鲁教版(五四学制)七年级下册10.5角平分线练习

1、 / 12、选择题1.2.3.4.5.6.角平分线练习如图，在RtAABC中，/C=90,BD是角平分线，若CD = m, AB=2n,贝U AABD的面积是（）A. mn B. 5mn C. 7mn D. 6mn 如图，AD是4BC的角平 分线，DFSB,垂足为F, DE = DG , AADG 和 AAED 的面积分别为60和35, 则AEDF的面积为（）A. 25 B. 5.5C. 7.5 D. 12.58DC如图，在BBC 中，ZC=90 , AD 平分/BAC, DE LAB 于E,下歹U结论： CD=ED；AC+BE=AB；/BDE = /BAC； BE=DE；Sbde： Smcd

2、=BD: AC, 其中正确的个数为（）A. 5个B. 4个C. 3个如图，点P为定角ZAOB的平分线上的一个定点， 且/MPN 与/AOB互补，若JMPN在绕点P旋转的过程中，其两边 分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN 恒成立；（2） OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的 面积不变；（4） MN的长不变，其中正确的个数为（）C.2D.18cm D. 10cmA. 4B. 3如图，RtAABC 中，#=90, BD是ZABC的平分线，DE _bAB 于点 E, AB=20cm, BC=12cm, 9BC的面积为96cm2,则DE 的长是（）A. 4cm B. 6

3、cm C. TOC o 1-5 h z tAABC 中，ZC=90, AD 是AABC 的角平分线， 若 CD =4, AC=12, AB=15,贝U AABC 的面积为（）A. 48B. 50C. 54D. 607.如图，在 AABC 中，ZACB=90 , BE 平分/ABC, DE 必B7.于点D,如果AC=3cm,那么AE+DE等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cm8.如图，已知在 那BC中，CD是表8.AB边上的高线，BE平分 BC,口（、交 CD 于点 E, BC=8, DE =4,则ABCE的面积等于（）A. 32 B. 16 C. 8D. 49. 如图，在 RtABC 中

4、，/ACB=90 , AC=6, BC=8, AD 平分/CAB 交 BC 于 D 点，E,F分别是AD, AC上的动点，则 CE+EF的最小值为(A +0o 15八 24、八A. TB.彳C.亏D. 6如图，在 F分别是AD, AC上的动点，则 CE+EF的最小值为(A +0o 15八 24、八A. TB.彳C.亏D. 6如图，在 RtAABC中，ZC=90 , =30, /C的平分线与 /B的外 角的平分线交于 E点，则/AEB是()A. 50B. 45C. 40D.35 二、填空题如图BD是4ABC的一条角平分线， AB=8, 则ADBC的面积是 .如图，BD是/ABC的平分线，DE小B

5、于 E, SzBDC=36cm2, BC=12cm,贝U DE的长是 cm.如图，已知ABC 的面积是20, OB, OC分别平 分/ABC和 ZACB, ODXBC 于 D,且 OD=3, 则AABC的周长14.是 .如图，平行四边形 ABCD的对角线AC, BD交于点O, CE平分/BCD交AB 丁点E,交BD于点F,且ZABC=60 ,AB=2BC,连接OE.下列四个结论： /ACD=30；Saaoe=Saobe；S平行四边形 abcd=AC?AD；OE： OA=1：其中结论正确的序号是 .(把所有正确结论的序号都选上)15.如图，已知：/BAC的平分线与BC的垂直平分线相 交于点D,

6、DEBB, DF 1AC,垂足分别为 E、F, AB=6, AC=3,贝U BE=.解答题16.如图，四边形ABDC中，ZD=/ABD=90 ,点 O 为 BD 的中 点，且OA平分ZBAC.(1)求证：OC平分CD;(2)求证：OA1OC;(3)求证：AB+CD=AC.17.18.如图，BE=CF, DE B的延长线于点E, DF小C于 点F,且DB=DC,求证：AD是/EAC的平分线.已知/MAN=120： AC平分/MAN,点B、D分别在AN、AM 上.(1)如图1,若小BC=ZADC=90 ,请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系,并证明之；(2)如图2,若“BC+/ADC=18

7、0 ,则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.如图，在？ABCD中，4BC的平分线交 AD于点E, 延长BE交CD的延长线于 F .(1)若ZF=40。，求小的度数；若 AB=10, BC=16, CELAD,求？ABCD 的面 积.如图，已知PBLAB, POC,且 PB=PC, D 是 AP上的一点，求证： BD=CD.角平分线练习答案、选择题.如图，在RtAABC中，ZC=90 , BD是角平分线，若CD = m,AB=2n,贝U AABD的面积是().DE=CD=m,故选：A.分线上的点到角的两边A. mn B. 5mn .DE=CD=m,故选：A.分线上

8、的点到角的两边【答案】A【解析】解：如图，过点D作DE AAB 于E,.BD 是/ABC 的平分线，/C=90 ,.ZABD 的面积=X2nm=mn,过点D作DE _bAB于E,根据角平距离相等可得DE = CD,然后根据三角形的面积公式即可得到结论. RtAADF 函AADH ( HL ),. RtAADF 函AADH ( HL ),DF _bAB,在 RtAADF 和 RtAADH 中,D.如图，AD是BC的角平分线，DFBB,垂足为F,DE = DG, AADG和BED的面积分别为 60和35,则EDF的面积为()【解析】解：如图，过点作DH必C于H ,.AD是UBC【解析】解：如图，过

9、点作DH必C于H ,.AD是UBC的角平分线,.DF=DH,SRtAADF=SRtAADH ,q f DE = DG 在 RtADEF 和 RtADGH 中，|门. RtADEFRtADGH (HL),.SRttADEF=SRt/DGH ,9DG和 小ED的面积分别为 60和35, .- 35+ SRtADEF =60- SRtzlDGH ,c25 SRtZx DEF2-1.故选D.过点D作DH /C于H,根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DF=DH ,再利用“ HL”证明RtAADF和RtAADH全等，RtADEF和RtADGH全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可本题考查了

10、角平分线上的点到角的两边距离相等的性质， 记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.3.如图，在 GABC 中，ZC=90 , AD 平分角形的面积相等列方程求解即可本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质， 记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.3.如图，在 GABC 中，ZC=90 , AD 平分/BAC, DE LAB 于E,下歹U结论： CD=ED；AC+BE=AB；/BDE=/BAC; BE=DE; Sbde：中正确的个数为（5个【答案】C【解析】解：正确,.CD=ED；)4个3个全等三角形的判定与性质,Szacd = BD： AC,其.在SBC中,ZC=90,

11、AD 平分 ZBAC, DE !AB 于 E,正确，因为由 HL可知AADCaDE 正确，因为由 HL可知AADCaDE ,所以AC=AE,即AC+BE=AB；正确，因为错误，因为 错误，因为 故选C.ZBDE和ZBAC都与ZB互余，根据同角的补角相等，所以ZBDE=ZBAC；/B的度数不确定，故 BE不一定等于 DE;CD = ED, AABD 和 BCD 的高相等，所以 Sabde： S3cd = BE: AC.根据角平分线的性质，可得 CD = ED,易证得AADCMDE,可得AC+BE=AB；由等角 的余角相等，可证得 ZBDE = /BAC；然后由/B的度数不确定，可得 BE不一定等

12、于DE ；又由CD=ED, AABD和 CD的高相等，所以 Szbde ： 此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质. 形结合思想的应用.4.如图，点P为定角/AOB的平分线上的一个定点，且又由CD=ED, AABD和 CD的高相等，所以 Szbde ： 此题考查了角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质. 形结合思想的应用.4.如图，点P为定角/AOB的平分线上的一个定点，且Saacd=BE： AC.此题比较适中，注意掌握数/MPN与/AOB互补，若ZMPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于 M、N两点，则以下结论：（1） PM = PN恒 成立；（2） OM+ON

13、的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4） MN的长不变，其中正确的个数为A.【答案】【解析】于F.B. 3)C. 2BO D. 1解：如图作 PE1OA于E, PFXOB zPEO= ZPFO=90, .zEPF+ZAOB=180 , . WPN+/AOB=180 : .-.zEPM=ZFPN, PEOA 于 E, PFOB 于 F,.-.zEPF = dMPN , .OP 平分/AOB, .PE=PF,在ZTOE和APOF中,.-.ZPOEAPOF,.OE=OF,在APEM和APFN中,心PF PEM-PFN .-.ZPEMPFN,. EM=NF, PM=PN,故（1）正确, /Sa

14、pem=Sapnf,S四边形pmon = S四边形 PEOF二定值，故（3）正确，. OM+ON = OE+ME+OF-NF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误， 故选：B.如图作PE1OA于E, PF刀B于F.只要证明 APOEPOF, APEM0在FN,即可 判断.本题考查全等三角形的性质、角平分线的性质定理、四边形的面积等知识，解题的关键 是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，RtAABC中，/C=90。，BD是/ABC的平分线， DESB于点 E, AB=20cm, BC=12cm, AABC 的面积为 96 cm2,贝U DE

15、的长是（）A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm 【答案】B【解析】解：C=90,-AC= jAB2-BC2=202-L22=16 ,. BD 是/ABC 的平分线，DE LAB, DC IBC, .DE=DC, 设 DE=x,SAADB + S/xBCD = SAABC , 1| 1 一 一 一 一 .*20?x+j?12?x=96,解得 x=16, 即DE为6cm.故选B.先利用三角形面积公式可计算出AC,再利用勾股定理计算出 AB,接着根据角平分线的性质得 DE=DC ,设 DE=x,然后利用 Saadb+Szbcd= Saabc得到；？20?x+, ?12?x=96

16、,再解方程求出x即可.本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也考查了三角形面积公式.如图，在 RtAABC中，ZC=90 , AD是BC的角平分线，若CD=4,AC=12,AB=15,则 UBC的面积为（）.AD是那BC的角平分线,.AD是那BC的角平分线,. DE = CD=4,1Itl2XACXDC+AB DE=54,【答案】C【解析】解：作DEAB于E,ZC=90 , DE 必B,.ABC的面积为：故选：C.作DEBB于E,根据角平分线的性质求出DE,根据三角形的面积公式计算即可.本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.

17、如图，在 BBC 中，ZACB=90, BE 平分小BC, DEAB 于点D,如果 AC=3cm,那么 AE+DE等于（）A. 2cmB. 3cmC. 4cm【答案】B【解析】解：zACB=90 , BE 平分/ABC, DE 必B,.DE=EC,.AE+DE=AE+EC=AC=3cm,故选B.由角平分线的性质可得 DE=EC,则AE + DE=AC,可求得答案.本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关 键.如图，已知在 AABC中，CD是AB边上的高线，BE平分/ABC，交CD于点E, BC=8, DE=4,则4BCE的面积等于（）A. 32 B. 16 C

18、. 8 D. 4【答案】B【解析】解：过E作EF1BC于F, ,.CD是AB边上的高，BE平分 4BC,交CD 于点 E, DE=8, ,.BC=8,故选B.过CD 于点 E, DE=8, ,.BC=8,故选B.过E作EF IBC于F ,根据角平分线性质求出EF=DE=8,根据三角形面积公式求出即可.XEF=XEF=刈=16,本题考查了角平分线性质的应用，能根据角平分线性质求出 EF=DE=8是解此题的关键，注意：在角的内部，角平分线上的点到角的两边的距离相等.如图，在 RtABC 中，ZACB=90 , AC=6, BC=8, AD 平分/CAB 交 BC 于 D 点，巳F分别是AD, AC

19、上的动点，则 CE+EF的最小值为（A.2-1B.C.D. 6A.2-1B.C.D. 6【答案】C【解析】解：如图所示：在 AB上取点C,使AC =AC,过点C作C F必C,垂 足为F,交AD与点E.在Rt在Rt9BC中，依据勾股定理可知 BA=10.AC=AC , /CAD = C AD , AE=C E,ZAEgMEC. .CE=EC. .CE+EF=C E+EF.当C F4C时，CE+EF有最小值. . C FAC, BC1AC, . C F/BC.3FC sMCB.FC AC Rn FC “曰匚 21.正二而，即守=而解得FC k 故选：C.依据勾股定理可求得 AB的长，然后在 AB上

20、取点C,使AC =AC,过点C作 C FBC,垂足为F,交AD与点 巳 先证明C E=CE,然后可得到 CE+EF=C E+EF, 然后依据垂直线段最短可知当点C FAC时，CE+EF有最小值，最后利用相似三角形的性质求解即可.本题主要考查的是相似三角形的性质、勾股定理的应用、轴对称图形的性质，熟练掌握 相关图形的性质是解题的关键.如图，在 Rt祥BC 中，ZC=90 , /A=30, /C 的 角的平分线交于 E点，则/AEB是（）A. 50B. 45C. 4035 【答案】B 【解析】解：.E在/C的平分线上， E点到CB的距离等于 E到AC的距离， .E在/B的外角的平分线上， E点到C

21、B的距离等于E到AB的距离， . E点到AC的距离等于E到AB的距离， . AE是/A的外角的平分线.在 RtABC 中，/C=90 , /A=30 , 15厅 zABC=60 ,84二丁=75-.EB是/B的外角的平分线，. zABE=60 ,.zAEB=180 -60 -75 =45 ,故选B.首先求得AE也是/A的外角的平分线，根据平角的定义和角平分线的定义求得ZEAB,/EBA的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得小EB.此题主要考查角平分线的定义和性质，求得AE是小的外角的平分线，是关键.二、填空题）11.如图BD是那BC的一条角平分线， AB=8, BC=4, 则ADBC的面积

22、是 .【答案】8【解析】 解：如图，过点 D作DE必B于E, DF1BC于F,.BD是4ABC的一条角平分线， .DE=DF,.AB=8, BC=4, 111. Szabc= .AB?DE+BC?DF =X8?DF +X4?DF =24 , 一 I1.ZDBC 的面积=BC?DF = h44=8.故答案为：8.过点D作DE必B于E, DF1BC于F,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE = DF,然根据 9BC的面积列式求出 DF的长，再根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解.三角形的面积，作辅助线是cm.DE=DF=6,故答案为：6性质定理得至三角形的面积，作辅助线是cm.DE=

23、DF=6,故答案为：6性质定理得至U DE = DF,利用角平分线的性质的关键，也是本题难点.如图，BD 是4BC 的平分线，DELAB 于 E, SDc=36cm2,BC=12cm,贝U DE的长是【答案】6【解析】解：作DF1BC于F,.BD是/ABC的平分线，DE必B,XDF=36,.DE=DF,XDF=36,答：DE的长为6,作DF LBC于F ,根据角平分线的 根据三角形的面积公式计算得到答案.本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的 关键.如图，已知 9BC的面积是20, OB, OC分别平分/ABC和ZACB, OD1BC于D,且OD=3,则那

24、BC的周长是 . AB+BC+AC；,【答案】. AB+BC+AC；,【解析】解：如图，连接OA,.OB、 OC 分另平分 /ABC 和/ACB,.点O到AB、AC、BC的距离都相等，加BC的面积是20, OD 1BC于D ,且t/Szabc= . X ( AB+ BC+AC) 在20 .故答案为：y.根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O至IJAB、AC、BC的距离都相等，从而可得到AABC的面积等于周长的一半乘以OD,然后列式进行计算即可求解.本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键.14.如图，平行四边形 ABCD的对角线AC

25、, BD交于点O, CE 平分ZBCD交AB 丁点 巳交BD于点F,且/ABC=60, AB=2BC, 连接OE.下列四个结论： /ACD=30；Szaoe=Saobe；S平 行四边形abcd=AC?AD；OE： OA=1：书,其中结论正确的序号是 .（把所有正确结论的序号都选上） 【答案】【解析】解：.四边形ABCD是平行四边形，.zABC= ZADC=60 , /BAD=120 , . CE平分/BCD交AB于点E,.zDCE=ZBCE=60ZCBE是等边三角形，.BE=BC=CE,.AB=2BC,.AE=BC=CE,. zACB=90 ,.zACD=ZCAB=30 ,故正确；.AC _L

26、BC,. S?abcd=AC?BC,故正确，在 RtAACB 中，ZACB=90 , dCAB=30 , , AC=.;3BC,.AO=OC, AE=BE, . OE= BC,. OE： AC=_ , ，向?。. OE: AC=J: 6,故正确；.AE=BE,/Szaoe=Saobe,故正确；故选：.由四边形ABCD是平行四边形，得到 ZABC=ZADC=60 , ZBAD=120 ,根据角平分线的 定义得到/DCE=ZBCE=60推出ACBE是等边三角形，证得 ZACB=90 ,求出ZACD=ZCAB=30 ,故正确；由 AC1BC,得至U S?abcd=AC?BC ,故正确，根据直角 三角

27、形的性质得到 AC=BC,根据三角形的中位线的性质得到OE=BC, AE=BE,于是得到；Szaoe=Szobe ； OE ： AC= ? ： 6 ；故正确.此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质. 注意证得AABE是等边三角形，OE是UBC的中位线是关键.15.如图，已知：/BAC的平分线与BC的垂直平分线相 交于点D, DE AB, DFXAC,垂足分别为 E、F, AB=6 ,AC=3,贝U BE=.【答案】1.5 TOC o 1-5 h z 【解析】解：连接CD, BD,入.AD是/BAC的平分线，. DF = DE, ZF = ZDEB=90, .A

28、E=AF, .CD=BD,l 3 ED iDF=DE,. DF = DE, ZF = ZDEB=90, .AE=AF, .CD=BD,l 3 ED iDF=DE,.DG是BC的垂直平分线，A I 、AE B在 RtACDF 和 RtABDE 中,. RtACDF RtABDE ( HL ),.BE=CF,.AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE,.AB=6, AC=3, . BE=1.5.故答案为：1.5.首先连接 CD , BD ,由ZBAC的平分线与 BC的垂直平分线相交于点 D, DE必B , DF AAC, 根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD

29、, DF = DE,继而可得AF=AE,易证得 RtACDF RtABDE ,则可得BE=CF,继而求得答案.此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用.三、解答题16.如图，四边形 ABDC中，/D=BD=90,点。为BD的中点, 且OA平分/BAC .(1)求证：OC平分/ACD；(2)求证：OAC;(3)求证：AB+CD=AC.【答案】 证明：(1)过点。作OELAC于E, zABD=90 , OA 平分 /BAC ,.OB=OE,点。为BD的中点，. OB=OD,. OE=OD,. OC 平分

30、 ZACD ;(2)在 RtAABO 和 RtAAEO 中，. RtAABORtAAEO ( HL ), .zAOB=/AOE,同理求出ZCOD=ZCOE, Il.zAOC=ZAOE + /COE=iM80 =90 ,.OAIOC；.RtAABO RtAAEO, .AB=AE, 同理可得CD=CE, .AC=AE+CE, .AB+CD=AC.【解析】(1)过点O作OEAC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OB=OE ,从而求出OE=OD ,然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明；(2)利用“ HL”证明AABO和UEO全等，根据全等三角形对应角相等可得ZAOB=ZAOE

31、,同理求出/COD = /COE,然后求出/AOC=90,再根据垂直的定义即可 证明；(3)根据全等三角形对应边相等可得AB=AE, CD=CE,然后证明即可.本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.17.如图，BE=CF, DE LAB的延长线于点 E, DF LAC于点F,且DB=DC,求证：AD是/EAC的平分线.【答案】证明：DE LAB的延长线于点 E, DFmC于点F,.-.zBED=ZCFD ,ZBDE与4CDE是直角三角形，在RtABDE和RtKDF中|

32、访=涛，. RtABDERtACDF （ HL ）,.DE=DF,.DE 1AB的延长线于点 巳 DFBC于点F,. AD是/BAC的平分线.【解析】 首先证明RtABDERtACDF ,可得DE = DF,再根据到角的两边的距离相等的 点在角的平分线上可得 AD是ZEAC的平分线.此题主要考查了角平分线的判定，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.18.已知/MAN=120 , AC 平分 JMAN,点 B、D 分别在 AN、AM 上.（1）如图1,若 BC = DC=90 ,请你探索线段 AD、AB、AC之间的数量关系，并 证明之；（2）如图2,若BC+DC=180 ,则（1）

33、中的结论是否仍然成立？若成立，给出证 明；若不成立，请说明理由.【答案】（1）关系是：AD+AB=AC（1分）证明：.AC 平分 JMAN, ZMAN=120.zCAD=ZCAB=60又 zADC = ZABC=90 ,.zACD=CB=30 （2 分）则AD=AB=；AC （直角三角形一锐角为 30。，则它所对直角边为斜边一半）（4分） . AD+AB=AC （5 分）；（2）仍成立.证明：过点 C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为 E、F （6分） .AC 平分 /MAN. CE=CF （角平分线上点到角两边距离相等）（7分）热BC+/ADC=180 , 小DC + /CDE=180 .zCDE=ZABC又/CED=/CFB=90 , . &ED03FB （AAS） （10 分）. ED=FB, .AD+AB=AE-ED+AF+