高考数学(理)真题专题汇编：推理与证明

1、 二、填空题10.【来源】2014年高考真题理科数学（陕西卷）观察分析下表中的数据：多而体面数（F ）顶点数（V）棱数（E）三棱锥569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多而体中，尸，所满足的等式是.【来源】2013年高考真题湖北省理科数学高考试题WORD解析版古希腊华达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数1,3,6,10,，第八个（ + 1） _ 1 / 2 + 1三角形数为222 o记第个攵边形数为N（*）（AN3）,以下列出了部分攵边形数中第个数的表达式：N（,3）= 7?2 +nN (,4) =N (,4) =正方形数N (n,6) N (n,6) = 2n2 一六边形

2、数可以推测N（*）的表达式，由此计算0624）=.【来源】2013年高考真题一一理科数学（陕西卷）观察下列等式：12 = 112-22=-312-22+32 =612 - 22 + 32 - 42 =-10 照此规律，第A个等式可为.【来源】2012年高考真题一一理科数学（湖南卷）设心2（aN:信2）,将N个数由位,，xx依次放入编号为1,2,，N的N个位置，得到排列P8）时，xm位于H中的第一个位置.【来源】2012年高考真题一一理科数学（陕西卷）观察下列不等式 TOC o 1-5 h z 11111 + T3- 4一照此规律，第五个不等式为 .【来源】2011年高考数学理（湖南）对于九e

3、N. .将表示为 =* 2 +qx2 +/x 2* 2 +即- x 21 + x 2 ,当 ，=时， = 当时，4为0或L记）为上述表示中为。的个数，（例 如 1 = 1x2, 4 = lx22+0 x2,+0 x2;故/（I） =0,/（4） = 2）则127 2/（,）=（1），（12） = （2） -.【来源】2011年高考数学理（安徽）在平而直角坐标系中，如果与 都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）.存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果女与都是无理数，则直线= + b不经过任何整点直线/经过无穷多个整点，当且仅当/经过两个不同的整点直线

4、）=七经过无穷多个整点的充分必要条件是：女与人都是有理数存在恰经过一个整点的直线.【来源】2011年高考试题数学理（陕西理）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49照此规律，第个等式为 o.【来源】2011年高考数学理（山东）X设函数f(x) = (x0),观察: x + 2X3x + 4r/3。)= /(/*)=彳, / X + oX15x + 16根据以上事实，由归纳推理可得：当 N+ 且 N 2 时，（X）= /（/,（刈）=.【来源】0（08年江苏卷）将全体正整数排成一个三角形数阵：1 TOC o 1-5 h z 234567 g 91

5、0按照以上排列的规律，第附行5之5从左向右的第3个数 为-三、解答题.【来源】2012年普通高等学校招生全国统一考试湖南理教设a众2),将N个数xi.x,，X*依次放入编号为1,2,，N的N个位置，得到排列P。=X区Xy.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入N _ N对应的前一和后一个位置，得到排列P:二X:XsXy：X:XiXx,将此操作称为C变换，将P1 22N分成两段，每段耳个数，并对每段作C变换，得到2；当2WiWn-2时，将P，分成21N段，每段一个数，并对每段C变换，得到P” 例如，当N=8时，PkXiXsX匹XJEX3,此时 21治位于P：中的第4个位置.

6、(1)当N=16时，X：位于P：中的第一个位置：(2)当N=2= (n，8)时，xm位于H中的第一个位置.【来源】2012年高考真题一一理科数学(湖北卷)(本小题满分14分)0),其中广为有理数，且Ovrvl.求f(x)的 最小值：(II)试用(I)的结果证明如下命题：设q N 0,2之0，4,仇为正有理数.若& +& = 1 ,贝+ 优；(IH)请将(II )中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当a为正有理数时，有求导公式.【来源】2012年高考真题一一理科数学(福建卷)(本小题满分13分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数.sin:13

7、0 +cos:17 -sinl30 cosl70sin150 +cos-150 -sinl50 cosl50sin318 +cos:120 -sinl8 cos 120sin: (-18 ) +cos:48J - sin: (-18 ) cos:48csin (-25 ) +coss550 - sin (-25 ) cos二55I试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数H根据(【)的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论.23.【来源】辽宁省抚顺市六校联合体2010-2011学年高二下学期期末考试（理）（本小题满分12分）电视台举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A

8、有四个选项，问题B有六 个选项，但都只有一个选项是正确的。问题A回答正确可得奖金m元，问题B回答正确可 得奖金n元。活动规定：参与者可任意选择答题顺序：如果第一个问题回答错误则该参与者猜奖活 动中止。一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确 定回答问题的顺序，使获奖金额的期望值较大。试卷答案.D四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话.甲不知自己成绩一乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然） 一乙看了丙成绩，知自己成绩一丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩.A【解析】反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“方程，+欧+&

9、= 0至少有一实根”的反面是“方 程一十姓十力=0没有实根，故选/.3.B特殊值法,不妨令x = 2,y = 3,z = 4 ,卬=1,则（y,z,w） = （3,4,l）S （xy,M，） = （2,3,l）S,故选b如果利用直接法：因为（QZS , （z,w,x）wS ,所以xvyz，yvzvx， Zxvy三个式子中恰有一个成立：ZWX.，三 个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：成立，此时卬“vyz,于 是（y,z,w）es, （x,y,w）es ；第二种：成立，此时4yvzw,于是 （y,z,w）eS, （x“S：第三种：成立，此时）于是（乂乙卬）小， （w小S；第四种:成

10、立，此时zvwvxvy,于是（y，z,w）eS, （%,y,w）wS综 合上述四种情况，可得（FZ，w）S, （x,y,M，）eS. A.C【命题立意】本题考查合情推理中的归纳推理以及递推数列的通项公式。等式右而的数构成一个数列1,3,4,7,11,数列的前两项相加后面的项，即/+ %+L盘+2,所以可推出外。= 123 ,选c.D由V=&乃也）3,得d=；W，设选项中常数为标则作竺；A中代入得不二竺=3.375, 3 2 V nb a168中代入得万二-3, C中代入得乃二丝母=3.14,。中代入得乃二丝口=3.142857, 230021由于D中值最接近万的真实值，故选择D。7.B结合已知

11、中的点E,F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA点时，需要碰撞14次即可. A本题考查了轨迹的识别，体现了动态数学的特点。立意清新，难度较大。根据小圆与大圆半径1： 2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆 转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M点的轨迹是个大圆，而N点的轨迹是四条线，刚 好是M产生的大圆的半径。.D本题考查了数学猜想及数学归纳法，同时体现了函数思想与函数周期性的知识，难度较 大，容易误判。选D。/（x） = 5x,/（4）=625,/（5）= 3125,/（6）=15625,/（7）=78125,/（8）

12、= 390625 2011-4 = 2008- 1,二. ”2011） = * * *8125in F + V = E + 2经观察规律，可得F + V= + 2.观察/和前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故 N（,24）= Ibr-lOn .-.（10,24） = 1000【相关知识点】归纳推理，等差数列n （n + 1）i=-2=+3=-42+-+ （-1）三（-1） .2（n N*）观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n个等式左边有n项，每项所 含的底数的绝对值也增加1, 一次为1,2,3-n,指数都是2,符号成正负交替出现可以用 （一 1）皿表

13、示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为n (n + 1)(-1) u 2,所以第 n 个式子可为 1: -2:+3: 4:+,+ ( - 1) n二二(-1)n (n + 1)g 2(nW*)考点与方法本题考查观察和归纳的推理能力，属于中等题。解题的关键在于：1.通过四 个已知等式的比较发现隐藏在等式中的规律；2.符号成正负交替出现可以用(- 1)1表 示：3.表达完整性，不要遗漏了 neN(1) 6； (2) 3x2，-4+11(1)当 N=16 时,x2x2x3x4x5x6.-xI6可设为“2,3,4,5,6,16)4 =工/3工55芭55口4,为6,即为(1，

14、3,5,79-24,6,8,16)P2 =再占%P2 =再占%”3为国内5*626即(1,5,9,13,3,7,11,152 6,16)X：位于H中的第6个位置,：(2)方法同(1)，归纳推理知xg位于P：中的第3x2”7+ll个位置.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力.需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.1 1 1 1 1 11l + r + r + r + r + rV 22 32 4 52 6261 + 1 + 1 + + 1 + 111通过观察易知第五个不等式为 2- 3- 4- 5- 6-6 15.2, 1093本题考查了学

15、生的观察、归纳推理能力以及对进位制的理解能力, (D 因 12 = 1x23+1x22+0 x21+0 x2,故/。2) = 2；(2)在2进制的2)位数中，没有。的有1个，有1个。的有个，有2个0的有个，有”个0的有个，有A 1个。的有丈二：二1个。故对所有2进制 为k位数的数，在所求式中的2的和为：l2 + CL2、l2 + CL2、Ct2+=3112772)= 2+ e 3z=1093又127 = 2, -1恰为2进制的最大7位数，所以&I 16. 本题是一个多选题，主要考查量词、直线方程与数的性质，重点考查了学生分析问题和解 决问题的能力。正确，比如直线当N取整数时，y始终是一个无理数

16、； 错，直线、二岳一夜中k与人都是无理数，但直线经过整点(1,0):正确，当直线k =0,/? = v =经过两个整点时，它经过无数多个整点；错误，当2时，直线2不通过任何整点；正确，比如直线-也只经过一个整点(i,o)。17 + ( +1) + ( + 2) + + (3n - 2) = (2n-I)2 XI*题考查了归纳推理以及学生的观察、归纳总结的能力，难度较大。由前几项可以看出等号右侧分别为广3?，5,因此第行为(2-1)二等号左侧最后一 个数字分别为1, 4, 7, 10,满足等差数列形式，因此第行为3-2,因此整个第行 为九 + ( +1) + ( + 2) + + (3n - 2

17、) = (2n -1)21& J，M= (2-)x +2本题考查了归纳推理，考查了同学们的观察能力，难度中等。观察函数式的分母中x的系 数1, 3, 7, 15可看出与n之间存在2” -1的关系，分母中的常数为2, 4, 8, 16.可知为 2,由此得出结论。【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式。前匕一1行共用了 -1)忽1 + 2+3+-(-1)2 个数，因此第附行伽之5从左向右的第3个数是全体正整5 -1)肾 3-用 + 6数中的第 2 个，即为 2。为2附+ 6答案2(1) 6： (2) 3x2t + U(1)当 N=16 时，= X42马耳”工6石6,可设为(1,2,3,4,5

18、,6,16),A =. X15x2x4x6.xI6,即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,/6),/=40*/33消内5工626,即(1，5913,3,7,11,1526,/6), x：位于P：中的第6 个位置,；(2)方法同(1)，归纳推理知xc位于P：中的第3x2t+U个位置.( I ) f,(x) = r-rxr-i =r(-xr-l),令八x) = 0,解得x = l.当Ovxvl时，r(x)1时，八幻0,所以.f(x)在(1,+8)内是增函数.故函数/(X)在x = 1处取得最小值/=0. TOC o 1-5 h z (II)由(I)知，当 xw(O，y)时，W/U) /(D =

19、 0,即 /金戈 + (1-)若q , 内中有一个为，则J心4岫+ a2b2成立：若为, %均不为3又4+2=1,可得2=1-4，于是在中令1=，=白，可得(虫卢4& +(1_&), 出出d 一即 n。a2f 她 + %(1 - 4)，亦即 4七-岫 + a2b2.综上，对q 20.% 20 , 4 , %为正有理数且4 +4=1 ,总有a，%工岫+ a2b2.(Ill) ( H )中命题的推广形式为:设g，可为非负实数，4, b2,bn为正有理数.若.+% +=1 ,则埼姆士他+ a2b2 + ”也.用数学归纳法证明如下：(1)当 =1时，=1,有qSq，成立.(2)假设当=女时，成立，即若

20、69,q为非负实数，仇也，也为正有理 数，且力I +2 + = 1，则 a? -+ a22 + + ”也.当=“ + 1时,已知4,。2,q,%i为非负实数，4也,也也+i为正有理数，且+打+4+4+1 = 1,此时04+0,于是4L J_d修建立;=(4或磴曲二(口 “: j产”，心.因一+JJ=1,由归纳假设可得1fm 1-%1-%年 瓦 a% 的 ,; + ai + + 4 ; ;1 - 4-i1-%1-%1 - 4+1Z、1一与1从而“：喈合力43+“t+一；心.14+1又因(1一初|)+限| = 1,由得/Kt5bl /Kt5bl + a2b2 + + 也1一限心姐+他+她% i J

21、1 一%=岫”2b2 +。也 +Uk1,从而崎喏43七Y* +生么+。也+%几故当办=%+1时,成立.由(1) (2)可知，对一切正整数，所推广的命题成立.说明：(HI)中如果推广形式中指出式对之2成立，则后续证明中不需讨论 =1的情 况.22.“if以工， i H/rrni-r*17.本小庖主要考杳同角三角南致的基本关系、两角和与差的三角函数公式、二俯角公式等基曲知识，考 杳运算求解能力般象极括能力、推理论证隹力，考麦特点与一破思想、化力与转业思想。满分13分. 解法一：(I)选电2)式,计算如下：sin: 15+cos215-Sm 159Ms 159 = 1 - ysin 30c=1(n)三般等珈a找硝即比)Tin a C08(303-a) = 1.征明好；sia2a+ws300-a)-3in acos(303-a)=sin2a+(cos30c a 与 in 30%加 a)2-sin a(cos30oC4)5 a+si