线性代数期末复习提纲课件

1、（3） kA k A ；i 1aij Aij A，i j； （8） aij Aij 线性代数复习提纲第一章行列式【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用克莱姆法则2、几个重要公式：（1） A AT ； （2） A1A1；nn1（4） A * A； （5） AB A B ； （6）A *0 BA 0* B A B ；（7）n A，i j 0，i jnj 1 0，i j（其中 A, B 为 n 阶方阵， k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形；（2）利用行列式的展开定理降阶；（3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟

2、记几个特殊行列式的值。2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算 3-5 阶行列式的值。4、会计算简单的 n 阶行列式。5、知道并会用克莱姆法则。-1-第二章矩阵【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。2、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。3、 n 阶矩阵 A 可逆 A 0 A 为非奇异(非退化)的矩阵。 R( A) n A 为满秩矩阵。 AX 0 只有零解 AX b 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的特征值全不为零。 A 可以经过初等变换化为单位矩阵。 A 可以表示成一系列初等矩阵的

3、乘积。5、矩阵的初等变换与初等矩阵的定义、性质及其二者之间的关系。6、矩阵秩的概念及其求法（1）定义法；（2）初等变换法）。7、矩阵的分块，分块矩阵的运算：加法，数乘，乘法以及分块矩阵求逆。【要求】1、 了解矩阵的定义，熟悉几类特殊矩阵（单位矩阵，对角矩阵，上、下三角形矩阵，对-2-称矩阵，可逆矩阵，伴随矩阵）的特殊性质。2、熟悉矩阵的加法，数乘，乘法，转置等运算法则，会求方阵的行列式。3、熟悉矩阵初等变换与初等矩阵，并知道初等变换与初等矩阵的关系。4、掌握矩阵可逆的充要条件，会求矩阵的逆矩阵。5、掌握矩阵秩的概念，会求矩阵的秩。第三章线性方程组【主要内容】1、向量、向量组的线性表示：设有单个

4、向量 b ，向量组 A ：1 , 2 , n ，向量组 B ：1 , 2 , m ，则向量 b 可被向量组 A 线性表示 R(1 , 2 , n ) R(1 , 2 , n , b)2、向量组的线性相关性判别向量组1 , 2 , s 的线性相关、线性无关的常用方法：方法一：（1）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 只有零解 向量组1 , 2 , s线性无关；（2）向量方程 k11 k2 2 ks s 0 有非零解 向量组1 , 2 , s 线性相关。方法二：求向量组的秩 R(1 , 2 , s )-3-4-（1）秩 R(1 , 2 , s ) 小于个数 s 向量组1 , 2 , s 线性

5、相关（2）秩 R(1 , 2 , s ) 等于个数 s 向量组1 , 2 , s 线性无关。（3）特别的，如果向量组的向量个数与向量的维数相同，则向量组线性无关 以向量组1 , 2 , s 为列向量的矩阵的行列式非零；向量组线性相关 以向量组1 , 2 , s 为列向量的矩阵的行列式为零。3、向量组的极大无关组的概念（与向量空间的基、齐次线性方程组的基础解系的关系）及其求法。4、等价向量组的定义、性质、判定。5、向量组的秩与矩阵的秩之关系。6、齐次线性方程组 Ax 0 只有零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n；7、齐次线性方程组 Ax 0 有非零解 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n.8、

6、非齐次线性方程组 Ax b 无解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩；9、非齐次线性方程组 Ax b 有解 增广矩阵 B ( A, b) 秩 系数矩阵 A 的秩特别地，1）增广矩阵 B ( A, b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n 非齐次线性方程组 Ax b 有唯一解；2）增广矩阵 B ( A, b) 的秩 系数矩阵 A 的秩 未知量个数 n 非齐次线性方程组 Ax b 有无穷多解。【要求】1、掌握向量组、线性组合和线性表示的概念，知道两个向量组等价的含义。2、掌握向量组线性相关、线性无关的定义，并会判断一个具体向量组的线性相关性。3、知道向量组的秩与矩阵的秩的关

7、系，会求一个具体向量组的秩及其极大无关组。4、掌握齐次线性方程组解的性质、基础解系的求法，5、掌握非齐次线性方程组解的结构，熟悉非齐次线性方程组有解的等价条件。6、知道齐次与非齐次线性方程组的解之间的关系。7、会求解非齐次线性方程组。第四章矩阵的特征值【主要内容】1、向量的内积、长度、夹角等概念及其计算方法。2、向量的正交关系及正交向量组的含义。3、施密特正交化方法。4、方阵的特征值与特征向量的概念及其计算方法。（1）特征值求法：解特征方程 A E 0 ；（2）特征向量的求法：求方程组 A E X 0 的基础解系。1有相同的特征值)。-5-7-常用判定二次型正定的方法：（1）定义法（2）特征值

8、全大于零（3）顺序主子式全大于零4、利用海赛矩阵求极值。【要求】1、掌握二次型的概念、会化二次型为标准形。2、知道正定二次型的概念及其判定方法。线性代数练习题一、单项选择题(C) a b(A) a b(D) a b-8-1、行列式 40021 3 8 中，元素 a22 的代数余子式是 1 2（A）1 00 2（B ）0 2 101 00 2（C ） （D） 1 00 22、二阶行列式a a 2b b 2的值为33(B) ab(b a)33223、设行列式 2121 1 1kk0 0 ，则 k 的取值为（）（A）2（B）-2 或 3（C）0（D）-3 或 2c2c1b24、若行列式 b1a3a2

9、a1a3a2a1b2b3 =1，则 b1c3c2c1b3 =（A）1c3（B）2（C）0（D） 15、设 a，b，c，d 为常数，则下列等式成立的是（A）a bc d1 a b2 2a c 2b d（ B）b 1d 1a 1c 1a b 1c d 1（C）a bc d2a 2b2c 2d 2（D）a 1 b 1c 1 d 1ab 1cd 1则 AB 1 3 （C）若 A 是 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 A A 1 2 1 B b1 , b2 , b3 ， 且 A B 0- 10 -（C） ( A B) 1 A1 B 1（D） A A A*111、设矩阵 A 1 2 1 3 ， B 0 ，则

10、 BA 2 1 2 3 (A) 0 0 0 2 4 6 1 (B) 0 6 (C)（1,0,6）(D) 7 4 2 2 T12、设行矩阵 A a1 , a2 , a3 ,T（C） 2（D） -2（A） 113、下列命题正确的是（B） -1B.（A）若矩阵 A, B 满足 AB O ，则有 A O 或 B O（B）若矩阵 A, B 满足 AB E ，则矩阵 A, B 都可逆。n* *（D）若 A O ，则 A 01414、设 A, B 为三阶矩阵, A 2 , B 1, 则 2( BA)= 2 1 4 的逆矩阵是18、设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵，则分块矩阵 2 10 ， 4 1 1 17

11、、向量组1 ， 2 1 5 3 1 ，3 (A) 4(B) 1(C) 16(D)1215、下列说法不正确的是(A）相似矩阵有相同的特征值。(B） n 阶矩阵可对角化的充要条件是它有 n 个不同的特征值。(C） n 元齐次线性方程组 Ax 0 有非零解的充要条件是 R( A) n 。（D）正交的向量组一定是线性无关的。16、 n 维向量组1 , 2 , s (3 s n) 线性无关的充要条件是(A) 存在一组不全为零的数 k1 , k2 , k s 使 k11 k2 2 k s s 0(B)(C)(D)1 , 2 , s 中任意两个向量线性无关1 , 2 , s 中存在一个向量可由其它向量线性表

12、出1 , 2 , s 中任何一个都不能由其它向量线性表出 1 3 3 2 6 的秩为.（A）1（B） 2（C） 3（D） 4 0 B- 11 -A 0 .（A） BA1 0 （B） 0 A1 （C） AB 1 0 （D） 0 B 1 (C) A B（C） A B- 12 - 01 01 B 1 0 A 1 0 1 b 2 0 1 (B) a 3, b 0(D) a 1, b 0(A) a 1, b 2(C) a 3, b 220、设 A 可逆，则 XA B 的解是(A) AB(B) BA11(D) BA21、下列说法正确的是()。(A) 任何矩阵经过初等行变换都可化为单位矩阵。(B) 设方阵

13、A 是非奇异性的，A 经过初等行变换得到阶梯阵 B，则方阵 B 为奇异的。(C) 初等矩阵都是可逆的。(D) 矩阵经过初等行变换后，其秩会发生改变。22、设 A，B 都是可逆矩阵，则 AB 的逆是（A） AB（B） BA111A1（D） B10.设矩阵 A 0 01 k 1 12设矩阵 A 11设 A ， B 是两个可逆矩阵，则分块矩阵 1 1 k B 6.设 A, B 为 3 阶方阵，且 A 4, 2 ，则 2(B* A1 ) 1 1 1 7.设矩阵 A 0 2 2 ，则 AT A 0 0 3 a 0 0 8.设 A 0 b 0 ，则 An 0 0 c 12 0 0 1 0 0 0 3 30

14、 2 1 101，则 A1 A 0 0 B k 11 11 1 1 k 1 1 的秩 R( A) 3 ，则 k 13若向量组1 , 2 , 3 线性无关，且 k11 k2 2 k3 3 0 ，则数 k1 , k 2 , k3 1 0 1 1 14.向量组1 1 ， 2 1 ， 3 1 ， 4 2 中不能由其余向量线性表示的是 0 1 1 1 - 14 - 23.若向量 与向量 3 0 4 3 15.向量组1 (1,0,1), 2 (2,3,4), 3 (1,0,0) 的秩为_16在线性方程组 AX O 中，若未知量的个数 n=5， r( A) 3 ，则方程组的一般解中自由未知量的个数为_ 1

15、2 2 3 3 4 4 5 则 AX b 的通解为 a2 , a1 a2 a3（填线18设向量组 a1 , a2 , a3 线性无关，则向量组 a1 , a1性相关，线性无关）。19设 n 元线性方程组 AX b 有解，则当 R( A)时， AX b 有无穷多解。20若 3 阶方阵 A 的特征值分别为 1，-1，2，则 B A E 的特征值为122 设 向 量 组1 1 0 3 5T ， 2 1 2 1 3T ， 3 1 1 2 6T ， 4 1 1 2T 线性相关，则 1 2 2 k 正交，则 k 24已知三阶矩阵 A 的特征值为 1 0, 2 1, 3 1 ，其对应的特征向量分别是- 15

16、 -0 1 3 的秩。 2 4x2 2 x41 0 2 1 ， 2 ， 1 ， 3 ，的一个极大无关组。 2 1 4 8、已知向量组1 1,0,2,1 ，2 1,2,0,1，3 0,1,1,1 ， 4 1,1,1,0 ， 3 3 11 x1 2 x3 x4 1- 17 - 1 2 3 1 5 1 2 3 2 8 5、求 A 21 2 26、求方阵 A 2 00 2 的特征值与特征向量。0 7、求向量组1 0 1 1 2 1 1 0 12 3 4T TT T5 3,2,4,0T ，求该向量组的秩，并求其一个极大无关组。x1 x2 x3 12 x1 kx3 210、设线性方程组 AX b 的一般解

17、为 ， x3 , x4 为自由变量，求 AX b 的通解。11、设 A 为 34 矩阵， R( A) 2 ，若非齐次线性方程组 Ax b 的三个解分别为： 1 1 ， 2 1 ， 4 5 ，- 18 -求： （1）齐次线性方程组 Ax 0 的通解；（2）非齐次线性方程组 Ax b 的通解.12、求一个正交变换 x Py ，把下面的二次型化为标准形f ( x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22 3x32 4x2 x3四、证明题2 T2. 证明：若向量 x 是方阵 A 的同时属于特征值 1与2 的特征向量，则有 1 23设 1 , 2 是 n 阶方阵 A 的不同特征值， X 1 , X 2

18、 分别是 A 的对应于 1 , 2 的特征向量，证明： X 1 X 2 不是 A 的特征向量. E B E A4证明：若矩阵 B 相似于 A ，则线性代数模拟试题答案一、单项选择题1、AAB2、B9、C16、D3、B10、B17、C4、D11、A18、C5、B12、C19、C6、C13、B20、D7、A14、C21、C8、15、22、D23、B24、C25、B5、 A AB BA B a n 00 17、k （注：此题答案不唯一） 121、 1 , 2 , n0 110、 111、 二、填空题1、 5!2、 103、244、1226、8 1 1 1 7、 1 5 5 1 5 14 0 c n

19、8、 An 00b n09、 ( A1 )0 0 1 0013231 20 00 0B 1 A112、 313、 k1 k2 k3 0 114、 3 1115、316、2 1 1 1 2 1 31 4 18、线性无关19、小于 n20、2 , 0 , 31 1 122、223、524、 0 125、 2, 3, 326、 1727、 1 t 1三、计算题- 19 -将已知等式 AB A XX 整理得： A XX (B E)2 1 0 1 0 51 1 - 20 -01 240 501 241、解： 20214 50 0 1 1 34 1 0 0 1 0 5 1 2 1 4 7 2、解： AB

20、0 1 = 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 3、解： A 0 A1 存在，用 A1 右乘方程 XA I 两边，得 X A1又 1 0 1 0 1 121 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 41 1 3 0 0 1 0 0 1 3 1 121 1 4 5 31所以， AT4、解： XX 1 11 11 1 1 1 11 1 1 = 1 1 11 11 11 1 1及 B 1 11 1 11T T1 2 0 1 3 2 4x1 0 1 11 11 1 1 1 1所以 A 1 2 3 1 5 1 2 3 2 8 5 、 解 ： 对 矩 阵 A 施 行 初 等 行 变 换 得 ， A

21、 1 2 3 1 5 0 0 0 0 0 所以 r( A) 26、解：矩阵 A 的特征多项式为：00 (3 )(1 ) 2 2 1 5 41 A E 2 2令 A E 0 ，解得 A 的特征值为：1 3, 2 3 1. 当 1 3 时，求解齐次线性方程组 ( A 3E) x 0 的基础解系，由 A 3E 2 2 2 0 1 1 2 4 4 0 0 0 x2 x3 0得对应的方程组为 0 ,从而解得基础解系 p1 1 1 于是属于特征值 1 3 的全部特征向量为 kp1 ，其中 k 为任意非零常数。当 2 3 1 时，求解齐次线性方程组 ( A E) x 0 的基础解系， 由- 21 - 2 1

22、(1 , 2 , 3 , 4 ) 2 2 1 03 A 00 1 1 40 0 00 0 0 0 0 0 0 1 A E 2 4 2 0 0 0 2 4 2 0 0 0 得对应的方程组为 x1 2x2 x3 0 , 从而解得基础解系 p2 1 , p3 0 0 1 于是属于特征值 2 3 1 的全部特征向量为 kp2 lp3 ， 其中数 k , l 是不同时为零的任意常数。7 、解：以已知向量组为列向量构成矩阵，并对其进行初等行变换得， 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 11 1 2 0 0 0 0 所以，所求向量组的极大无关组为：1 , 2 。a4a3a28、解：记矩阵 A a1a5 ，对其进行初等变换得 1 02 11 1 1 0 1 3 2 1 1 2 1 0