高考立体几何精选题库5

1、515.正三棱锥A-BCD,底面边长为a,侧棱为2a,过点B作与侧棱AC、 AD相交的截面，在这样的截面三角形中，求（1）周长的最小值；（2）周长 为最小时截面积的值，（3）用这周长最小时的截面截得的小三棱锥的体 积与三棱锥体积之比.上图1解析：（1）沿侧棱AB把正三棱锥的侧面剪开展成平面图.如图1,当周长 最小时，EF 在直线 BB，上，V AABEAB7 AF,，AE=AF, AC=AD, .B BCD, /.Z1 = Z2=Z3, .BE=BC=a,同理 B F=B D=a.V AFDBZ sAADB , .空=也，变= 2 = J_, .DF = a, AF=?a. DB AB a 2

2、a 222又AAEFsAACD, .BB =a+3a+a=Ua, .截面三角形的周长的最小44值为a. 4如图2, .ABEF等腰，取EF中点G,连BG,贝IBGJ_EF.二BG =a /.Sabef - , EF BG= - , -a -a = 2248(3) VVa-bcd-Vb-acd,而三棱锥baef,三棱锥bacd的两个高相同，所 以它们体积之比于它们的两底面积之比，即%-AEF S/XAEF _ EF2 _ 9B-CAD S 4ACD CD， 16评析把曲面上的最短路线问题利用展开图转化为平面上两点间距离 的问题，从而使问题得到解决，这是求曲面上最短路线的一种常用方法. 本题中的四

3、面体，其中任何一个面都可以做为底面，因而它可有四个底 面和与之对应的四条高，在解决有关三棱锥体积题时，需要灵活运用这 个性质.在三棱锥ABCD中， ABC和A BCD都是边长为a的正三角形， 二面角ABCD= 6 ,问6为何值时，三棱锥的全面积最大。解析： S A BAC - S A BCD - 一a?为常量，所以三棱锥全面积的大小取决于Saabd 4与Saacd的大小，由于AABDgAACD,所以只求Saacd何时面积取最大值即可。SAACD=LasinNACD,所以当NACD=90时面积最大，问题得解。 2A解 如图，取BC中点M,连AM、DM,1.A ABC和A BCD都是正三角形， N

4、AMD是二面角A-BC-D的平面角,NAMD= 6 ,又： ABDg ACD, 且当NACD = 90时，AACD和AABD面积最大，此时AD=Va,在AAMD 中，由余弦定理cosNAMD=-L3.当6 = n -arccos-三棱锥A-BCD的全面积最大。3点评 本题将求棱锥全面积的最大值，转化为求AACD面积的最大值， 间接求得6角。. 如图三棱锥 P-ABC 中，PA=a, AB=AC = 2a, NPAB= NPAC= NBAC = 60 ,求三棱锥P-ABC的体积.解法一：过点 P 作 POJ平面 ABC 于点 0, .,NPAB=NPAC=NBAC=60.AO 平分NBACcos

5、/PA0=鬻;=日-PAOfP0=asinZPA0 = a3AV=lxlx2aX2asin60 Xa=a3点评 这种方法叫直接法，就是利用锥体的体积公式直接计算，这是 种常规方法，必须掌握.解法二：取AB、AC中点M、N的连结PM、PN ; PA=a, AB=AC = 2a, NPAB = NPAC = NBAC = 60 三棱锥P-AMN为棱长为a的正四面体，且SAamn=-SAabc4* VP-AMN VP-ABC ,Vp-AMN - a3412Vp-ABC = 4Vp-AMN = a，3点评 此法是根据棱长与含有60角的三角形的关系，把徘体截成棱长 相等的三棱锥，然后根据小锥体的体积与原

6、棱锥的体积关系，求原棱锥 的体积.解法三 在APAB中，PA=a,AB = 2a 又NPAB=60 ， ：, ZAPB=90同理NAPC=90，AP_L平面 PBC又 SAPBC=Va2V p-ABC V A-PBC , 42 Si *al33518.将正方体截去一个角，求证：截面是锐角三角形.已知：正方体中截去以P为顶点的一角得截面ABC.求证： ABC是锐角三角形.证明：如图，PABC是一个四面体.PAB、APBC. APCA都是直角三角形.x2 + y2 =c2* - y2 + z2 =a2 贝(J z2=- (a2+bc2)2Z2 +x2 =b2VzO, /.a2+b2-c20即 c2

7、a2+b2, Ab2 NABC 都小于 90 .ABC为锐角三角形.519.三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别为6m；加2和3nI?,求 它的体积.解析：设三棱锥SABC的三条侧棱长分别为xm, ym, zm.则三个侧面积分 别为生、龙、至.222而 Vs-abcVa-sbc yz x X244(m ) 326.它的体积为4m3.520. 如图，在正三棱柱ABCABG中EBB“截面A】EC_L侧面AG（1）求证:BE=EB（2）若AAi=AB,求平面AEC与平面ABG所成二面角（锐角）的度数解析：欲证BE=EBi,可证AiE=EC,由截面AEC_L侧面AG,考虑到作 EG_LAC于G,关

8、键在于证出G是AC的中点，为了利用正棱柱的性质， 可取AC中点F,证FGAAi即可.证明： 在截面AFC中，作EG，A于G, .面 婕（：_1面4（：，JEG _L面AC,取AC中点F,连BF、FG,易证EBFG为平行四边形，BE= FG,又证得 FG=AA” .,.BE = 1aA1 = 1bB1,即 BE=EBi.222分别延长CE、CB交于点D,连AD,利用E是BBi的中点，可证得AC_LAd）,由三垂线定理，可证出AC_LADNCAC为所求二面角的平面角,由AA=AC,得NCA=45 .评析 本题解题思路：由证E是BBi的中点=证G是AC的中点nGFAA,要完成此过程，除具有扎实的立几

9、基本功外，尚需很好的平几修养, 确实是一个考查基础知识很全面的好题.521.已知边长为10的正 ABC的顶点A在平面a内,顶点B、C在平面a同侧，BD为AC边上的中线，B、C到平面a的距离分别是BBi = 2,CG = 4(1)求证：BBi平面ACG(2)求证:BD_L平面ACG(3)求四棱锥ABCCB的体积解析：本小题考查空间图形线、面的平行、垂直关系，考查逻辑思维 能力和运算能力.解 (1) VBBia , CCi a ,.BBiCCiBBg平面ACG, CGu平面ACG, .BBi 平面 ACG.(2)* * CG,CGu 平面ACG平面ACG，平面a平面ACG，平面a平面ACG ca

10、= AG=过D点作AG的垂线DDi,则 DD, a .DD, / BB./CCA*。是AC的中点J=DDi .DD, / BB./CCA*。是AC的中点J CCX La CCX LaBlDl u aCC, LBDi =BDlCCtn 48C是正= 80 _L 4C = BD J_ 平面 ACCi ACcCG =C(3)在 RtAABD 中，BD= Ja52-A=V=BJ)i在 RtAACG 中，AG= 。2_兀；=痫,连结 BQ,则喉跖=丫 +公防岫=；X g XAGXBDXBB.+l XIXAC. XCCiXBD.校 BCS = ； X lxVXVX2+lxlxVMX VT5X4-30V7.

11、522.已知正四棱锥的各条棱都是a.(1)求底面一边到相对侧面的距离；(2)求证：相邻两侧面所成二面角等于侧面和底面所成二面角的2倍;(3)求相对两侧面所成二面角的余弦值.(1)解： 作P0J_底面ABCD,垂足是0,取BC、AD、PB的中点F、E、M,连结 PE、PF、EF、OM、MC、MA.ADBC,，AD平面PBC, AD到平面PBC的距离就是E点到平面PBC 的距离，平面PEF,平面PEF_L平面PBC.，E点到交线PF的距离就是E点到平面PBC的距离d.Ad PF=PO EF, d 3a=a Jla，cosNEPF = 2PEPF-la2, ，cosNEPF =2PEPF2V4 43

12、在 AACM 中，/AM=MC = 3a, AD=OC,，0M 是 NAMC 的平分线，又 2AMPB, CM1PB,，NAMC 是二面角 APBC 的平面角，NOFP 是二面角PBCAD的平面角.又.,AO=PO=&, AM=PF=&, .，.Rt POFRt AAMO. 22/.ZAMC=2ZPF0, .命题成立.(3)设相对两侧面PBC、PAD的交线是1, VADBC,.AD平面PBC,，AD1, .BC_L平面PEF,，1_L平面PEF, NEPF就是所求二面角的平面角.PE，+ PF? - EF2523.直线a、b是异面直线，a_L平面a , b_L平面B , ab,求证：a13.证

13、明 过b上任意一点作直线a,使aa . ,.,a_Lb, .a b.设相交直线a、b确定一个平面7, 7GB =c. Vb P , c(= 3 , /.bc.在平面7 内，b_Lc, b_La ,1.a /c. .,.a/a /c. X*.*a a , /.ca , cu B ,8 _L a 524. 在三棱锥 SABC 中，NASB=NBSC=60 , NASC=90 ,且 SA =SB=SC,求证：平面ASC_L平面ABC.证明 取AC的中点0,连SO、B0,由已知，得A SAB、 SBC都是正三 角形.，BC=AB=a, SA = SC=a，又 SO_LAC, BOAC,，NS0B 就是

14、二面 角 SACB 的平面角.又.，SA=AB=a,SC=BC = a, AC=AC, AACS/A ACB.,.SO=BO=4. 2s在 ASOB 中，VSB=a, .,.ZS0B=90 .即平面SACL平面ABC.另证：过S作SO平面ABC,垂足是0. .SA=SB=SC, .S在平面内的 射影是 ABC的外心，同前面的证明，可知A ABC是直角三角形，.二。 在斜边AC上.又.平面SAC经过S0,，平面SACJ_平面ABC说明 证明“面面垂直”的常用方法是根据定义证明平面角是90 ,或 利用判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线.525.如图，四面体ABCD的棱BD长为2,其余各棱的长

15、均是血,求:二面角 ABDC、ABCD、BACD 的大小.A解析：（1）取BD的中点0,连AO、OC.在 ABD 中，AB=AD=&, BD=2,. A ABD是等腰直角三角形，A01BD,同理OC_LBD. ZAOC是二面角ABDC的平面角又 AO = OC=1, AC=Vi, /. ZA0C=90 .即二面角ABDC为直二面角.（2厂二面角ABC是直二面角，AOBD, I. AO_L平面BCD.A ABC在平面BCD内的射影是A BOC.,* S aocb , S aabc 回、：、COS o .223即二面角ABCD的大小是arccos . 3取AC的中点E,连BE、DE.VAB=BC,

16、 AD=DC,/.BDIAC, DE1AC,，NBED就是二面角的平面角.在ABDE中，BE = DE=在，由余弦定理，得cosa=-123二面角BACD的大小是兀arccos-. 3评析 本例提供了求二面角大小的方法：先作出二面角的平面角，再利 用其所在的三角形算出角的三角函数值，或利用面积的射影公式S=S , cos 6 求得.526.如图所示，在三棱钳;SABC中，SA，底面ABC, ABBC, DE垂 直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA=AB, SB=SC.求以BD为棱, 以BDE与BDC为面的二面角的度数.解法一：由于SB = BC,且E是SC中点，因此BE是等腰三角形S

17、BC的底边SC的中线，所以SC_LBE.又已知SC_LDE, BEADE=E,，SC_L平面 BDE,ASCIBD,又SA_L底面ABC, BD在底面ABC上，ASA1BD.而 saasc=s,所以BD_L平面SAC.，DE =平面 SAC n 平面 BDE, DC =平面 SAC G 平面 BDC,ABD IDE, BDDC.ZEDC是所求二面角的平面角.SA_L底面 ABC,ASAI AB, SA1AC.设 SA=a,贝ij AB=a, BC = SB= Va.又 ABJ_BC,所以 AC=6a.在 RtASAC 中 tgZACS = = 4-，所以NACS=30 .4。 V3又已知DEJ

18、LSC,所以NEDC=60 ,即所求的二面角等于60 .解法二：由于SB=BC,且E是SC的中点，因此BE是等腰 SBC的底边 SC 的中线，所以 SCJ_BE.又已知 SCJ_DE, BEADE=E.，SCJL平面 BDE, SCBD.由于SA J_底面ABC,且A是垂足，所以，AC是SC在平面ABC上的射影, 由三垂线定理的逆定理得BDJ_AC；又ESC, AC是SC在平面内的射影, 所以E在平面ABC内的射影在AC上，由于DAC,所以DE在平面ABC 内的射影在AC上，根据三垂线定理得BD_LDE.DEu平面 BDE, DCu平面 BDC. ZEDC是所求二面角的平面角.以下解法同解法一

19、.527. 在直三棱柱 ABCA B C中，NBAC=90 , AB=BB =1,直线B C与平面ABC成30的角.(如图所示)求点C到平面AB C的距离；(2)求二面角BB CA的余弦值.A解析：.ABCA B C 是直三棱柱，.A C AC, ACu平面AB C, ：.N C 平面AB C,于是C到平面AB C的距离等于点A， 到平面AB C的距离，作A MABZ于M.由AC_L平面AB A，得平面 AB，C_L平面 AB，Az , .,.A/ M_L平面 AB，C, A M 的长是 A到平面 AB C的距离.AB=B B = l, _LB CB=30 , .,.B/ C = 2, BC

20、= 6, AB =&, A，M A，B，xA，A AA- V即C到平面AB C的距离为也； 2(2)作 ANLBC 于 N,则 AN_L平面 B BCC,作 NQ_LB C 于 Q,则 AQLB C,，NAQN是所求二面角的平面角，AN=g =巫，AQ= ACxABC 3BC=1. .sinZAQN= = ,cosZAQN=. AQ 33说明利用异面直线上两点间的距离公式，也可以求二面角的大小，如 图，AB=BB =1, .AB,=后，又NB CB=30 ,，BC=8，B，C = 2, AC=V.作 AM_LB，C 于 M, BN_LB，C 于 N,则 AM= 1, BN=也，20ACN=。，

21、cm=i,，mn=L .BN_LB C,AM_LB C, .BN 与 AM 所成的角 22等于二面角BB cA的平面角.设为e .由AB2 = AM2+BN2+MN2-2AMXBNX cos 0 得 cos 0528.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为a的菱形，NA=60 , PCJL平面 ABCD, PC=a, E 是 PA 的中点.求证平面BDE_L平面ABCD.求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角AEBD的平面角大小.解析：设。是AC, BD的交点，连结E0.TABCD是菱形，是AC、BD的中点,1E是PA的中点,E0PC,又PC_L平面ABCD,.EO_L平面 ABCD, E

22、Ou平面 BDE,，平面 BDE_L平面 ABCD.EOPC, PCu平面 PBC,.E0平面PBC,于是点。到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作 OF_LBC 于 F,EO_L平面 ABCD, EOPC, PCu平面 PBC,，平面 PBC_L平面 ABCD,于是OF_L平面PBC, OF的长等于0到平面PBC的距离.由条件可知，OB=JOF=qx = 2a,则点E到平面PBC的距离为 2224电1 CL. 4过。作OG_LEB于G,连接AGVOEAC, BD1AC，AC_L 平面 BDE，AG_LEB （三垂线定理）ZAG0是二面角AEBD的平面角V0E=-PC=-a, 0B=&

23、 222EB a.QG = OOB =2 又 AO = a. EB 42，tanNAG0= =矩OG 3NAGO=arctan. 3评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.说明处理翻折问题，只要过不在棱上的点作棱的垂直相交的线段，就可以化成基本题 529.已知 a、b 是异面直线，au a , all B , bu B , b a ,求证 a 0 .解析：证明两个平面平行通常利用判定定理来证.A EZa /证明 如图，过a作任一平面y和平面B交于球，.aa.又 a u B , a z a.a / aa与 b 相交,Vbc B ,

24、b a . a B .另证设c是异面直线a、b的公垂线，则过a、c可以确定一个平面7,设 Y n B =a :a B , /.a/ a,Vca, .ca, 又.,cJ_b, a , b 相交，c 0同理可证：c_L a , a B530.已知：平面a 平面B,且aua, bu平面B, a, b为两条异面直 线.求证：异面直线a、b间的距离等于平面a, 8之间的距离.证：设AB是异面直线a、b的公垂线段，如图过点B,作直线a,使a/a.a B , au B ,：.a/ 3, .a/ u B.VABa, .,.ABa/又 AB_Lb,且 a Gb = B./.ABI B: a B , .AB aA

25、AB的长是平行平面a , B间的距离.说明求两异面直线间的距离有时可能转化为求两平行平面间的距离.531.如果一条直线和两个平面中的一个相交，那么它和另一个平面也相交.已知：a B , 1 G a =A.求证：1与B相交.证明：a B , 1 n a =A 假设1与B不相交，则1 B 在平面B内任取一点D,则Ml.点D、1确定平面PBD,如图a与平面PBD相交于过A的一条直线AC,B与平面PBD相交于过点D的一条直线BD.又a B .AC与BD无公共点.VAC和BD都在平面PBD内，ACBD.由1 B可知1BD.，AC1且1与AC相交于A.AC与1重合，又AC在平面a内.在a内与1G a =A

26、矛盾.假设不成立，.与B必相交.532.如图，正四棱锥SABCD的底面边长为a,侧棱长为2a,点P、Q 分别在BD和SC上，并且BP：PD=1：2, PQ平面SAD,求线段PQ的 长.解析：要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后 通过解三角形的办法去处理.作 PMAD 交 CD 于 M 连 QM,PM平面 SAD, PQ平面 SAD.平面PQM平面SAD,而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM, SD.AQM/7SD.MP _ PD _ .MP _ PD _ 2 -BC BD 3MP = 2a,3MQ - MC _ BP SD CD BD 3 *.MQ=lSD=-a,又NP

27、MQ=NADS. 331-a icos ZPMQ = cosZADS = 2-= -.2a 4在APMQ中由余弦定理得PQ2=（押2+学）”枭.2/浮 ,PQ/ 评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线 段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.533.已知：如图，aB,异面直线AB、CD和平面a、B分别交于A、B、C、D 四点，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：（1）E、F、G、H 共面；(2)面 EFGH 平面 a.证明 (1) VE H分别是AB、DA的中点，EH工BD.同理FG：BD. =2- 2，FG幺EH. .四边形EFGH是平行

28、四边形，即E、F、H、G共面.(2)平面ABD和平面a有一个公共点A,设两平面交于过点A的直线AD，aB,AD BD.又BDaEH, EH/BD/ADz . .EH/7平面a, EH 平面8,同理FG 平面a, FG 平面B.,平面EFHG平面a 平面B.点A为异面直线a、b外一点，过A与a、b都平行的平面()A.只有一个B.只有两个C.至多有一个D.有无数个解析：本题考查线线位置关系，线面位置关系，平面基本性质，以及空 间想象能力解法一：过点A作a a,b b,根据公理3, a与b确定一个平 面为a ,则异面直线a与b至多有一条在a内，当a、b都不在a内时, 过A与a、b都平行的平面恰有一个

29、，即a ；当a、b中有一条在a内时, 过A与a、b都平行的平面不存在，故选C.解法二：过异面直线a、b分别作平面a、B使aB,若点A在a或 8上，则过A与a、b都平行的平面不存在；若点A在a外且在8上, 则过A恰有一个平面平行于a、B ,则过点A与a、b都平行的平面恰 有一个.有四个命题(1)一条直线和另一条直线平行，它就和经过另一条直线的任何平面平 行一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行(3)平行于同一平面的两条直线平行(4)如果直线a平面a , au平面B,且aHB=b,则壮 其中假命题共有()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个解析：此题考查线线位置关系和线面位置关

30、系，以及空间想象能力.一 条直线和另一条直线平行，它可能在经过另一条直线的平面内，故(D 是假命题.一条直线和另一个平面平行，它与这个平面的直线可能平行, 也可能异面，故(2)也是假命题，又平行于同一平面的两条直线，也可 能平行，也可能异面或相交，故(3)也是假命题，而命题(4)是真命题， 也是线面平行的性质定理.故选Co536. 已知直线a、b、c,平面a G平面8 =a, bu a , cu B ,且b与c 无公共点，则b与c不平行的充要条件是()A. b、c都与a相交B. b、c中只有一条与a相交C. b、c中至多一条与a相交D. b c中至少有一条与a相交 解析：本题考查直线与直线的位

31、置关系，直线与平面的位置关系，充要 条件，以及空间想象能力和等价转化能力.解法一：若直线b与c不平行，又由b与c无公共点，则b与c必定异 面，根据异面直线的定义和线面位置关系可知或者b与c都与a相交， 或者b、c中有一条与a相交，另一条与a平行，即b、c中至少有一条 与a相交，即D成立；反之，当D成立时，不难证明b与c必不平行， 所以应选D.解法二：由题设及异面直线的定义可知，若b、c都与a相交能推出b 与c异面，即b与c不平行；反过来，b与c不平行不一定推出b、c 都与a相交，即A是充分非必要条件，而不是充要条件，同理，B也是 充分非必要条件，而非充要条件，又由b、c中至多有一条与a相交，

32、包含b、c中有一条与a相交和b、c都不与a相交两种情形，而对于后 者，即则bc.故c既非充分又非必要条件，综上所述, 排除A、B、C三个选择项，从而选择D.537.已知 A, BE平面 a, C, DW 平面 B, aB, AB=13, BD=15, AC、BD在平面a上的射影长之和是14,求AC、BD在平面a上的射影长, 以及平面a、B的距离.解 如图，设a、B的距离是h,则AC在a内的射影长是加07 , BD 在a内的射影长是后牙.根据题意，V132-/i2 + 7152-/2 =14.解这个方程，h=12.J132-力2 =5, 7152 -/i2 =9.故AC、BD在平面a上的射影长分

33、别是5和9,平面a、B的距离是12. 点评平行平面间距离通常转化为点面距离或线面距离最终转化为点 面距离.538.如图，已知线段PQ、PD、QF分别和平行平面a、B交于A、B、C、 D、E、F,若 AP=BQ,求证：SAACF=sABDE.解析： 由已知得 ACBD, EBAF, NCAF=NEBD,又 AC：BD=PA：PB =QB : QA=EB : AF, .AC AF sinNCAF=BE BD sinZDBE. .Saacf =SABDE.539.如图，在三棱锥SABC中，A, B- G分别是ASBC、ASCA、ASAB的重心，(1)求证：平面ABG平面ABC； (2)求三棱锥SAB

34、G与SABC体积之比.解析：本题显然应由三角形重心的性质，结合成比例线段的关系推导出 “线线平行”再到“线面平行”到“面面平行”，至于体积的比的计算 只要能求出相似三角形面积的比和对应高的比就可以了.证：(1)： Ai、Bi、。是 A SBC、ASCA、 SAB 的重心，连 SAi、SCi 并延长交BC、AB于N、M,则N、M必是BC和AB的中点.连MN._ SA, _ 2 , SM SN.ACMN.MNu平面 ABC,平面 ABC.同理可证 AB平面ABC.平面ABG 平面ABC.(2)由(1)皿=2, MN2AC, MN 3=2.A1AC. =3同理可证:AB工AB, :=3BCBC.=3

35、AAiBiCiAABC,设三棱锥sABC的高为h, sABC的高为hl则有：4=%=2,匕 h SN 32 i= -h.3 TOC o 1-5 h z 12.-st向q _ 33_ _.S-ABCI.I5.h273QABC 评析：要掌握线面平行的相互转化的思想方法外，还要有扎实的相似形 和线段成比例的基础.540.如图，已知正方体ABCDABCD,求证：（1）平面ABD平面GBD； （2）对角线A.C被平面ABD和平面C.BD三等分.解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条 相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面ABD平面 GBD的，但兼顾考虑的论证，（1）我

36、们还是采用“两平面垂直于同一 直线则两平面平行”的判定的方法.证：（1）连AC, BDLAC, AC是AC在底面上的射影，由三条垂线定理 得AC_LBD,同理可证AC_LBG.A_L平面C.BD,同理也能证得A_L平面ABD.二平面ABD 平面C.BD.设A到平面AB.D,的距离为h,正方体的棱长为a,则有：上学（板a）234=g. =bb nb / Byet a =bIaa, b 异面(=a Bbb =a,b相交a,b，C ajj如图，直线AC、DF被三个平行平面a、。、/所截.求证：证：（i）当AC, DF共面S时,连 AD, BE, CF 则 ADBECF从而丝=匹 BC EF(ii)当

37、AC、DE异面时,连CD设CDAB=G连 AD、BG、GE、CF,如图a B ,平面 ACDA B =BG,平面 ACDA a =AD. HYPERLINK file:/.BG/7AD /.BG/7AD.AB _ DG -BC GC同理可证：EGCF, .空=变 GC EF.AB _ DE .-BC EF综合(i)(ii)知：丝=匹BC EF546.设直线a在平面a内，则“平面a 平面8 ”是“直线a平面8”的（）条件 解析：若a B , ,.，au a ,，a与B无公共点，.，1 B .A.充分但不必要A.充分但不必要C.充分且必要B.必耍但不充分D.不充分也不必要若26, aua,则a,

38、B的关系不能确定，所以应选A.547.设a、b是两条异面直线，那么下列四个命题中的假命题是（）A.经过直线a有且只有一个平面平行于直线bB.经过直线a有且只有一个平面垂直于直线bC.存在分别经过直线a和b的两个互相平行的平面D.存在分别经过直线a和b的两个互相垂直的平面解析：A、C、D均为真命题，B为假命题；二若过a的平面a _Lb,则b 垂直a内的直线a,从而a，b,那么限制a, b必须垂直，而条件中没有 指明a、b是否垂直.548. a和B是两个不重合的平面，在下列条件中可以判定平面a 8 的是（）a、B都垂直于平面7a内不共线的三点到8的距离相等1、m是a内的直线，且1B, mBD.l、

39、m是两条异面直线，且1 a , 1 B , m a , m B解析：显然B、C不能推出。0,有a、B相交的情况存在，对于A、 D,学了 “面面垂直”后，就可以说明A不能推出& B, a、B有相 交的可能，从而选D.事实上，la, ma,在a内任取一点A,过A作1 #1, m, m,因为l,m异面，所以1 ,m相交，则可推出1 B, m B .由面 面平行的判定定理可推出a B .549.已知矩形ABCD,过A作SA_L平面AC,再过A作AE1SB交SB于E, 过E作EF_LSC交SC于F(1)求证:AFSC若平面AEF交SD于G,求证：AG1SD解析：如图，欲证AF_LSC,只需证SC垂直于A

40、F所在平面，即SC_L平面AEF,由已知，欲证SC_L平面AEF,只需证AE垂直于SC所在平面，即AE_L平面ABC,再由已知只需证AE1BC, 而要证AE_LBC,只需证BC_L平面SAB,而这可由已知得证 证明 平面AC, BCu平面AC, .SABC.矩形 ABCD,，AB_LBC，BC_L平面 SAB，BC_LAE 又 SB_LAE，AE_L 平面 SBC，SC_L平面 AEF AAF1SC(2)SA，平面 AC ，SA_LDC,又 AD_LDC ，DC_L平面 SAD .DC AG 又由有SC_L平面AEF, AGu平面AEF.SC!AGAG ,平面 SDC /. AG SD.三棱柱

41、ABCABG的侧面三条对角线AB1、BG、CAi 中,ABBG.求证:ABilCAi.证 方法1如图，延长BC到D,使GD=BC.连CD、AJ).因ABBG,故 AB.1CD；又 BC=AC=GD,故NBAD=90 ,于是 DA平面 AA,B,B.故AB平面ACD,因此ABAC方法2如图，取AB、AB的中点口、P.连CP、CD、AR D,B,易证CD _L平面AA,B,B.由三垂线定理可得AB-BD”从而AB.1A.D.再由三垂线定 理的逆定理即得ABAC说明证明本题的关键是作辅助面利辅助线，证明线面垂直常采用下列 方法：(1)利用线面垂直的定义；(2)证明直线垂直于平面内的两条相交直线；(3

42、)证明直线平行于平面的垂线；(4)证明直线垂直于与这平面平行的另 一平面.已知：正三棱柱 ABCA B C 中，AB _LBC，BC=2,求：线段AB在侧面8BCC上的射影长.解析：如图，取BC的中点D.AD_LBC,侧面BCC_L底面ABC, .AD_L侧面bcc方是斜线AB在侧面的射影.又VAB/ _LBC , .,.夕o_LBC.设 BB =x,在 Rt A 9 8。中，BE ： BD= BB, BD =J + x2 .是 ABB C 的重心.BE=LbC =， + / 33.X = -yl + x242 +4 ,解得：X=丘.，线段AB，在侧面的射影长为VL. AABC在平面a内的射影

43、是AA B，C,它们的面积分别是S、S，若AABC所在平面与平面a所成二面角的大小为0 （0 9 pa2 + PC2 = 72 + (V3a)2 =2a(1) VPC1PA, PC_LPB, ,PC_L平面 PAB,ABC在平面PBC上的射影是BP.ZCBP是CB与平面PAB所成的角V ZPBC=60 ,BC与平面PBA的角为60。.(2)由上知，PA=PB = a,AC=BC=2a.为 AB 的中点，则 AB_LPM, ABCM.，AB_L 平面 PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解 题捷径.557. 在空间四边形 ABCP 中，PAPC, PBBC, AC

44、1BC. PA. PB 与平面 ABC所成角分别为30和45。（1）直线PC与AB能否垂直?证明你的结 论；（2）若点P到平面ABC的距离为h,求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面 角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.P解 AB与PC不能垂直，证明如下：假设PCJLAB,作PHJL平面ABC 于H,则HC是PC在平面ABC的射影，.HC_LAB, VPA PB在平面ABC 的射影分别为 HB、HA, PBBC, PA_LPC./. BHBC, AHACVACBC,;平行四边形ACBH为矩形.VHC1AB,.ACBH 为正方形.HB=

45、HAPH_L平面 ACBH. A PHB A PHA.，NPBH=NPAH,且PB, PA与平面ABC所成角分别为NPBH, NPAH.由 已知NPBH=45。，NPAH=30 ,与NPBH= NPAH 矛盾./. PC不垂直于AB.（2）由已知有 PH=h, NPBH=45.BH=PH = h. V ZPAH = 30 , .*.HA=V3h.矩形 ACBH 中，AB = y1bh2+ha2 = -Jh2+（43h）2 = 2h.作HEJLAB于E, .亚=也空=小级=11.AB 2h 2.PHJL平面 ACBH, HEAB,由三垂线定理有PE_LAB,.PE是点P到AB的距离.在 RtAP

46、HE 中，PE=yIph2 + he2 =Jh2+（/i）2 = h.V 22即点P到AB距离为h.2评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然 后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论（反证法），导不 出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题（1）属于 反证法.558.如图，在棱长为a的正方体AG中，M是CG的中点，点E在AD 上，且AEqAD, F在AB上，且AF=；AB,求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于0点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为0点到面MEF的距离，面乂，面MEF,而MR是交线，所以作

47、OH_LMR,即OH_L面MEF, 0H即为所求.VOH MR = OR MC, 二OH*.解法二：考察三棱锥BMEF,由Vb mef=Vwbef可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法: 利用垂直面;转化为线面距离再用垂直面;当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.559. 正方体ABCDABCD的棱长为a,求AC和平面ABC间的距离.解法1如图所示，A平面ABC,又平面BBiDD平面ABC故若过。作OE_LOBi于E,则0E平面ABC OF为所求的距离由 0E 0Bi=0B 00i,可得：。E=叵 3解法2：转化为求3到平面ABC的距离，也就是求三棱锥GABC的高 h. 由 VC_A

48、BC = V A_BCCi,可得 h =彳 a.解法3因平面AB平面GDAi,它们间的距离即为所求，连B,分 别交BQ、DOi与F、G （图中未画出）。易证BD垂直于上述两个平面，故 FG长即为所求，易求得FG =叵.3点评（1）求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方 法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从 本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.560.在AABC中，M、N分别是AB、AC上的点，4=则=工.沿MN把 MB NC 2AAMN至IJAA，MN的位置，二面角A MNB为60。，求证：平面AMN_L平面 A BC.解析：作 AD_LBC

49、于 D,设 ADGMN=P, NA PD=60 ,可证 A P_L平 面 A BC.561.四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1 ： 1 ： 1 ： 3,则平面M 的个数应有多少个？解 这样的平面应分4种情况讨论：（1）4个顶点都在平面M的同侧，则有CJ1 = 4个（平面）；（2）距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C：1 = 4个（平面）； （3）距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C3, - C? 1 =12个（平面）(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C32 - C? 1=12个(平面)；，一共应有4+4+12+12 = 32个(平面).斜四棱柱侧面

50、最多可有几个面是矩形A、0个B、1个C、2个D、3个解析：Co只能相对的侧面均为矩形.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有A、1个B、2个C、3个D、4个解析：Do如图，ABCD为矩形，PAJ_平面ABCD,则PABCD的四个侧 面均为直角三角形.正四棱柱的一个侧面面积为S,则它的对角面面积是 o解析：V2S设正棱柱底面边长为a,高为h,则ah=S,对角面面积为拒ah = V2S.正n棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为 o解析：xl80。底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角 n的平面角，正n边形内角度数为匕xi80。 n.正六棱柱的高为5cm,最长对角线为13cm,它的侧面积是解

51、析：180cm2设正六棱柱底面边长为a,高为h,则h2+(2a)2=132, h=5, a=6,.侧面积=6ah=180. 一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是0 ,底面积Q,则它的侧面 积是。解析：Qsec。正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影 定理.正四棱柱ABCEABCD中，A与对角面ABCD所成角为30,求证：此四棱柱为正方体。解析： ABJL平面B平面ABCD_L平面BC”交线为B在平面B内作B0_LBC, 0为垂足，连AQ 贝|JBO_L 平面 ABCDZBA.0为BA,与平面ABCD所成的角/. ZBA10=30设正四棱柱底面边长为a,高为h贝吁bbbc ahB|C 7a

52、2 +h 2,/ sinNBAQ二坨A.Ba2+h2=2ah/. a=h.正四棱柱ABCDABCD为正方体569.四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是菱形，A.B=A.D,求证:(1)对角面AACC_L截面ABD； (2)对角面DiDBB1是矩形解析:(1) TABCD是菱形，.BDJ_AC 设 BDGAC=0,又 AD=AiD, ，BDA,0 AQAAC=0，BD_L 平面 AACC/.平面AiBD_L对角面AAC由(1), BD_L平面 AC BDAAi又DD】AAi BDlDDj570.正四棱锥棱长均为a, (1)求侧面与底面所成角a ； (2)若相邻两 侧面所成角为8 ，求证：B =

53、2 a。解析：如图，正四棱锥SABCD, SO、SF分别为高、斜高，NSF0为二 面角SAB0平面角，ZSF0= a ,在aSBC中，作BE_LSC, E为垂足, 连DEABCEADCE DESCNBED= BZBED为侧面BSCD平面角,NBED= B(1 ) OF = -, BF=- 22. SF = VSB2 -BF2 = a, SO = VsF2 - OF2 2SF. so nSFsm a =a = arcsin(2)连EO TOC o 1-5 h z .* BE = a, OB = a 22.B OB V6 sin - = = 2 OE 3, a,底(0, g) 22由 sin B

54、= sin a 得：=a 22B =2 a571.正三棱锥的侧棱等于10cm,侧面积等于144cm2,求棱锥的底面边长和斜高。解析：设底面边长为a,斜高为h，h12+(-)2 =102则12-x3axh=12212E2 或b=16h = 8h = 6572.斜三棱柱 ABCABC 的底面ABC 中，AB=AC=10, BC=12, A1至ijA、 B、C三点的距离都相等，且AA1=13,求斜三棱柱的侧面积。解析：VA1A=A1B=A1C.点A在平面ABC上的射影为aABC的外心，在NBAC平分线AD上AB=ACADBC点EEAD为AiA在平面ABC上的射影BClAAiBCJLBBiBBCC 为

55、矩形，S=BB|XBC=156取AB中点E,连AiEA1A=A1BAiE_LABA|E = JaaJ-(争=12* , SAAC(C =SAABB =20S 侧=396573.四棱锥VABCD底面是边长为4的菱形，NBAD=120, VA_L底面 ABCD, VA=3, AC与BD交于0, (1)求点V到CD的距离；(2)求点V到 BD的距离；(3)作0F_LVC,垂足为F,证明0F是BD与VC的公垂线段;(4)求异面直线BD与VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面ABCD内作AE_LCD, E为垂足VAJ_ 平面 ABCDAE为VE在平面ABCD上的射影 VECD.线段VE长为

56、点V到直线CD的距离,/ NBAD=120/. ZADC=60ZACD为正三角形E 为 CD 中点，AE=3x4 = 2百 2VE= VvA2 + AE2 = V2T(2) AOBD由三垂线定理VO_LBDV0长度为V到直线BD距离V0= VvA2 + AO2 = V13(3)只需证 OF_LBDBDHC, BD1VA，BDJL 平面 VACBDOFa 0 c/. OF为异面直线BD与VC的公垂线(4)求出OF长度即可在RtAVAC中OC=1AC=2, VC=7va2 + ac2=52?. OF=OC sinZACF=OC ” =2、3 =色 VC 5 5.空间四边形DABC中，P、Q为边CD

57、上两个不同的点，M、N为AB 上两个不同的点，连PM、QN,如图，问图中共有多少对异面直线？ 解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象， 可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边 DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD,这六条线段可形成三对 异面直线DA与BC, AB与CD, AC与BD。其次添加线段PM,则除去与PM相交的CD、AB,又可新形成4 a 对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BDo 因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。 最后注意到，PM与QN也是异面直线。图中共有3+4+4+1=12 (对)异面直线.长方体ABCDABCD

58、中，AB=a, BC=b, AA尸c,求异面直线B和 BC所成角的余弦值。解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BDi和 BC所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一 个与已知长方体相同的长方体DCEFDCEE。具体作法是：延长AD, 使 AD=DE,延长 B.C.至 Ei,使 BC=CE,连 EE,分别过 E1、K,作 E.EC.C, FF幺DD 连EF,则长方体CDFECDFE为所作长方体。BC&DEBDCFi，NBCFi就是异面直线BD与BC所成的角。BD2=a2+b2RSBDDi 中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2CFi2=BD!2=a

59、2+b2+c2B,C2=b2+c2, B,F,2=a+4b2/. BCFi 中cB*吗薪萼ccB*吗薪萼c2 -b2Va2 +b2 +c2 - Vb2 +c2(1)当 cb 时，cosNBCFPO/. NBCFi为锐角，NBCFi就是异面直线B和BC所成的角(2)当 cb 时，cos/BCFWONBCFi是钝角/. n-NBCR就是异面直线BDi和B所成的角 (3)当 c=b 时，NBFi=90BDBC法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的Dc目的。如图，分别取BC、BBl、BD的中点P、M、Q,彳连PM、 TOC o 1-5 h

60、 z MQa PQ；一则 MP/B.C, MQ/7BD1 NPMQ (或其补角)就是异面直线BD与SC所成的角 PMQ 中，MP=lB1C=lVb?77 22b2 +c2 , PQ=Jc2+1利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果 576.M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点,求证：MN1 (AD+BC)。2证明：取AC中点P,则MPdBC, np=1ad 22. MN=1, M、N 分别是 AD 和 BC中点，求异面直线MN和BG所成角的大小解析：VMN/7AC, ACA，G, .,.MN/7A,C, A NBCA就是MN与BG所成的角 BAC 中，BC=忘，BA=AC=B. co