高考数学压轴大题-解析几何

1、 高考数学压轴大题一解析几何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高考数学压轴大题一解析几何V-.设双曲线C：=1（。0）与直线/:x+y = l相交于两个不同的点4 8.cr（I）求双曲线C的离心率e的取值范围：（II）设直线/与y轴的交点为P,且尸文=工尸后.求a的值.12解：（I）由C与t相交于两个不同的点，故知方程组M 2 1-=1， 0.解得。 a 解得。 a 且 W 1. 双曲线的离心率*.* 0 a 且e 丰-J2 2即离心率e的取值范围为包，四）U（四,+s）. 2（II）设A（x“J8Cq,乃），尸（）* 5 */ PA = PB,12（

2、不，必一1）=（，,2一1）且1一层/0,由此得且1一层/0,由于M+X2都是方程的根, TOC o 1-5 h z 小“172a2力以五%= 一匚15 22/羽 =712 1 M消去冬,得一3=样17由a 0,所以。=132.已知（-L0）,为椭圆。的两焦点，?为。上任意一点，且向量丽与向量丽的夹角余弦的最小值为:（【）求椭圆。的方程；（H）过F的直线/与椭圆。交于肌N两点，求OWN 2为原点）的面积的最大值及 相应的直线/的方程.解：（1）设椭圆的长轴为2“，防卜跖卜2a 质卜2c = 2cos时M 牛丁平用伊周_（|产用+ |尸用）2-2归6卜|尸用-42|用|P-|又防卜|明吟时网 P

3、FPF2 -T -1 = 1-4 = -2aa 3；椭圆方程为+ - = 1(H )由题意可知NM不可能过原点，则可设直线NM的方程为:x+1 =?)，设M(K，y) N(x2,y2)Somn = S3 +y | +1 % I) = ； |i -乃 |X2 y2+ = 1, 2).(I )若几为常数，试用直线/的斜率以AW0)表示三角形。奶的面积.(H)若几为常数，当三角形。步的面积取得最大值时，求椭圆的方程.(W)若X变化，且九二万+1,试问：实数九和直线/的斜率k(kR)分别为何值时，椭圆N的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程.解：设椭圆方程为二+与=13。)， cr 0由 e 二

4、= g 及/= b2+c2 得 病=3 b2,a V 3故椭圆方程为a2 + 3r= 3/?2 .(I );直线/ ： y = Mx+1)交椭圆于 A(孙 yi), 5(X2, ”)两点,G4=2BC (22),-Ui+L yi)=A(-l-X2l 一”),日 n Jn + 1=T(W+1)即彳 】X 二一4力把产k(x+l)代入椭圆方程, 旦 k2把产k(x+l)代入椭圆方程, 旦 k2 (3/?2-1)+/?2 0X1+X2=3k1-3b13k2+1得(3攵2+1)工2+6上+342-3= 0, (*), S、ab=-Ii-y2l=1ll+ll-lj2l= -IZ： 1-1x2+11 .

5、222联立、得也+f1K,A + 1k3k2+伙M)A + 1k3k2+伙M)(II 电。X 1Iki3k2+13MI +1-k2).-2-1 2).-2-1 2 小当且仅当31kl即攵=五时,k3S白。.取得最大值，此时Xl+X2= -1又 %1 + 1= -Z ( A2+l),.1A.X= , Xi=1 一 A-1代入得3代提.此时疗2修的值符合(*)3 - 4- 1 故此时椭圆的方程为+ 3)，2=普(丸三).(【H)由、联立得：_ 一2九 _(1_4)(31+1)-，X2=4,1,(1-2)(3内+1)将孙X2代入，得盼=史志由广1 .由心九7得圻=而需万M, ,，+Z +13 (2-

6、1)2 (2-1)2(32-2)易知，当422时，3反是几的减函数，故当4 = 2时，卡取得最大值3.所以，当丸=2,攵=1(符合(*)时，椭圆短半轴长取 得最大值，此时椭圆方程为x2 + 3/ = 3 .4.已知椭圆的中心为半标里点a焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点尸的直线交椭 圆于4、6两点，。4+。8与a = (3,-1)共线.(D求椭圆的离心率；_(II)设时为椭圆上任意一点，且西=2赤+ 砺(/l,wR),证明万+*为定值.2解： 设椭圆方程为二+ 2 = l(a”0(c,0), cr lr则直线A8的方程为y = x-c,代入 + = = 1.cr b-化简得(1 +b2)x2

7、 -2a2cx +a2c2-a2b2 =0.令 A。)B(x29y2x + xx + x22 2),，aP -aa2 +b2由万I + OB = (Xl+ x2 j + 必),Z = (3,-1),万I + OBi 共线,3(兑+乃)+($+)=又 M =$一 C,、2 =工2 一孰，3(阳 +x2- 2c) +(X + x2 ) = 0,3cXj + X2 =/ . c = y/cr - Zr =,故离心率 = =a 3(II)证明：由 知/=3/ 所以椭圆 +=1可化为/+3y2=3ZA a b设 OM = (x, y),由己知得(x, y)=2(玉,y,) +/(%2, y2),x =

8、Zvj + jtix2,y =加+纱2M(x,y)在椭圆上,+ /a2)2 +3(办71+ /2 )2 = 3b2.即-2(x；+3y；) + 2 3+3y；) + 24z(+/2+3%力)=3必.3 , , 23 , , 21 2一厂淮=一厂22由知X +=Ca =a2c2 -crb2 3 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark108 o Current Document 入内= ；=-c 一 a2+b28 司勺+3乃力 =xix2+3(xi -c)(x2 -c)=4M占 一 3(x. + )c + 3c2 I /1工3,9.=-L 一一c- +3l22=0.又

9、x；+3y： =30W+3 =3又，代入得 外+2=1. 故万+2为定值，定值为1.已知椭圆J + )，2=1的左焦点为F, 0为坐标原点. 乙(I)求过点0、F,并且与椭圆的左准线/相切的圆的方程；(II)设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.解： ,： a =2,b2 =1,.*. c = l, F(-l,0),/:x = -2.圆过点O、F,，圆心M在直线工=一;上。设M(-；)，则圆半径 13厂=(一大)一(-2)=7 22由 |OM| = ,，得 J(一；了+产解得1=应.所求圆的方程为(a- + 1)2 +(/

10、2)2=1(II)设直线AB的方程为y = Z(x+l)伙W0),2代入 J + V = 1，整理得(1 + 2k2)x2+4k2x + 2k2-2 = 0.直线AB过椭圆的左焦点F,，方程有两个不等实根。记 A(m , % ), B(x2，%)，A8 中点 N(x。, %),4k22F+T河的垂直平分线NG的方程为卜儿=T- 令y = o,得f 2k2 k2 k2 11y2k2+ + 2k2+ -22 + l -2 + 42+2,点G横坐标的取值范围为(彳,0).已知点A(x21), 8(均为)(2。)是抛物线)2 =2x(P。)上的两个动点，。是坐标原点, 向量而满足母+砺卜国-/.设圆C

11、的方程为炉 + y2 一 (占 + 4 )工 一 (川 + y2)y = 0(I)证明线段A3是圆C的直径；(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为生时，求p的值。证明 1: |OA4-oS| = |dA-dg|,OA + OB)2 =(OA-OB)2OA +2OAOB + OB2 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0 +)。2=0设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则用荻=。即(x-xl)(x-x2) + (y-yl)(y-y2) = O整理得:+ y 2 -(X + x2)x - (y + y2 )y = 0故线段A6是圆C的直径证明 2:

12、 -OA + OBdA-OB：. (OA + OB)2 =(OA-OB)2OA +2OAOB + OB2 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0%占+凹%=。(1)设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则即 = -l(Ax-x2 x-x去分母得：(x-xi)(x-x2) + (y-yi)(y-y2) = O点(内，X),(苔,y2),(W，X)(毛，刈)满足上方程,展开并将代入得：+ y2 -(网 + x2)x-(x + y2)y = 0故线段A6是圆。的直径证明 3: v |OA += |OA-Og|,(OA + OB)2 =(OA-OB)2OA1 +2OAOB + OB2

13、 =OA2-2OAOB + OB2整理得：OA OB = 0：.x1-x2 + ycy2=O(1)以线段AB为直径的圆的方程为(x_ Vt_k)2=l(X1-x2)2+(y,-y2)2|224展开并将(1)代入得：%-+ y-(再+%2)%-(凶+、2)y =。故线段as是圆c的直径 (II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则X. +x2X =-2 0). x,x2 =4p-y 2 y 2又因为+)管乃=,=一)丁乃 ，一 片 .力=4/厂内占 w ，: M % W i % = T/x=；(短+为 2)=7-(i2 + 8 2+2y跖)- 4 = -(r + 2/) 2 4p44 p所以圆

14、心的轨迹方程为y2 = px - 2 p2设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则l-(y2 + 2/r)-2yl),lx-2y I pI)厂 2py + 2p-| l(y-/?) + p I当y=p时,d有最小值号、由题设得 解法2:设圆C的圆心为C(x,y),则= 2pxi ,)1 = 2Pxi(p 0)又因占,+）管乃= 2pxi ,)1 = 2Pxi(p 0)M七工，力 丹0 二y ）2 =X = ；()： + 乃 2)= ；(:+ ?22 + 2y“，2)- 4 = -(r+2/72)2444 p所以圆心的轨迹方程为y2 = px-2P2? /s设直线x-2y+m=0到直线x-2y=

15、0的距离为，二，则/ = 2wy因为x-2y+2=0与y2 = px-2P?无公共点,所以当x-2y-2=0与)，2 =2P2仅有一个公共点时，该点到直线x-2y=0的距离最小值为出X - 2y 2 = 0(2)y2 = px-2p2 (3)将代入得 y2- 2py + 2/r-2p = 0 .A = 4/r-4(2/r-2p) = 0/ /? 0p = 2解法3:设圆C的圆心为C(x,y),则X. +x =- TOC o 1-5 h z ,2 v = 2il21U2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则1手-()1d = Z=22)： = 2X|,)，22 = 2Px式p 0)/./4/厂)

16、,2又因西M % = 0 $ =一州 丹 一)% = -T-T 4%&0，:y 为0 二y,2 = T/大( +_ 短 + 可 +2)，一4(凹 +)，2)+ 8、_ (m + y2-2py +4/当yl + y2 = 2P时,d有最小值长，由题设得定11、(如图)设椭圆中心在坐标原点，A(2,0), 8(0,1)是它的两个顶点，直线y = 攵0)与AB相交于点。，与椭圆相交于E、尸两点.(1)若历=6而，求k的值；yB p(2)求四边形人6月面积的最大值.，一7个Xx2/E、H . ( I )解：依题设得椭圆的方程为+V = i, 4直线48 的方程分别为x + 2y = 2, y = W0

17、) . 2分如图，设。(如 5)，&司，铺)，Fg, kx2),其中王不，故=一玉Vl + 4p且苔，W满足方程(1 + 442)/=4,/故=一玉Vl + 4pS =-AB(hS =-AB(h + h2)= -x/5.4(1 + 2%)2(1 +2k)75Q +4k)1 + 4公 TOC o 1-5 h z IyIII由石。=6DF知/一%=6(x2-x0),得用=亍(6+M)=/r777J1 + 4/由。在A8上知, + 2此=2,得 =7107所以f = / 一 化简得24公-25% + 6 = 0,解得攵=9或攵=：.6分1 + 2 攵 7J1+4 尸38(II)解法一：根据点到直线的

18、距离公式和式知，点E，尸到A8的距离分别为_+ 2处一 2| _ 2(1 + 2k + J1 +4户)储=.=.H + 2kxi - 2| _ 2(1 + 2k - Jl + 4k 2)75(1 + 4?)所以四边形A石灰的面积为当象=1,即当 = !时，上式取等号.所以S的最大值为2点.12分解法二：由题设，怛o| = l, AO = 2 ,设x=3,%=乜，由得当。， 为=_0,故四边形AEBF的面积为S = S abef += x2 + 2y29 分=他+2%/ =7X2 +42 +4x22 W +4货)=2y2,当=2为时，上式取等号.所以S的最大值为2虚.12分12、已知椭圆E：J

19、+ ? = 1(“6)的离心率6 = ；.直线(/0)与曲线E交于不同 的两点以线段为直径作圆C,圆心为C .(1)求椭圆E的方程；(2)若圆C与y轴相交于不同的两点A,8,求AA8C的面积的最大值. TOC o 1-5 h z 12、(1)解：.椭圆石：1+二=1.3)的离心率e = .d= = 2分32a 2解得4 = 2.椭圆E的方程为+1 = 1 .4分43(2)解法1 ：依题意,圆心为。亿0)(0vfv2).x = t,)tr由/ ),2得3,2=气二 .圆。的半径为，=竺三 -6分+ = 1,42143八J12 3/ 八J12 3/ 口“27210r1 即0/ .27/.弦长IA8

20、l=2j/一 1=2/1言一/=后/. AABC的面积S = ；J12-7产二哥(心7/4-It2 . 8 分9分(+12-7产7X2圆C与y轴相交于不同的两点48,且圆心C到了轴的距离 =/12分当且仅当行，=必书,即/ =手时，等号成立.二A4BC的面积的最大值为手.14分解法2 ：依题意，圆心为CC0)(02).x = t.由W二A4BC的面积的最大值为手.14分解法2 ：依题意，圆心为CC0)(02).x = t.由W+/曰, 12 3广向 - AA业4川2 - 3二r八传厂=:.二 圆C的丰径为，.= .6分=1,42圆C的方程为(i2 +户丁圆C与 轴相交于不同的两点4,8 ,且圆心C到y轴的距离4=，,八 712-37 nn 八 2 &T/. 0r,即0，/127F ./. AA8C的面积S = 1412-7/29分8分(J+12-7产212分.AA8c的面积的最大值为当且仅当=a2-7-,即/ = 平时，等号成立.AA8c的面积的最大值为3I-15、已知椭圆E ：=+三=1 (ab。)的上顶点为尸(0,1),过Z的焦点且垂直长轴的 a b弦长为1 .若有一菱形A8C。的顶点A、C在椭圆Z上，该菱形对角线3。所在直线的斜率为一