数学思想和数学方法之建模思想

1、 建模思想数学建模是解决实际问题的关键，从实际问题中建立数学模型, 再通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.数学建模没有固定的模式，难于进行题型的模式化训练，是对数学综合能力最真实、最有 效的考查.阅读理解能力是数学建模的前提，必须准确把握已知信息， 分析、处理、提炼加工，建立起涉及方程、函数、不等式、数列、曲 线方程等数学模型.问题都是辩证的，反过来有些数学问题的解决也 需要找回它的原始出处和原形，为解决数学问题服务 .例1.将长度为6cm的铁丝任意分割成3段，从中任意选取一次分 害L求这3段能构成三角形三边的概率.解：此题生活背景厚重，数学味道浓.在一次分割中，若知其两段, 则第三段也可

2、知.设一次分割中其中两段分别为x, y,则另一段为6 x y.首先0 x60 0 x60 y 60 6 x y 60 y 6，而三边构成三角形0 x y 6x 3y 3，问题转化为求在条件下条件x y 3成立的概率，分别在同一坐标系内画出条件与条件的可行域，不难求得所求为L4这里条件是确保三段有意义的，而条件是确保三段能构成三角形的.例 2.若 ab 1,0 c 1 ,贝U ()(A) ac bc (B)abc bac (C)alogbC b log a c (D) log a c logb c 解：此题显然要依据各个答案找到与之匹配的函数， 通过判定相应 的函数的单调性来完成.对于答案(A)

3、,构造募函数f(x) xc,因c 0且a b 0,知 (A)错误；对于答案(B),其等价于bc1 ac1,构造募函数f(x) xc1,因 c 1 0且a b 0,知(B)错误；对于答案(D),分别构造对数函数 9)lOgax, g(x) lOgbx, 数形结合可得f(a) g(b),知(D)错误.对于答案(C)的正确性也可做如下论证，其等价于 即an亘 bnB,构造函数f(x) xlnx (x 1),求导 log a c log b c In c In c可知函数f(x)在区间1,上为增函数，得f(a) f(b),而lnc 0,故答案(C)正确.评析：这里的关键是通过等价转化，将各个答案变形为

4、对函数 单调性的判断，其中构建函数是核心. TOC o 1-5 h z 例 I 3 #简C0CnC1cn 1 c2cn 2. cn1c1cnc01/J 3. |j |0J .CnCnCnCn CnCnC n CnCn Cn.解：此题咋一看无从下手，几大数学思想试了个遍也无济于事，但 若将其与实际结合通过建模找到问题的实际背景便迎刃而解.设想从n男、n女共2n个人群中每次不分性别选取n人，显然共 有n 1种方式，0男、n女有C0C；种方式，1男、n 1女有C1C；1种方 式，n 1男、1女有C；。种方式，n男、0女有C：C；种方式，n 0 n 0 一nCnCn = C2nCnCnCnCn CnC

5、n评析：这里抓住其一般项C：Cnk的特征，注意到恒有k （n k） n,n n 2n ,是建模的关键.例4.在数列 a1, az，i. a1o, a11 中,a1 0, a11 4,an 1 an 1n 123, ,8,9,10 ,则这样的数列共有（）（A） 100 个 （B）120 个 （C）140 个 （D）160 个解：此题最容易想到的是枚举法，但操作起来就显笨拙，易丢易漏, 也不契合实际（从答案上看）.若能从题设中抽取出它的现实背景, 通过建模来解决问题就容易多了我们可以从题设条件想象，一只蚂蚁从数轴的原点出发，每次行 进1个单位，经过十步行走最终到达点 4,0 ,而7-3 4, 10 7 3, 表明在10次行走中蚂蚁共向左经走了