高中数学选修4-4全套同步习题(含答案)

1、匠心文档，专属精品匠心文档，专属精品匠心教育文档系列匠心教育文档系列 .1.1参数方程的概念狙习梳理.参数方程的定义.一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任一点P的坐标x和y都可以表示为某个、口 ，一一一一 ,，一，、一一、 x=f (t), TOC o 1-5 h z 变量t的函数：;反过来，对于t的每个允许值，由函数式所y=g (t)、/ x = f (t ),、确定的点Rx, y),那么方程叫作曲线C的,变y = g(t)量t是参变数，简称参数.相对于参数方程而言， 直接给出 的方程叫做普通方程，参数方程可以转化为普通方程.关于参数的说明.参数方程中参数可以有物理意义、几何意义，也可

2、以没有明显意义.曲线的参数方程可通过消去参数而得到普通方程；若知道变数x、y中的一个与参数,一_、土、一 一，一 L L , x=f (t),t的关系，可把它代入普通方程，求另一变数与参数t的关系，则所得的就是y=g (t)参数方程.?预习思考以下表示x轴的参数方程的是()x= t + 1,x= t + 1,（t为参数）y = 0 x = 0（t为参数）y = 3t + 1x= 1 + sin 0 ,x = 4t + 1,C.（0为参数）D.（t为参数）y=0y=0预习梳理x=f (t),上，、，、 一1.都在曲线C上 参数方程点的坐标间关系y=g (t)预习思考D回园亘1.当参数0变化时，由

3、点 R2cos e, 3sin 0)所确定的曲线过点()A. (2 , 3)B. (1 , 5)一兀 C. 0, 2 D . (2, 0). D2x= 2 + sin 8 , ，一 ,斗、一.将参数方程2(0为参数)化为普通方程是()y=sin 0y = x 2y = x+ 2y = x-2(2 x3)y = x + 2(0 y1).Cx = sin 2 8 ，.在方程(e为参数)所表示的曲线上其中一个点的坐标是()y=cos 2 02A. (2, 7) B.- 3 3-1 1C. 2, 2 D . (1 , 1).Dx= 1 +2cos 0 , TOC o 1-5 h z .将参数方程(0为

4、参数)化为普通方程是 .y=2sin0(x 1)2+ y2= 45.曲线x1+cos ( e为参数)经过点3, a ,则a=.y=2sin 02土 R3回囱亘6.若一直线的参数方程为1 6.若一直线的参数方程为1 x=x0+2t ,二y=y0 21（t为参数），则此直线的倾斜角为A. 60 B . 120 C , 30 D , 150B一一 2 1,、x = cos 8，一参数万程2（ e为参数）表木的曲线是（）y = sin 9A.直线B .圆C .线段D .射线C1X = 2 - 2t 58. （2015 湛江市高三（上）调考）直线（t为参数）被圆x2 + y2=4截得的弦1y = - 1

5、 +2t长为.8.命题立意：本题主要考查了直线的参数方程，以及直线和圆的方程的应用，考查计算能力，属于基础题.一 1x=2-2t ,解析：二.直线（t为参数），1y=-1+2t，直线的普通方程为 x + y- 1 = 0,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为弦长=2；4 . = J14.答案：149. （2015 惠州市高三第一次调研考试）已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程,x=#+ 3cos 9 , 一一，一 一，一，八一，、一一.为：（0为参数），以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标万程为：y=1+3sin 0p cos e+6 =0,则圆c截直线所彳导弦长为 . , 一 x =

6、3+ 3cos 81, 厂 ,一,.解析：圆C（ e为参数）表木的曲线是以点（3,1）为圆心，以3为y=1+3sin 0半径的圆，将直线 P cos e +-6 =0的方程化为-j3x-y=0,圆心（弓，1）到直线3x y=0的距离d =1=0的距离d =11|V (3) +12=1,故圆C截直线所得弦长为2 32- 12=4 2.答案：4 2,2,_,、， x=t， ,一一.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是 .y= 2t(1 , 0)日回因臼11.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极,2.一、， x = t , 、_, 一坐标万程为 P cos e =4

7、的直线与曲线 3 (t为参数)相交于 A, B两点，则| AB =y=t16，、一I, x=t,，,，一，一一一，一 ,，12.设曲线C的参数方程为2 (t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的y=t正半轴为极轴建立即坐标系，则曲线C的极坐标方程为 .p cos2 0 sin 0=0一 _ x= 2cos 3 , 一，、已知动点P, Q都在曲线C( B为参数)上，对应参数分别为B =y=2sin a与B=2a(0V ”2兀)，M为PQ的中点.(1)求M的轨迹的参数方程；(2)将M到坐标原点的距离 d表示为a的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.解析：(1)依题意有 P(2cos a, 2

8、sin a), C(2cos 2 a, 2sin 2 a),因此 Mcos a + cos 2a, sin a + sin 2 a ). x= cos a + cos 2a, M的轨迹的参数万程为(a为参数，0 V a V 2兀).y = sin a + sin 2 aM点到坐标原点的距离d= x2+ y2=也 + 2cosa (0 0, e可取任意 实数.2,直角坐标与极坐标的互化.P（鸟以直角坐标系的 O为极点，x轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度，平I, 一 .一一一 ，一一一 .ti,、，一i,X = ，、面内的任一点 P的直角坐标和极坐标分别为 （x, y）和（p , 8

9、 ）,则或y=2 p =,tan 0 = （xw0）.砌习思考写出下图中各点的极坐标：A, B, C.兀2.A, B, C.兀2.已知点M的极坐标为5,可，则它化成直角坐标为 3预习梳理一个长度单位一个角度单位及其正方向p cos 0 p sin 0 x2 + y2 yx预习思考一一 兀一 兀1. (4, 0)2，了3，5竽极径极角 （p , 8） M P , 8）口回囤亘.极坐标系中，和点11 71兀3,言表示同一点的是2.极坐标系中，与点兀2.极坐标系中，与点3,-不 关于极轴所在直线对称的点的极坐标是3兀3,33.在极坐标中，若等边 ABC勺两个顶点是 A2,宁、B2, 5:，那么顶点C

10、的坐标可能是5.解析：由于 x= p cos 0 =2014cos1007 ,5.解析：由于 x= p cos 0 =2014cos1007 ,L 7L 兀4.在极坐标系中，已知 M陋，4兀,M2y2,则|MM|=.2以极点为原点，极轴的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，则极坐标5兀 M2 014 ,-表布的点在第 象限.y= p sin0 =2014sin5兀y= p sin0 =2014sin5兀-=- 10073,故点(1007 , 10073)在第四象限.答案：四兀，则线段AB中点的极坐标为已知A、B两点极坐标为 A4, f,B6,，则线段AB中点的极坐标为1,一兀兀7在极坐标系中，

11、已知A2 3，B 4,9,贝必AOB勺面积S=2一，.，一. . 一 一一，.，一_ 兀 一、一极坐标系中，点 A的极坐标是3, 6 (规定P0, e C0, 2兀)，则:(1)点A关于极轴对称的点的极坐标是 (2)点A关于极点对称的点的极坐标是 . .,TT(3)点A关于直线e =5的对称点的极坐标是 (1) 3, W (2) 3,，(3) 3,法(p 0, 00, 0 e0, 0 e 0),当线段AB最短时，点 B的极坐标为 . 1, 116L+2k7t (kez)13.以直角坐标系 Oxy的坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(p ,0)(0 00)半径为a的圆的极坐标方程为

12、.(2)圆心在极点，半径为 r的圆的极坐标的方程为 .直线的极坐标方程.兀(1)直线l经过极点，从极轴到直线l的角为彳,则直线l的极坐标方程为 (2)过点A(a, 0)( a 0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为 .(3)直线l过点R pl, e 1)且与极轴所成的角为a ,则直线l的极坐标方程为.极坐标方程分别为p = cos 8和p = sin 9的两个圆的圆心距是 .2.22 , . ,、 一兀.极坐标万程 P = cos e所表布的曲线是圆 ，.一，兀 .一、一（2014 湛江局考倜研）极坐标系内，点1, 到直线 p cos 0=2的距离是4.命题立意：本题考查极坐标与直角坐标的转化

13、，难度较小.兀解析：点1,万 的直角坐标为（0,1）,直线p cos 8 =2的直角坐标方程为 x=2,故 点（0 , 1）到直线x=2的距离是d=2.答案：2 兀.,一（2014 揭阳二模）在极坐标系中，过点 A 4, 一2引圆p = 4sin 8的一条切线， 则切线长.口回回回.命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互相转化，难度中等.解析：先将圆的极坐标方程转化为普通方程，将点的极坐标转化为直角坐标， 再利用解直角三角形求其切线长.圆的普通方程为 x2+（y2）2=4,点A的直角坐标为（0, 4）,点 A与圆心的距离为| 42| =6,所以切线长为-62 22 = 4答案：4 2兀

14、.过点P2, W且平行于极轴的直线的极坐标方程是 .3P sin e=43（2014 湛江二模拟）极坐标系中，圆O p2+2pcos 03=0的圆心到直线 p cos 0 + p sin 0 -7 = 0 的距离是.命题立意：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，点到直线的距离，难度中 等.解析：先将圆与直线的极坐标方程转化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式求距离大小.圆的直角坐标方程为（x+ 1）2+y2=4,圆心为（一1, 0）,直线的直角坐标方程为x+ y-7=0,所以圆心到直线的距离为| 一庠7| =42.答案：4 2兀(2014 汕头质量检测)如图所示的极坐标系中，以M4,为圆

15、心，半径r= 1的圆M的极坐标方程是.题立意：本题考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程间的转化，难度中等.解析：依题意，题中的圆M的圆心的直角坐标是(2小,2),因此圆M的直角坐标方程是(x 23)2+(y2)2=1,即 x2+y2-43x-4y+15= 0,相应的极坐标方程是p 2- 4，, 32兀p cos 0 4 p sin 8+15 = 0,即 p8P cos 0 +15=0.，“一2 一八兀一答案：p - 8 P cos 8 + 15=0. (2014 佛山一模)在极坐标系中，设曲线 C: p cos 0=1与C2: p=4cos 0的交 点分别为A, B,则|AB|=.命题立意：本题

16、考查曲线的直角坐标方程与极坐标方程的转化，难度中等.解析：依题意，两条曲线相应的直角坐标方程分别是 x= 1与x2+y2= 4x,而圆x2+y2 = 4x的圆心坐标是 C2(2 , 0)、半径是2,圆心C(2 , 0)到直线x= 1的距离为1,因此| AB = 222-12 =2,3.答案：2 3.在极坐标系中，直线l: P cos e =t(常数t 0)与曲线C: P=2sin 0相切，则 t =. 111.在极坐标系中，已知直线l ： p (sin 0 cos 8)=a把曲线C： p=2cos 8所围成的区域分成面积相等的两部分，则常数 a的值是. - 1. (2014 深圳第二次调研)在

17、极坐标系中，A, B分别是直线3 p cos 04 P sin 0 + 5=0和圆p = 2cos 8上的动点，则 A, B两点之间距离的最小值是 .命题立意：本题考查直线与圆的极坐标方程、点到直线的距离，难度中等.2解析：由题意，得直线的平面直角坐标万程为3x 4y+5=0,圆的普通万程为（x1）+ y2=i,则圆心（1 , 0）到直线的距离d=i32Hz0L =8,所以A, B两点之间距离的 3+45最小值为d-r = 8-1=3.553答案：35口回国巴,r ,兀兀. （2014 陕西高考文科T15）在极坐标系中，点2,万 到直线p sin 8 一百=1的距离是.解题提示：把直线的极坐标

18、方程化为直角坐标方程，把点的极坐标化为直角坐标， 从而求得此点到直线的距离.解析：由于直线的极坐标方程是p sin 8 6 = 1,化为直角坐标方程为 x 3y+2=0,点2,套的直角坐标为（81）.故该点到直线的距离 d = 回坦1+ 2= 1. /1 + 3答案：1. （2014 上海高考理科 T7）已知曲线 C的极坐标方程为p（3cos 0 4sin 0）=1,则C与极轴的交点到极点的距离是 .解题提示：首先将极坐标方程化为直角坐标方程为3x-4y=1,则C与极轴的交点即为直线，与x轴的交点，即得结论.解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为3x-4y=1,则C与极轴的交点即为直线与x轴的交

19、点1, 0 ,极点即为原点，故距离为 1. 33J 1答案：: 3（2014 广东高考文科T14）在极坐标系中，曲线G与G的方程分别为2P cos20 =sin 8与p cos 0=1,以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，则曲线C与。交点的直角坐标为 .解析：2 p cos2 0 = sin 8 即 2P 2cos2 0 = p sin 0 ,2贝U2x=y, p cos 8=1 即 x=1.联合解得，x=1, y= 2.曲线G与G交点的直角坐标为(1 , 2).答案：(1 , 2)误区警示：曲线C的方程化为直角方程看不出思路，可通过等式变形找关系. (2014

20、 天津高考理科T13)在以O为极点的极坐标系中，圆 p =4sin 0和直线psin 0 = a相交于A, B两点.若 AO泥等边三角形，则 风的值为.解析：圆的普通方程为 x2 + (y 2)2=4,直线为y= a .因为 AOB等边三角形， a所以其中一个交点坐标为平，”，代入圆的方程可得a = 3.答案：3. 26. (2015 韶关市高三模拟考试 )在极坐标中，已知直线l方程为p (cos 0 +sin 0 ) 兀=1,点Q的坐标为2,则点Q到l的距离d为. (2015 全国卷I,数学文理23)在直角坐标系 xOy中，直线 C： x=- 2,圆G:(x- 1)2+(y-2)2=1,以坐

21、标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C, G的极坐标方程； 兀 一(2)若直线 Q的极坐标为 e =一( P e R),设。与G的交点为 M N,求 CMN的面积.4.解析：(1)因为x= p cos 0 , y= p sin 0 ,所以。的极坐标方程为 p cos 0 = 2, C2的极坐标方程为 p 2 2 P cos 9 4 p sin 9 + 4= 0.(2)将 8 =代入 p 2 2 p cos 9 4 p sin 8 + 4 = 0,得 p 2 32 p +4=0,解得 p 1 =2 2, p 2= 1J2.故 p1p2=2,即 |MN=2. _, .1法小转昌由

22、于G的半径为1,所以 GMN法小转昌才味用物描巧土戢施点it津万建立曲线的极坐标方程的方法步骤：(1)在曲线上任取一点 r p , e)；(2)建立起直角三角形(或斜三角形)，利用锐角的三角函数概念、正弦定理、余弦定理建立起p、9的方程；(3)验证求得的方程为曲线的方程.利用极坐标思想方法亦可简便解决一些轨迹问题，尤其是涉及线段间数量关系的问题.求极坐标系下的轨迹方程与求直角坐标系下的轨迹方程的方法一致.如定义法、直接法、 参数法等.不论曲线的直角坐标系的方程如何，只要我们将极坐标系的极点放在曲线的焦点上，总可将方程化成较简单的极坐标方程.反过来，有了适当的极坐标方程和直角坐标系与极坐标系的位

23、置关系，也可以得到曲线在直角坐标系内的方程.这样，在解题过程中，我们就可以灵活地变换坐标系， 使解题过程大为简化. 如果对极坐标方程不熟悉，可转化为直角坐标方程解答.处理极坐标系中的直线与圆的问题大致有两种思路:(1)化极坐标方程为直角坐标方程再处理;(2)根据(2)根据p、e的几何意义进行旋转或伸缩变换.四耙R上史*及此此强 教材习解率【习题1.3 .解析：(1)表示圆心在极点，半径为 5的圆(图略).(2)表示过极点，倾斜角为 5j的直线(图略).6 一_ 兀 一 一，(3)表不过极点，圆心在 1, 半径为1的圆(图略). _ 兀.解析：(1) e = ( P R).一一 ._ 兀 _._

24、设过点A2, -3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B,点P（ p , 8 ）是直线上任息一一一 ._ 兀 _._设过点A2, -3且与极轴垂直的直线与极轴交于点B,点P（ p , 8 ）是直线上任息一, 一，兀1一，兀一点.因为/ AOB= 1，OA 2,所以 OB= 2cos1=1,从而 cos9 =7 即 cos 9 =一,所OPp以所求的极坐标方程为 p cos 0=1.如图所示,设p（ p , e）是圆上任意一点.当O A P三点不共线时，在 OPA中利用余弦定理得到I oa2+i op22| oa - opcos e2了 =|AP：所以2兀一 2 P cos 9 = 1, IP p一八

25、兀 G=2cos e一7.当Q A P三点共线时，点P的坐标为0,等或兀 一2, 4 ,这两点的坐标满足，所以就是所求的圆的极坐标方程.如图所示,设p（ p , e）是圆上任意一点，当P三点不共线时，在4OPA中利用余弦定理得|OA2+| op2 210A I Opcos -2- 0 =|AP2,所以 a2+p22apsin e=a：即 p =2asin9 .兀当Q A P三点共线时，点 P的坐标为（0, 0）或2a,万，这两点的坐标满足，所以就是所求的圆的极坐标方程. p cos 0=4.2) p sin 0 = -2.(3)2 p cos 0 -3 p sin 81 = 0.4) p 2c

26、os 2 0 =16. (1) y=2.(2)2 x+ 5y-4 = 0.(3)( x+ 5)2+y2=25.(4)( x- 1)2+(y+2)2=5.解析：以极点为直角坐标原点，极轴为 x轴正半轴建立平面直角坐标系，把直线的，一，一、一rn 兀12q A，一、一，一， ，一一 ，一 一7 兀，极坐标方程p sin 8 +彳=-2-化为直角坐标方程得 x+y=1,把点A的极坐标2, 化为直角坐标得（m -小）.在平面直角坐标系下，由点到直线的距离公式得A（V2,-小）到直线x + y= 1的距离d=?.所以点A 2, 4-到直线p sin 8 +4-=半的距离为 多. （1）证明：以椭圆中心

27、O为原点，长轴所在的直线为 x轴建立直角坐标系， 则椭圆的2x直角坐标方程为-2 +a2*1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得(p cos 0 )2-+(p sin 0 )b2x直角坐标方程为-2 +a2*1.将椭圆的直角坐标方程化为极坐标方程得(p cos 0 )2-+(p sin 0 )b2P 2,2_a2b2。一b2cos2 0 + a2cos2a2b2b2cos2 0 1+ a2sin 2 0由于OAL OR可设A（1|OB2=b2cos 2 8 1+ a2sin 2 81+ b2sin a2b22_a2b21 2 b2sin 281+ a2cos2 0 12 0 1 + a2co

28、s2 0 1a2+b2=a2b2 .所以1而十1|OA2+|OB2为定值.(2)依题意得到 S AOB|OAOBa2b2(2)依题意得到 S AOB|OAOBa2b21:万 P 1 P 2a2b2cos2 0 1+ a2sin 2 01)( b2sin 2 8 1+ a2cos2 0 1)(a2b2)2 _ -2sin 2 0,当-+ a2b2ab& AO箱最大值为2 .一，2八 日一a2b2ab& AO箱最大值为2 .且仅当sin 2 0 1=1, Saaob最小值为 a：不；当sin 2 0 1 = 0,4渐开线与摆线狙习梳理.以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面直角坐标系，可得圆

29、的渐开线的参（其中r 为基圆的半径）.在研究平摆线的参数方程中，取定直线为x轴，定点M滚动时落在直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为r,可得摆线的参数方程为：砌习思考 ，、_,x= 8cos 6+86 sin 6 , 一，半径为8的圆的渐开线参数方程为（巾为参数），摆线参y= 8sin 6 8 6 cos （）数方程为.,预习梳理x= r （cos 6 + 6 sin， ，y = r （sin （）（）cosx= r （ 6 sin 6 ）y= r （1 cos 6 ）预习思考x = 8 6 8sin 6 ,（6为参数）y = 8- 8cos 6口回回亘1.关于渐开线和摆线的叙

30、述，正确的是（）A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的，只是绘图的方法不一样，所以才能得到不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆，如果建立的直角坐标系的位置不同，画出的渐开线形状就不同. C.半径为1的圆的渐开线的参数方程为 （）（e为参数）x= 9 sin （e为参数）y= 1 cos 0（e为参数）x= cos C.（e为参数）x= cos C.y = sin9 + 9 sin0 - 0 cose ,，（8为参数）ex= 1 sin 9 , B.y= 0 cos 0 x= cos 9 9 sin 9 , D.y = sin 9+9 cos 92.C.给出下列说法：圆

31、的渐开线的参数方程不能转化为普通方程；圆的渐开线也可以转化为普通方程， 但是转化后的普通方程比较麻烦，且不容易看出坐标之间的关系，所以常使用参数方程研究圆的渐开线问题；在求圆的摆线和渐开线方程时，如果建立的坐标系 原点和坐标轴选取不同，可能会得到不同的参数方程；圆的渐开线和x轴一定有交点而且是唯一的交点.其中正确的说法有 （）A.B .C .D .3.C.基圆半径为2的渐开线的参数方程是 x = 2 ( cos y = 2 (sinx = 2 ( cos y = 2 (sin6 + 6 sin()()cos（）为参数）口回回回.如下图所示，ABC虚边长为1的正方形，曲线 AEFGH叫作“正方形

32、的渐开线”，其中AE EF, FG GH的圆心次按 B, C, D, A循环，它们依次相连接，则曲线 AEFGH的长是（）A. 3兀B.4tt C.5tt D.6tt. C.已知摆线的生成圆的直径为 80 mm,则摆线的参数方程为 ,其一拱的宽为,拱高为.x= 40 （巾一sin 巾），6.（ 6为参数）80兀mmy = 40 （1 cos 巾）x = 2cos7.已知参数方程为y = 2sinx = 2cos7.已知参数方程为y = 2sin（a为参数），则该圆的渐开线参数方程为 a摆线参数方程为x= 2 （cos 巾 + 巾 sin 7.y = 2 （sin （）（）cosx = 2 （

33、6 sin 6 ）,y = 2（1-cos 6）为参数）.x= 6 （cos 3 + 3 sin 3 ）,一. ，一 .渐开线（巾为参数）的基圆的圆心在原点，把基圆的横y = 6 （sin （）（）cos 6 ）坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的曲线的焦点坐标为 . （613, 0）和（6,月，0）兀x= cos 6 + 6 sin 6 ,当（）=,兀时，求出渐开线（6为参数）上的对应点A2y= sin 6 6 cos 6B,并求出A B间的距离.9.解析:兀 9.解析:兀 x= cos将6=万代入y=sin6 + 6 sin 6 , （）一 （）cos （）.,1兀兀兀得 x = co

34、s-2+-sin -2= 1,.兀 兀兀 .A兀/y= sin 2- -2cos-2-= 1. . . A 2 , 1x= cos 6 + 6 sin 6 , 将代兀代入y=sin -Gcos -得 x = cos nt + s sin 兀=- 1,y= sin 兀一兀cos 兀=兀. .B（ -1,）.故A, B间的距离为 ab=. （ i兀）2+ + 1=、y5 兀 2兀+2.日回因臼10.已知圆的直径为 2,其渐开线的参数方程对应的曲线上两点A B对应的参数分别.兀一兀 .为三和,求点A B的直角坐标.32.解析：根据题设条件可知圆的半径为1,所以对应的渐开线的参数方程为x= cos 6

35、 + 6 sin 6 ,（6为参数）.y= sin j j cos j兀，兀.x= cos-3- + 兀，兀.x= cos-3- + sin兀13=-+TTt ,326_.兀 y=sin -3于0sA.7t.A点的坐标为3+评6716 .3 3兀6兀兀当6=3时，同理可求得 B点的坐标为 万，1八 x= 2 （巾一sin 巾），,，一，八.求摆线（6为参数且0W 6 W2tt ）与直线y=2的交点的直y= 2 （1 cos 巾）角坐标.解析：当 y= 2 时，有 2（1 - cos 6）=2,cos 6 =0.又 0W 6 W2tt ,1- 6 =-（）=32.当6 =-时，x=兀一2;、“，

36、3兀-当巾二-2-时，x=3tt + 2.，摆线与直线 y= 2的交点为（兀一2, 2） , （3兀+ 2, 2）.设圆的半径为4,沿x轴正向滚动，开始时圆与 x轴相切于原点 Q记圆上动点为M它随圆的滚动而改变位置，写出圆滚动一周时M点的轨迹方程，画出相应曲线，求此曲线上纵坐标y的最大值.12.解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为12.解析：依题意可知，轨迹是摆线，其参数方程为x= 4 ( 6 sin 6 ), y= 4 (1 cos 6 )且 0w()w 2 7t.其曲线是摆线的第一拱（0W 6 W2ti ）,如下图所示:易知，当x=4兀时，y有最大值8.x=4 6 4sin.已知一个

37、圆的摆线方程是y=4 4cos 66，/一，、一，一，一，易知，当x=4兀时，y有最大值8.x=4 6 4sin.已知一个圆的摆线方程是y=4 4cos 66，/一，、一，一，一，（巾为参数），求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.13.分析：首先根据所给出的摆线方程判断出圆的半径为4,易得圆的面积，再代入渐开线的参数方程的标准形式，即可得圆的渐开线的参数方程.解析：首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4,所以面积是16兀，该圆对应的渐开线参数方程是x=4cos 巾 + 4 巾 siny=4sin ()- 4()cos.已知一个圆的摆线过一定点（2, 0）,请写出该圆的半径最大时该摆线的参

38、数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.分析：根据圆的摆线的参数方程x= r ( 6 sin 6 ),y= r (1 cos 6 )（6为参数），只需把点（2 ,0）代入参数方程求出r的表达式，根据表达式求出r的最大值，再确定对应的摆线和渐开线 的参数方程即可.解析：令y= 0,可得r(1 cos ()=0,由于r 0,即得cos 6=1,所以6 =2k兀 (k”).代入 x= r( 6 sin 6 ),得 x= r(2 k 兀-sin 2 ku).又因为 x= 2,所以 r (2 k 兀一sin2k% ) = 2,即得 r =二一.k兀又由实际可知r0,所以r = /(kCN*).易知，当k=

39、1时，r取最大值为 . k兀兀代入即可得圆的摆线的参数方程为1 , ,.，、x= - ( 6 sin 6 ),兀(6为参数)；1 一 ，、y= (1 cos 6 )兀圆的渐开线的参数方程为x= ( cos 6 + 6 sin 6 ),兀(6为参数).1y= (sin ()()cos 6 ) 兀方法向衲技巧点放精点注津方法不方法向衲技巧点放精点注津方法不转各.渐开线的实质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹.圆的摆线的实质是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个定点的轨迹.渐开线上任一点 M的坐标由圆心角 巾(以弧度为单位)唯一确定，而在圆的摆线中, 圆周上定点M的位置也可以由圆心角 6唯一

40、确定.圆的渐开线和摆线的参数方程均不宜化为普通方程，既繁琐又没有实际意义.有关已知摆线过定点求摆线及渐开线的参数方程等问题，可进行如下思路解题：代,x = r ( 6 sin 6 ), ，一,、，入摆线的参数方程(6为参数)，可求出6 ,进一步求的r,这样就y = r (1 cos 6 )可以写出该圆的摆线和渐开线的参数方程.用”教材*题解禁【习题2.4 1.解析：因为基圆的直径是 225 mm,所以基圆的半径是112.5 mm,齿廓线AB所在的x = 112.5 C cos 6 + 6 sin 6 ）, 渐开线的参数方程为（6112.5 mm,齿廓线AB所在的2.解析:x= cos y =

41、sin6 + 6 sin（） 2.解析:x= cos y = sin6 + 6 sin（） （）cos,得到A, B两点的坐标分1 ,由两点间的距离公式得| AB =4卷 + 哆 2+（1 + 1）21 ,由两点间的距离公式得3.解析：设轮子的圆心为 B,以BM的延长线与直线轨道垂直时的一个垂足O为原点,直线轨道为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设圆滚动使点M绕圆心B转过6角后点M的坐标为（x, y），则 x=OD= OA- DA= OA-M& a 6 bsin 6 , y= DM= AC AB- CB= a- bcos6 ,所以点M的轨迹方程为x = a 6 bsin（）,y = abcos

42、 （）4.解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点 4.解析：建立如下图所示的直角坐标系，设点 M的坐标为（x, y）,此时/ BOA=（）.因.兀，一兀为 OB= 4CB 所以/ BCIM= 4 6 , / MCD：万3 巾.由于 x=O三 O曰 EF= 3rcos 巾 +rsin 7171高中数学2.2.3抛物线的参数方程练习新人教A版选修4-4交习梳理.抛物线y= 2x2的焦点坐标为 ,准线方程是 ;抛物线x2=2y的焦点坐标为,准线方程是 .2一、x=2pt ,一一，.曲线C的参数万程为（t为参数，tCR）其中p为正的常数.这是焦点在y= 2pt上的抛物线参数方程.砌习思考抛物线y2=

43、x的一个参数方程为 .,预习梳理1111f 0, 8 y=-8 f ，2 y=-2x轴正半轴预习思考y=t（y=t（t为参数）回回回x = t 2,.圆锥曲线（t为参数）的焦点坐标是.y = 2t. （1 , 0） ,2 ,，,、X=t，/、“，, , , , , ，一 ， TOC o 1-5 h z .点R1 , 0）到曲线 ，（t为参数，t C R）上的点的最短距离为（）y= 2tA. 0B. 1C. 2D. 22.B x = 2pt , .若曲线2 （t为参数）上异于原点的不同两点M、M所对应的参数分别是t1、y=2ptt2,则弦MM所在直线的斜率是（）A. 11+ 12 B . 11

44、121+ 1211 12.Ax= 1 + s,.在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l:（s为y= 1 s，一 -x=t + 2,、，4，、 一，参数）和C 2（t为参数），若l与C相交于A B两点，则| AB=.y=t4. 25.连接原点O和抛物线x2 = 2y上的动点 M延长OMiiJ点P,使|OM=|MP,求点P的 轨迹方程，并说明它是何种曲线.、r ，八 Qr, x= 2t ,5.解析：设抛物线x2 = 2y的参数方程为 2 （t为参数）. y= 2t丁点MB抛物线上，.M的坐标为（2t , 2t2）.设P的坐标为（xo, y。），由|OM=|MP知，M为OP的中点，

45、X0 = 4t , yo = 4t 2.yo=1x2,即点P的轨迹方程是x2=4y,表示的曲线为抛物线.x = sin6.参数方程y x = sin6.参数方程y = sin（8为参数）表木的曲线为（）0 cos 0_ . 2x=2pt ,.曲线（t为参数）上两点A、B所对应的参数分别为 ti、t2,且ti+t2=0,y=2pt则|AB为()则|AB为()12 P(tit2)|2P(ti t2)2p(t2+t2) D .2P(ti t2)27.A，八，、, x = t ,，入，一，一，,.设曲线C的参数方程为2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的y = t正半轴为极轴建立极坐标系

46、，则曲线C的极坐标方程为 . p cos2 0 sin 0=0（2015 广东卷n ,数学文14）在平面直角坐标系 xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C的极坐标方程为p （cos 0 + sin 0 ） = - 2,曲线C2的则C与G交点的直角坐标为则C与G交点的直角坐标为参数方程为（ t为参数）,y=2声x+ y= - 22得:y = 8x解析：曲线C的直角坐标方程为 x + y=- 2,曲线C2x+ y= - 22得:y = 8xx= 2 ,、，一，小，一.,所以C与。交点的直角坐标为（2, 4）.y= 4答案:(2 , - 4)10.在直角坐标系10.在直角坐

47、标系xOy中，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极,2.、一一 x =t . 、 坐标方程为 P cos e =4的直线与曲线3 （t为参数）相交于A, B两点，则| AB =y=t10. 16一 x=t+1,11.在平面直角坐标系 xOy中，直线l的参数万程为（t为参数），曲线C的y = 2t2 ,e为参数），试求直线l与曲线ce为参数），试求直线l与曲线c的普通方程，并求出它们的公y=2tan 0共点的坐标.11.解析:11.解析:直线l的参数方程为x= t +1, y= 2t.消去参数t后得直线的普通方程为 2xy2 = 0.同理得曲线C的普通方程为y2=2x.1联立方程

48、组解得它们公共点的坐标为（2,2）, 2， 1 .12.已知抛物线 y2=2px（p0）过顶点的两弦 OALOB求分别以 OA OB为直径的两圆的另一交点 Q的轨迹.12.解析：设A（2pt2, 2pt1）, B（2 pt2, 2Pt2）,则以OA为直径的圆的方程为x2 + y22pt2x2ptiy=0,以0助直径的圆的方程为x2+y22pt2x2pt2y = 0,即ti、t2为方程2pxt2 +2Pty x2 y2 = 0 的两根.t it 2=x2t it 2=x2+y22px .又 OAL OB .tit2=1, x2+y22Px=0.，另一交点Q的轨迹是以(p, 0)为圆心，p为半径的

49、圆.13.过抛物线y2=2px(p0)的顶点作两条互相垂直的弦OA OB如下图).(1)设OA勺斜率为k,试用k表示点A B的坐标;(2)求弦AB中点M的轨迹过程. - y=kx,13.解析：(1)由题息得y2 2px TOC o 1-5 h z -2p2p斛得 xa= 证，yA=. 11y=一以一1代替上式中的k,可列方程组ky2= 2px,得 xb= 2pk2, yB= 2pk.2p 2p,2, Akr, , B(2 pk , 2pk).2 , 1x= p k + k2 ,(2)设 Mx, y),则 1 .y=p 晶k ,消去参数k,得y2= px-2p2,此即为点 M轨迹的普通方程.14

50、.已知方程 y2 2x 6ysin 8 9cos2 8 + 8cos 0+9= 0.(1)证明：不论0为何值，该抛物线顶点的轨迹方程一定为椭圆;(2)求抛物线在直线 x= 14上截得的弦长的取值范围，并求弦取得最值时相应的e值.14. (1)证明：将原方法配方得(y 3sin0)2=2(x4cos 0),曲线为抛物线，顶点,、一一 ,_, x= 4cos 0 ,、，一 x为(4cose , 3sin 0 ),设顶点为Qx, y),则(0为参数)，消去9得6十y=3sin 016y7=1,所以该抛物线顶点的轨迹为椭圆. 9(2)解析：将 x=14 代入已知方程，得 y26ysin 9 - 9co

51、s2 9 + 8cos 9 19=0,彳导 y = 3sin 0 ：288cos 0 .因为8W 8cos 0 w 8,所以 20W 28 8cos 0 w 36.设抛物线 在直线x= 14上截得的弦长为 l ,则l = |y-y2| =2；288cos 0，所以4-./5wlW12.当 cos e =1 时，即 e =2kTt(kez), imin=4%,；当 cos e =1,即 e =(2k+1)兀(ke z) 时 , l max= 12.才生出的技巧点#支息律方法小错才生出的技巧点#支息律方法小错.已知抛物线的标准方程，可转化为参数方程，也可由参数方程转化为普通方程.在利用参数方程求焦

52、点坐标、准线方程时，应先判断抛物线的对称轴及开口方向, 在方程的转化过程中要注意参数的范围限制.抛物线的参数方程是一、二次函数形式，抛物线的图形分布和一、二次函数的值域 相对应.典司利析雁史破枝也以覆教材习题解答典司利析雁史破枝也以覆教材习题解答【习题2.2 1.解析：因为2a =15565, 2b= 15443,所以a= 7782.5 , b= 7721.5.所求的椭圆参数x= 7782.5cos6 ,方程为（6为参数）.y = 7721.5sin（）2,证明：设 M（acos 6, bsin 6）, Rxp, 0）, Qxq, 0）.因为 P, Q 分别为 BM, RM 与x轴的交点，所以

53、kB1P= kBM kBx轴的交点，所以kB1P= kBM kB2Q= kRM由斜率公式并计算得acos （）acos （）Xp = ；J-, Xq= ；J-,1 + sin6 1 sin旷所以 | Off , | OQ= | Xp| | Xq| = | Xp Xq| = a?(定值).一 一 一x = q3.证明：设等轴双曲线的普通方程为x常y2=a2(a0),则它的参数方程为cos 常，一 、一 a(6 为参数)，设 Mcos7，atany= ，一 、一 a(6 为参数)，设 Mcos7，atanaa-r + atan 巾cos 612+12a atancos 6 TOC o 1-5 h

54、z -x的距离之积是J2a2|2 a tan 3 |21 cos 61 a4.证明：设点A, B的坐标分别为(2pt1,2pti), (2pt2, 2Pt 2),则点 C 的坐标为(2 pt 2,1-2pt2).直线 AB的方程为 y-2pt1=-_(xt 1 十 t 22pt2),所以点D的坐标为(2ptit2, 0).直线线AC的方程为12y-2pt i=7-(x - 2pt1),所以E的坐标为(2pt1t2, 0).因为DE的中点为t 1 一 t 2原点 0(0 , 0),所以抛物线的顶点0平分线段DE直线0A的方程为 1.、y= kx, 一直线0A的方程为y=kx,直线0B的方程为y=

55、 kx.解方程组 寸2Px得点A的坐标是2A的坐标是27, 2p ；解方程组k k2p2+2pk2. k(x, y),贝U x=2k 得点B的坐标是(2 pk , - 2pk).设点M的坐标为 y2= 2px22pk p处的小占的的欠pk, y=一弓=7；-pk,所以线段 AB的中点M的轨迹的参2 kp ,2x=k2+ pk ,数方程是(k为参数).p .y=kpk高中数学1.1平面直角坐标系练习 新人教A版选修4-4交习梳理.平面直角坐标系.在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定度量单位和这两条直线的方向，就建立了 .它使平面上任一点 P都可以由 实数对(x,y)确定.坐标法

56、.根据几何对象的特征， 选取适当的 ,建立它的方程，通过方程研究它的性质及 与其他几何图形的关系，这就是研究几何问题的 .伸缩变换.一x = Xx,入 0,，一设P（x, y）是平面直角坐标系中任意一点，在变换 巾：,的作用下，y = （1 y , （1 0点Rx, y）对应点P （x , y）,称为平面直角坐标系中的 ,简称伸 缩变换.砌习思考.到直角坐标系两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是 .将点（2, 3）变成点（3, 2）的伸缩变换是 , 预习梳理.平面直角坐标系唯一的.坐标系 坐标法.坐标伸缩变换预习思考1. y = x 或 y= x,3x = 2x,2.，2y =y回国亘2x = x

57、.点（2, 3）经过伸缩变换 y，_ 3y后得到点的坐标为2xz = x xz = 1x= 1,.解析：由伸缩变换公式， 得 2y = 3y ，& qy = 3y= 9,即变换后点的坐标为（1 , 9）.答案:(1 , 9).到两定点的距离之比等于常数k(kw0)的点的轨迹是 .直线或圆1.2x = 5x ,.将椭圆25十/1按6 :变换后的曲线围成图形的面积为 .y =；y2.解析：设椭圆上+y= 1上任意一点的坐标为 P(x, y),按6变换后的对应的坐标 25 9为 P(X , y),1 TOC o 1-5 h z X = X_ ,2,2 HYPERLINK l bookmark160

58、o Current Document 5x=5x ,(5x )(3y )2由6：得代入椭圆方程，得 ”+ y.=1,即x 2 +，1y=3y ,259y =3yy 2=1,圆的半径为1,所以圆的面积为兀.答案：冗.在同一坐标系中，将曲线 y=3sin 2x变为曲线 y = sin x的伸缩变换是x = 2x,.1y =3y5.到直线x-y= 0和直线2x+y = 0的距离相等的动点的轨迹方程为 . x46xy y2=0回回区.已知椭圆的焦点是 F1, F2, P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得|PQ =| PR| ,那么动点 Q的轨迹是.圆.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换 x5

59、x，后，曲线C变为曲线x 2+y：y = 3y=0,则曲线C的方程为.25x2 + 9y2=0ABC3, B(-2, 0) , C(2 , 0), AABC勺周长为10,求点A的轨迹方程为 . 22x y. 9 + 5 = 1(xw3).在同一平面直角坐标系中，将曲线x236y2 8x+12=0变成曲线x 2y 2 4x+ 3=0,则满足条件的伸缩变换是 .9.解析：x236y2 8x+12= 0 可化为x-4 x-4 29y2= 1.x 2 y 24x + 3= 0 可化为（x，-2）2-yx 2 y 24x + 3= 0 可化为（x，-2）2-y, 2=1., x x-4口 x 2 = ,

60、比较，可得2y =3y, x x 即 2y = 3y.x = x,答案：2y = 3y10.在平面直角坐标系中，求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换的图形形状. y2=2x；（2） x2+y2=1.1x = 3x，10.解析：（1）由伸缩变换1y，=/1x =3x, 后,1y =2yx= 3x可知y=2yx=3x,将 ，y = x=3x,将 ，y = 2y代入y2= 2x,可得,24y=6x ,即 y23=2x即伸缩变换之后的图形还是抛物线.(2)将 x代入 x2+y2= 1 y=2y得(3x ) 2+ (2y )2= 112x一12x一112y1.即伸缩变换后的图形为焦点在y轴上的椭圆.答