五年高考真题 10.5二项分布与正态分布

1、第五节二项分布与正态分布考点一条件概率与相互独立事件的概率(2015新课标全国I,4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为()A.B.0.432C.D.解析该同学通过测试的概率为P=X+C1XX=.2答案A(2014新课标全国II,5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.B.0.75C.D.解析由条件概率可得所求概率为错误尸，故选A.答案A(2011湖南，15)如图，EFGH是以0为圆心

2、，半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则TOC o 1-5 h zP(A)=.P(B|A)二.解析圆的半径为1，正方形的边长为；2,A圆的面积为n,正方形面积为2,n2扇形面积为故P(A)=-,4nP(BP(B|A)=P(AnB)P(A)21答案4(2014陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000兀，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：作物产量(kg)300500概率作物市场价格(兀/kg)610概率设X表示在这块地上种植1季此

3、作物的利润，求X的分布列；若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000兀的概率.解(1)设A表示事件“作物产量为300kg”B表示事件“作物市场价格为6兀/kg”，由题设知P(A)二，P(B)二，因为利润=产量X市场价格一成本，所以X所有可能的取值为500X10-1000=4000，500X6-1000=2000，300X10-1000=2000，300X6-1000=800.P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-x(1-=，P(X=2000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1X+X(1=,P(X=800)=P(A)P(B)=X=，所以X的分布列为X4

4、0002000800P(2)设C表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3)，i由题意知C,C，C相互独立，由(1)知，123P(C)=P(X=4000)+P(X=2000)=+=(i=1，2，3)，i3季的利润均不少于2000兀的概率为P(CCC)=P(C)P(C)P(C)=；1231233季中有2季的利润不少于2000元的概率为P(CCC)+P(CCC)+P(CCC)123123123所以，这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为+=.(2013辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已

5、知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对每道甲类34题的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望.解(1)设事件A二“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A=“张同学所取的3道题都是甲类题”._c31因为p(A)=6，105所以P(A)=1-P(A)=6-(2)X所有的可能取值为0,1,2，3.14;14;5125P(X=0)=Co-2I5丿P(X=1)=C1211P(X=1)=C1211025+弔丿書丿4=285=苗2P(X=2)=C2-2I5丿5丿115丿5+C1F15丿4=575=腐P(X=3)

6、=C225丿4=365=125-所以X的分布列为:X0123P42857361251251251254285736所以()=0X+1X+2X+3X=2-(2012山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率32为4，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为3,每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.求该射手恰好命中一次的概率；求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).解(1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶

7、命TOC o 1-5 h z32-中”为事件D,由题意知P(B)=4,P(C)=P(D)=3，由于A=BCD+BCD+BCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(BCD+BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)+P(BCD)3(2(2、fJ=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)-X1X14V3丿I3丿34丿X討34丿X討13V23丿34丿2X1V3丿八336,(2)根据题意，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性得P(X=0)=P(BCD)=1P(B)1P(C)1P(D)=(13(=(13(4)x(12P(X1)P(B

8、CD)P(B)P(C)P(D)|x(|x(14V23丿P(X2)P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)3434丿2仁X3Xl121+2121一X-=-3丿X39,P(X=3)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BcD)32匚=4X32匚=4X3Xl1213(+4Xl1213丿33(31221P(X=4)=P(BCD)TlgjXgXg,3221P(X=5)=P(BCD)=4X3X3=3，故X的分布列为X012345P11111136129393所以E(X)=0X36+1X112+2x9+3Xi1+4Xi1+5Xi1=42.(2011大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲

9、种保险的概率为,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为.设各车主购买保险相互独立求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.解设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买.(1)P(A)=,P(B)=,C=A+B,P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=.(2)D=C,P(D)=lP(C)=l=,XB(100,即X服从二项分布，所以期望E(X)=100X=

10、20.考点二正态分布(2015湖南，7)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(u,。2)，则P(uovXWu+o)=6,P(P2。VXW卩+2。)=4.A.2386B.2718C.3413D.4772解析由XN(0,1)知，P(1VXW1)=6,.*.P(0X1)=2x6=3,故S3.xS落在阴影部分中点的个数x估计值为10硕=1(古典概型)，x=10000X3=3413，故选C.答案C(2015山东，8)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落

11、在区间(3,6)内的概率为()(附：若随机变量E服从正态分布N(U,02),则P(yoEu+o)=%,P(U2oVEVu+2。)=%.)A.%B.%C.%D.%P(6VgV6)P(3VgV3)解析由题意，知P(3VCV6)=错误!=%.答案B(2014新课标全国I,18)从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差S2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(u,02),其中卩近似为样本平均数X,。2近似为样本方差S2.利用该

12、正态分布，求PZ；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间，的产品件数.利用(i)的结果，求E(X).附：飞阿若ZN(卩，。2)，则P(uoZu+o)=6，P(U2oZu+2o)=4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数X和样本方差S2分别为=170X+180X+190X+200X+210X+220X+230X=200，S2=(30)2X+(20)2X+(10)2X+0X+102X+202X+302X=150.(i)由知,ZN(200,150)，从而PZ=P(200Z200+=6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间，的概率为6,

13、依题意知XB(100，6),所以E(X)=100X6=.(2013湖北,0)假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P.0求p的值；0(参考数据：若XN(n,。2)，有P(uoXW卩+。)=6,P(U2。XW卩+2。)=4,P(U3oXWu+3o)=4.)某客运公司用A,B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆，若每天要以不小于p的概0率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解(1)由于随机变量X服从正态分布N(800，502)，故有卩=800,。=50,P(700XW900)=4.由正态分布的对称性，可得p=P(XW900)=P(XW800)+P(800XW900)0卜1卜1p(700XW900)2.设A型、B型车辆的数量分别为x,y辆，则相应的营运成本为1600 x+2400y.依题意，x,y还需满足：x+yW21,yWx+7,P(XW36x+60y)三p.0由(1)知，P=P(XW900),0故P(XW36x+60y)三p等价于36