高斯函数有关的高考压轴题

1、董永春（成都戴氏高考中考肖家河总校数学组，四川成都，611000）1高斯函数问题的提出早年，数学王子高斯在闲暇时发现并定义了取整函数，即设xe R用x或int （x）表示不超过 x的最大整数，并用x 表示x的非负纯小数，则y x称为高斯函数， 也叫取整函数。 高斯函数x的定义域是 R值域为Z,其图象是不连续的水平线段。在初中、高中数学竞赛中经常出现含有取整函数的问题。笔者在高三复习时发现欧拉常数问题1在高考中频繁出现，同样的，高斯函数已渗透到高考，多以信息出现在压轴题的位置，高斯函数在数论中也有非常重要的作用。下面从一些考题去体会高斯函数。2高斯函数有关的准备我们只提出本文需要的一些性质x x

2、 x , x 1 x x x 1 ,10nx 10 10n 1 x表示取x的各分位小数。3高斯函数有关问题的解决例1 （2012四川16）记x为不超过实数 x的最大整数，例如， 22, 1.5 1,a xn x.0.31。设a为正整数，数列xn满足x a, xn 1 -（ n N ）,现有下2列命题：当a 5时，数列xn的前3项依次为5,3,2 ;对数列xn都存在正整数k,当n k时总有xn xk；当n 1时，xn 石1；对某个正整数k ,若xk 1 xk,则xn Va。其中的真命题有一。（写出所有真命题的编号）分析：显然成立，对于，取 a 3, xi 3,x2 1,x3 3,X4 1,为摆动

3、数列，错。 TOC o 1-5 h z aaxn xnx 1对于，由题意知 曳 和xn都是整数，故xn1 xn- xn222xn、axn 1xn -,xnxn 时，xn、axn 1xn -,xnxn 时，2xn从而一xnxna-xn xnxnxn0,即与xnxnxn a分析：此题涉及了高斯函数的性质x 1 x x ,借助均值不等式，比较复杂。其实可以分析：此题涉及了高斯函数的性质考虑特殊值法进行验证。例2 （2012成都三诊12）设x是实数，定义x为不大于x的最大整数，如 2.32,2.33 ,已知函数f(x) 3x 2.33 ,已知函数f(x) 3x 11/、2x 1, 1 x一,g(x)2

4、g(x 1) 2,00。若方程x 3f（x） 2x 0的解集为M ,f（x） 2x 0的解集为M ,方程g（x） 2x 0的解集为N ,则集合MN中的所有元素之和为(A) 1(B)0(C)1(D)21分析：3x 1 2x 0 3x 3x 127八，(A) 1(B)0(C)1(D)21分析：3x 1 2x 0 3x 3x 127八，1c, c3x 1 ,3x11, 2, HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 22312x -2 x ,；若2x34212x 3x 12C413, 4 ,若 2x 251x -；若 2x 4212，1（舍）；若47人x 一（

5、舍）；43, 5，数形结合知N 0,1,2所以答案为C。44点评：本题涉及了竞赛数学的解含有高斯函数的方程，一般的处理方法是利用性质x 1 x x很关键例3（2008湖南10,2010南充二诊12）设x表示不超过x的最大整数，（如22,01),4对于给定的n N ,对于给定的n N ,定义Cnxn(n 1)(nx1)x(x 1).( xx1)x 1,),贝U 当 x函数C8x的值域是1616八 1628(A) ,28(B),56)(C)(4, (- ,28333328(D)(4, 28,56)3分析:x 3,21616八 1628(A) ,28(B),56)(C)(4, (- ,2833332

6、8(D)(4, 28,56)3分析:x 3,2时，x 1, C8x 8为减函数，知C；2x164，t ；C8x8 7 为减函数,知C； 名，28 ,选Cx (x 1)3点评:本题体现了高斯函数的分段特色，组合数的整数问题又是一个热点研究课题O拓展变式(2011泸州诊断16)设表示不超过的最大整数(如,),对于给定的,定义C：n(n 1).(nx1),给出下列命题:C：x(x 1).( xx1)(1)log2 (1)log2 31；C3.52；.3一 .3一 x当x ,3)时，函数C8的值域是21628(4手仁町其中正确命题的序号为.(其中正确命题的序号为.(填上所有正确命题的序号分析：此题实际

7、就是上题的改编与拓展。(2012成都4中三诊12)X表示不超过X的最大整数,数列anbn分别满足an10nx 10 10n 1an 110。k 1 k 1.01Sn为数列bn的前n(2012成都4中三诊12)X表示不超过X的最大整数,数列anbn分别满足an10nx 10 10n 1an 110。k 1 k 1.01Sn为数列bn的前n项和，当1-,k77时，则S100(A)16(B)32(C)33(D)34分析：由ann10710n107n 1时,a1101010是有意义的，101014;3时,a310102;.这些式子- 0.142857142857. , an1,4,2,8,5,7,1,

8、 4,2，为周期数列。带入易知16bn 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,1，,故 S10016点评：an10nx 10 10n 1x就是取x的各分位小数，在数论2中应用很广。例5 (2012乐山一诊16).定义函数f(x) xx ,其中x表示不超过x的最大整数，如:1.51, 1.32当x 0,n (n N*)时，设函数f(x)的值域为 A,记集合 A中的元素个数为an,则式子an90的最小值为 n分析：当 x 0,1 时，f (x) x x x 00； x 1,2 时，f (x) x x5 一x 1 x 1 ； x 2,3 时，将 2,3 等分为两段，x 2,-时，f(x) x

9、x2一5 一， 一一一x 24； x ,3时，f (x) x x x 25,类似的，将 3,4等分为三段，2会得到3个函数值，将4,5等分为四段，会得到4个函数值，.，x 0,n (n N*)时有，函数的值域中元素的个数为an 1 1 2 3(n 1)1 n(n 1) ,2a2901(n ) L 易知当n 13或n 14时包一90的最小值为13. TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o Current Document n 2 n 2n点评：关键是 xx的变化将相应的区间分段是很关键的，可以通过尝试取得。例6 (2011成都五校联考16)设x R ,记不超

10、过x的最大整数为 x ,令x x x ,若已知口 后1 ，b .1 ，c 吏二，给出下列结论：21nb In a lnc; a b2222In b In a In c ； In a In b In c 0 ； In a In b In c 1 ； In a In b Inc 1.其中正确的结论是 (写出所有正确结论的序号)5 15 15 1 ,、5 1 日分析：借助 x x x ,得b 1 ,知a 1 ,易2222知正确。综上，初等数学研究已经渗透到高考和数学竞赛中， 我们应该去追溯问题的本原，让学生感受数学之美，从文化的角度去培养学生的数学素养。参考文献：1董永春，与EuIer常数有关的高考压轴题J.中学数学研究，2012, 3 (15-17)2董永春，对形如 qn2