线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量

1、 .A是3阶矩阵，誉2巴是线性无关的3维列向量组且满足Aa=a+a+a,Aa2a+a,Aa=2a+3a1123223323（1）求矩阵B,使A(aaa)=(1，2，3a1aa)B；，2，39（2）求A的特征值.解100、(1)由人(a,a,a)=(a,a,a)122，知12312313丿100、B=122J13丿因为誉2=是线性无关的3维列向量组，所以P=（a,a,a）可逆TOC o 1-5 h z123所以P-1AP=B即矩阵A与B相似，由此可得矩阵A与B有相同的特征值由九-100ReB=-1九一2-2=（九一1）2（九一4）=0-1-1九-3得矩阵B的特征值，也即矩阵A的特征值九=X=1,

2、九=4.123001、13.设矩阵B=010,已知矩阵A与B相似，计算R（A-2E）+R（A-E）.（100丿-X0|B-XE=01-X10-X0|B-XE=01-X1010=(1X)(X-1)(X+1)-XX=1是A的二重特征值(-101r1011000000000丿代入（B-九E）=所以R（B-E）=1,故九=1时B可以对角化A也可以对角化故R（AE）=12不是A的特征值,故|A2E|丰0,于是有R(A2E)=3贝UR(A2E)+R(AE)=414.A是3阶实对称矩阵，A的特征值为1，0，-1，A属于1与0的特征向量分别为(l,a,l)t和(a,a+l,l)T，求A.解：A是3阶实对称矩阵

3、，A的特征值互不相同，故这三个特征值所对应的特征向量正交有:(1,a,1)aI1丿所以a=1+1(1,a,1)aI1丿所以a=1+1=0,得：a2+2a+1=(a+1)2=0(11r11ra1r11a=1a+1=01丿1丿1丿代入:设九属于-1的特征向量rx1fxx+x=0r111123亠2x，得x+x=0九属于-1的特征向量2J131丿IX丿3yr12166得相似变换矩阵P=A=PAP-1=PAPt=_313132_315.设A是n阶实对称矩阵,满足A3-3A2+3A-2E=O,求A的特征值.解：由于A是n阶实对称矩阵，所以A的特征值都是实数,A33A2+3A2E=0两边同乘以特征向量(A3

4、(A3-3A2+3A-2E)X=0A3X-3A2X+3AX-2EX=0九3X-3九2X+3九X-2X=0由于X丰0故（九3-3九2+3九2）X=0九3-3九2+3九一2=0n（九一2）（九2九+1）=0由于九是实数，所以九二216.设3阶实对称矩阵A的特征值九=1,九=2,九=-2,a=（1,-1,是A属于九的一个TOC o 1-5 h z12311特征向量，B=A5-4A3+E.求B的特征值和特征向量.解A是3阶实对称矩阵，九二1,九二2,九=-2,互不相同，所以对应于九,九，九的特征123123向量两两正交.令x1X=x与a正父nx-x+x=021123IXJr1-1解得:X=1，X=02310JI1JTOC o 1-5 h zB=f（A）=A5-4A3+E.的特征值卩=（九）所以B的特征值为卩=-2,卩=卩=1,B属于卩=-2的全部