐标是（x1 x2即得 （ x1,1 y1） （x2,y2 1）， 1y 1 1 2 1 1 2 y 2x 2（x 1 1 2 1 1 2 y 2x 2（x x2）y2，即 y2x1x4x1，y2x2x4x2 1 2 1 2 2将式两边平方并把 y1 4x 12， y 2 4x 22代入

24、得 y1 2y2 12解、式得 y1， y2 ，且有 x 1x 2 x2 4y2 4， 抛物线方程为 y41x2，求导得 y 12x所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是1y2x1（xx1） y1，解出两条切线的交点x1x2M的坐标为 （ 2 ，x1x2x1x24 ） （ 2 ， 1） x1 x2所以 FM AB（ 2 ， 2） （x 2x1，1 2 2 1 2 1 2 y2y1） 2（x 2x1 ）2（4x24x1）0所以 FM AB为定值，其值为 01）由（）知在 ABM中， FMAB，因而 S 2|AB|FM|FM| x1x22） 2（ 2）2214x2221x1x2 4y1y221

25、（4） 43333因为|AF| 、|BF| 分别等于 A、 B到抛物线准线 y 1的距离，所以 1|AB| |AF| |BF| y1y22 2（ 2是 S 12|AB|FM| （ 由 1 2知 S4，且当 1 时， S取得最小值 4例 9如图，已知点 F （1，0） ，直线 l: x1 ， P 为平面上的动点，过 P 作直线l的垂线，垂足为点 Q，且QP QF FP FQ （）求动点 P的轨迹 C 的方程；（）过点 F 的直线交轨迹 C于 A，B两点，交直线l于点M ，MA 1AF ， MB 2 BF ，求 1 2的值；lyF1O1已知x解法一：（）设点 P（x，y），则Q（ 1，y） ，由QP QF FP FQ得：（x 1，0） （2，y） （x 1，y） （ 2，y） ，化简得 C:y2 4x ）设直线AB 的方程为： x my1（mB（x2，y2） ，又1，22 ，联立方程组 m4my0，2（ 4m）2 12MAMB2 BF 得0，212y22y2m2 y2 ，整理得：22m y1my1my2y22 2 y1y2m y1y22 4m 0 m4本小题主要考查直线、