二次函数定义图像性质

1、二次函数定义、图像及性质二次函数定义、图像及性质二次函数定义、图像及性质讲课内容二次函数的定义、图像及性质讲课老师XX老师讲课时间2018.11.1618:30-20:30讲课时长4学时学生姓名xx年级九年级学校xx下节内容二次函数的实践与研究二次函数的定义、图像及性质一、基本见解：1二次函数的见解：一般地，形如yax2bxc（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数a0，而b，c能够为零二次函数的定义域是全体实数二次函数yax2bxc的构造特色：等号左边是函数，右边是对于自变量x的二次式，x的最高次数是2a，b，c是常数，a是二次项系数，b是

2、一次项系数，c是常数项二、基本形式1.二次函数基本形式：yax2的性质：的绝对值越大，抛物线的张口越小。a的符号张口方向极点坐对称性质标轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，0y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0 x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，0y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值02.yax2c的性质：（上加下减）第-1-页共9页a的符号张口方向极点坐对称性质标轴x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随a0向上0，cy轴x的增大而减小；x0时，y有最小值cx0时，y随x的增大而减小；x0时，y随a0向下0，cy轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c

3、yaxh2的性质：（左加右减）a的符号张口方向极点坐对称性质标轴xh时，y随x的增大而增大；xh时，ya0向上h，0X=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值0 xh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下h，0X=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值04.yaxh2k的性质：a的符号张口方向极点坐对称性质标轴xh时，y随x的增大而增大；xh时，ya0向上h，kX=h随x的增大而减小；xh时，y有最小值kxh时，y随x的增大而减小；xh时，ya0向下h，kX=h随x的增大而增大；xh时，y有最大值k三、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法1：将抛物线分析式转变为极点式yaxh2h，k；k，

4、确立其极点坐标保持抛物线yax2的形状不变，将其极点平移到h，k处，详细平移方法以下：第-2-页共9页向上(k0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“值正右移，负左移；k值正上移，负下移”归纳成八个字“左加右减，h上加下减”方法2：yax2bxc沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，yax2bxc变为yax2bxcm（或yax2bxcm）yax2bxc沿轴平移：向左（右）平移m个单位，yax2bxc变为ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）四、二次函数y2k与

5、yax2c的比较axhbx从分析式上看，yaxh2k与yax2bxc是两种不同样的表达形式，后者经过配方能够得2b2b，k2到前者，即yaxb4ac，此中h4acb2a4a2a4a五、二次函数yax2bxc图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数yax2bxc化为极点式ya(xh)2k，确立其开口方向、对称轴及极点坐标，此后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们采用的五点为：极点、与y轴的交点0，c、以及0，c对于对称轴对称的点2h，c、与x轴的交点x1，0，x2，0（若与x轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与x轴的交点，与y轴的交

6、点.六、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为xb，极点坐标为b，4acb22a2a4a当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y随x的增大而增大；当xb时，y有2a2a2a第-3-页共9页最小值4acb24a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为xb，极点坐标为b，4acb2当xb时，2a2a4a2ay随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当xb时，y有最大值4acb22a2a4a七、二次函数分析式的表示方法1.一般式：yax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：ya(xh)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：ya(xx1)(xx2)（

7、a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但其实不是全部的二次函数都能够写成交点式，20时，抛物线的分析式才能够用交点式表示二次函数只有抛物线与x轴有交点，即b4ac分析式的这三种形式能够互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数yax2bxc中，a作为二次项系数，明显a0当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小一次项系数b在

8、二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边2a在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点ab的符号的判断：对称轴xb在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab0，归纳的说2a第-4-页共9页就是“左同右异”总结：常数项c当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上

9、方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，平常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的分析式必然依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简单一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已

10、知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称yax2bxc对于x轴对称后，获得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2；k对于x轴对称后，获得的分析式是k对于y轴对称yax2bxc对于y轴对称后，获得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2k对于y轴对称后，获得的分析式是k；对于原点对称yax2bxc对于原点对称后，获得的分析式是yax2bxc；yaxh2yaxh2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180）2yax2bxc对于极点对称后，获得的分析式是ya

11、x2bxcb；2ayaxh2yaxh2kk对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称第-5-页共9页22kyaxhk对于点m，n对称后，获得的分析式是yaxh2m2n依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必然不会发生变化，所以a永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依据题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确立其对称抛物线的极点坐标及张口方向，此后再写出其对称抛物线的表达式十、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点状况）：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax

12、2bxc当函数值y0时的特别状况.图象与x轴的交点个数：当20时，图象与x轴交于两点Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，此中的x1，x2是一元b4ac二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx2x1b24ac.a当0时，图象与x轴只有一个交点；当0时，图象与x轴没有交点.1当a0时，图象落在x轴的上方，不论x为任何实数，都有y0；2当a0时，图象落在x轴的下方，不论x为任何实数，都有y02.抛物线yax2bxc的图象与y轴必然订交，交点坐标为(0，c)；二次函数常用解题方法总结：求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转变为一元二次方程；求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由

13、一般式转变为极点式；依据图象的地点判断二次函数yax2bxc中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的地点，要数形联合；0抛物线与x轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0抛物线与x轴只二次三项式的值为非一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点负0抛物线与x轴无二次三项式的值恒为一元二次方程无实数根.交点正二次函数的图象对于对称轴对称，可利用这一性质，乞降已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bxc(a0)自己就是所含字母x的二次函数；下边以a0时为例，揭

14、示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：第-6-页共9页二次函数察看要点与常有题型1察看二次函数的定义、性质，有关试题常出此刻选择题中，如：已知以x为自变量的二次函数y(m2)x2m2m2的图像经过原点，则m的值是2综合察看正比率、反比率、一次函数、二次函数的图像，习题的特色是在同向来角坐标系内察看两个函数的图像，试题种类为选择题，如：如图，假如函数ykxb的图像在第一、二、三象限内，那么函数ykx2bx1的图像大概是（）yyyy110 xo-1x0 x0-1xABCD3察看用待定系数法求二次函数的分析式，有关习题出现的频次很高，习题种类有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛

15、物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x5，求这条抛物线的分析式。34察看用配方法求抛物线的极点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：已知抛物线23yaxbxc（a0）与x轴的两个交点的横坐标是1、3，与y轴交点的纵坐标是2（1）确立抛物线的分析式；（2）用配方法确立抛物线的张口方向、对称轴和极点坐标.察看代数与几何的综合能力，常有的作为专项压轴题。【例题经典】由抛物线的地点确立系数的符号例1（1）二次函数yax2bxc的图像如图1，则点M(b,c)在（）aA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限（2）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图2所示，?则以下结论：

16、a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只好取0.此中正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个(1)(2)【谈论】弄清抛物线的地点与系数a，b，c之间的关系，是解决问题的要点2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2，O)、(x1，0)，且1x12，与y轴的正半轴的交点在点(O，2)的下方以下结论：abO；4a+cO，此中正确结论的个数为()第-7-页共9页A1个B.2个C.3个D4个会用待定系数法求二次函数分析式例3.已知：对于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为x=-2，且二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=2，则

17、抛物线的极点坐标为()A(2，-3)B.(2，1)C(2，3)D(3，2)例4、（2006年烟台市）如图（单位：m），等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直线L向正方形挪动，直到AB与CD重合设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym2（1）写出y与x的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形挪动了多长时间？求抛物线极点坐标、对称轴.5、已知抛物线y=1x2+x-521）用配方法求它的极点坐标和对称轴2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长【谈论】此题（1）是对二次函数的“基本方法”的察看，第（2）问主要察看二次函数与一元

18、二次方程的关系例6.已知：二次函数y=ax2-(b+1)x-3a的图象经过点P(4，10)，交x轴于A(x1,0)，B(x2,0)两点(x1x2)，交y轴负半轴于C点，且知足3AO=OB(1)求二次函数的分析式；(2)在二次函数的图象上能否存在点M，使锐角MCOACO?若存在，请你求出M点的横坐标的取值范围；若不存在，请你说明原因例7、“已知函数y1x2bxc的图象经过点A（c，2），2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了没法鉴其他文字。（1）依据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数分析式？若能，请写出求解过程，并画出二次函数图象；若不可以够，请说明原因。2）请你依据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适合的条件，把原题增补圆满。谈论：对于第（1）小题，要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数分析式，就要把本来的结论“函数图象的对称轴是x=3”看作已知来用，再联合条件“图象经过点A（c，2）”，就能够列出两个方程了，而分析式中只有两个未知数，所以能够求出题中的二次函数分析式。对于第（2）小题，只需给出的条件能够使求出的二次函数分析式是第（1）小题中的分析式就能够了。而从不同样的角度考虑能够增添出不同样的条件，能够考虑再给图象上的一个随意点的坐标，能够