高数高频易错点

1、真诚服务，共同进步真诚服务，共同进步商学院学生学习部商学院学生学习部经济数学一一微积分复习提纲第一章函数1、函数的定义域及分段函数的求值。2、基本初等函数：募函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。3、常用的经济函数（需求函数、供给函数、总成本函数、总收益函数、总 利润函数、库存函数）第二章极限与连续1、无穷小的定义与性质。）极限为零的变量称为无穷小量。注：（1）无穷小量是个变量而不是个很小的数.2）零是常数中唯一的无穷小量。）无穷小的性质：有限个无穷小的代数和是无穷小

2、、有界函数与无穷 小的乘积是无穷小、常数与无穷小的乘积是无穷小、有限个无穷小的乘积 也是无穷小。）函数极限与无穷小的关系：的充要条件是 ，其中A为常数，。2、无穷大的定义。在某一变化过程中，若f（x）的绝对值无限增大，则称函数f（x）为此变 化过程中的无穷大量。注：无穷大是变量，不是一个绝对值很大的数。3、无穷大与无穷小互为倒数。4、极限的运算法则。见教材P48定理1、2、3、4及推论1、25、两个重要极限。会用重要极限求函数极限。6、会用等价无穷小代替求极限7、连续的定义。见教材P66函数f(x)在点x0处连续，必须同时满足三个条件：1) 在点x0处有定义；2)存在；3)极限值等于函数值，即

3、 。8、函数 在点 连续的充分必要条件是：既左连续又右连续。9、函数在点处连续与该点处极限的关系：函数在点处连续则在该点处必有极限，但函数在点处有极限并不一定在该点连续。10、如何求连续函数的极限连续函数极限必存在，且极限值等于函数值，即11、对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。12、如何求连续区间？基本初等函数在其定义域内是连续的；一切初等函数在其定义区间内都是连续的。13、间断点的定义。14、间断点的类型。（一）第一类间断点1、可去间断点（1）在处无定义，但存在。（2）在处有定义，在处左右极限存在且相等，但是。2、跳跃间断

4、点：在点处左右极限都存在，但不相等 。第一类间断点的特点：函数在该点处左右极限都存在.（二）第二类间断点（若左右极限中至少有一个不存在，称为第二类间断点。）1、无穷间断点。2、振荡间断点。有关习题如下：P47 3 P53 2,3,4 P62 1,2 P65 1,2,3 P73 2,3,5,6第三章 导数、微分、边际与弹性1、函数 在点 处可导的充要条件是：在点 处的左右导数都存在且相等，2、判断分段点处是否可导：在分段点处应按定义求出左右导数，在分段点处左右导数都存在且相等，则分段点可导。3、连续与可导的关系：若函数 在点 可导，则函数 在点 连续。反之不然4、函数 在点 处的导数在几何上表示

5、曲线 在点 处的切线的斜率。5、切线方程、法线方程6、隐函数的求导法、参数方程所表示函数导数。7、对数求导法8、可微的定义。9、函数在点可微的充要条件是函数在点可导有关习题如下：P91 7,11,12,15 P1002,3,5,6,7,10 P1051,2 P112 1,4,6 P122 3,4第四章 中值定理及导数的应用10、中值定理的内容。11、洛必达法则。12、函数单调性判别法：求极值步骤：13、求最大（小）值的步骤：14、函数的凹凸性及拐点的定义及判断方法15、导数在经济中的应用（最大利润问题、最大收益问题、经济批量问题、最大税收问题等）有关习题如下：P142 2 P147 1 P16

6、2 1,2,4,5 P168 3第五章不定积分1、原函数与不定积分的关系：全体原函数构成不定积分。即 。积分运算与微分运算有如下互逆关系：1） 或.2）或.2、不定积分的换元法和分部积分法。第一类换元法（凑微分法）。第二类换元法分部积分法有关习题如下：P183 1 P197 1 P203 1第六章定积分1、定积分的性质。2、定积分中值定理。3、为积分上限的函数（或变上限的定积分）。它的导数是4、牛顿一莱布尼兹公式，又叫微积分基本公式。5、定积分的换元法、分部积分法6、定积分的经济应用（由边际函数求原函数、由变化率求总量）有关习题如下：P219 2 P225 1 2 3 P231 1 2 P23

7、3 1 P239 1 P252 1 2 3 4 5第十章微分方程41微分方程的基本概念（微分方程、微分方程的角、特解、通解、微分方程的阶、初值条件、初值问题等）42、可分离变量的微分方程的解法43、一阶线性微分方程的解法44、可降阶的二阶微分方程的解法45、二阶常系数微分方程的解法有关习题如下：P384 1 3 4 P396 1 2 P405 4 6 7高数高频易错点.求极限请注意自变量趋向什么。我们知道：lim(x趋向0)sinx/x=1 ，但是当x 趋向无穷limsinx/x=0 ，原因：无穷小量x有界函数=无穷小量。这里：|sinx|0 或(A0,当x取x0 的5去心x-x0邻域时,f(

8、x)0(或f(x)0 ,然而并不满足f(x)0(在x=0处)。介绍这 个定理的作用：解一类题。请看：已知f(x)可导，且当x趋向0, limf(x)/|x|=1,判断f(x)是否存在极值点。因为f(x)可导，那么f(x)必连续，因为lim(x趋向0)f(x)/|x|=1这个极限存在且为1,那么我们得到结论：lim(x趋向0)f(x)=0 ,否则不会存在极限的，又因为f(x)连续，那么f(0)=0 ,令f(x)/|x|二g(x),根 据保号性，因为limg(x)=10 ,那么：g(x)0 ,那么由于|x|在x趋向。时0, 所以f(x)0 ,而0=f(0),所以f(x)f(0),根据极小值的定义，

9、x=0为f(x)的 极小值点。综上：已知limg(x)=a , a的正负已知，可以使用保号性。.请注意当题目说：x趋向无穷时，那么题目包含两个意思：x趋向正无穷和x 趋向负无穷。在含有eAx , arctanx ,等等类的题目时，请看清楚 x趋向无穷还 是趋向正无穷或者是负无穷。补充：在含有绝对值的题目时，这点尤其重要， 如果说x趋向无穷，那么在去|时，必须考虑|x|中x是趋向正无穷还是负无穷， 当然题目不一定非要以绝对值出现，有些题会以，a八2)出现。.关于和差化积积化和差公式的记忆。8字口诀：同c异s, s异c同。前者用 来记住积化和差，后者用来记住和差化积。举例： sinacosb= ?

10、因为它们的三角 函数名异名，那么使用 s, sinacosb=(1/2)(sin(a+b)+sin(a-b) , 说明：1, 纯粹个人记忆方法，接受不了也正常； 2,这个口诀的使用基于你知道=右边的 基础轮廓，比如所有的积化和差，右边是 1/2() +(或者-)();3,实在不会， 死记硬背吧，或者请教别的大神。.关于极值点的3种判别法：法一：定义法；法二：若f(x)可导，f(xo)=0 , 且f (x)不为0,则f(x)在xo处取得极值，若二阶导0,取得极大； 0,极 小。法三：(n阶判别法)：若f(xo)= 二阶导(xo)= =n-1阶导(xo)=0，且n阶 导不为0,若n为偶数，且n阶导

11、0,极小，反之,极大；若n为奇数，n阶导 不等于0,则(xo, f(xo)为拐点，xo不是极值点。证明：略.参数方程二阶导问题(无数不懂事的孩子搞不清楚)，我们说一般地，y表示 对x的二阶导数，不是对参数t的二阶导数。y=dA2y/dxA2=d(dy/dx)/dx,对于求dy/dx，我们采用求关于t的y(t)，和关于t的x(t),因为dy/dx=(dy/dt) x (dt/dx尸y(t)/x(t)。举例：已知 y=cost , x=tA2 ,那么求 dy/dx , dA2y/dxA2。标准解答：1 ： y(t)=-sint , x(t)=2t,所以 dy/dx=-sint/2t ; 2 :dA

12、2y/dxA2=d(dy/dx)/dx=d(-sint)/2t /dt *(dt/dx)=(-tcost+sint)/(4tA3) 综上：二阶导是一个整体记号，不是简单的除法。.等价无穷小只能使用于乘除(题外：其实它可以使用于加减的，这里不说，以 防混淆)。比如：初学者可能会认为这个极限为0, lim(x 趋向 0)(tanx-sinx)/xA3=0 计算思路：(x-x)/xA3=0,事实上它等于 1/2.原因：提 取tanx后等价无穷小。等价无穷小必须自己去背的，没有人可以帮你。.对隐函数求导的问题很多同学搞不清楚。错误一：把变量当做常量。比如：y=xAx,标准解答 lny=xlnx ,两边

13、对 x 求导，y/y=1+lnx ,所以 y=(xAx)(1+lnx)。错误做法：y=xAx, y=x(xA(x-l)=xAx 。(但愿你们找到了错误在哪)，错误二：搞不 清楚对x求导是什么意思。当然：y=xA2求导大家都会吧，y=2x ,当出现对丫八2二乂八2, 很多同学就迷茫了，我们说y是x的函数，所以最后必须乘y,对yA2=xA2求导， 得到：2yy=2x.再则：对隐函数求导我们把其中一个看成常量，比如y=yx+xA2 ,那么求导：y=y+yx+2x。综上：对隐函数求导，若是单独y,求导为y, 一切关于y的函数(比如yA2 , lny , aAy等)，先对这个函数求导再乘y.函数在某点可

14、导的本质仅仅是该点的问题，与它的邻域无关，也就是说点可 导，在中心点的去心邻域内的点未必可导。比如函数 f(x)=0当x是有理数。f(x)=xA2 当x是无理数。只在x=0处点连续，并可导。按定义可验证在 x=0处导数为0.无穷小X有界=无穷小，但是：无穷大X有界未必等于无穷大。正确结论：无穷大 X有界=未知，比如：当x趋向正无穷，x, 乂八2始终为无穷大，而1/x, 1/xA2 为有界量。 注意到：x*(1/xA2)=1/x就是一个无穷小，而xA2*(1/x)=x 却是无穷大,而x*(1/x)=1却是有限的。.可导与连续是完全不一样的。有些同学看到题目说某个分段函数在某点xo连续，特别开心，

15、他说易得：左导=右导=f(xo),你太天真了。其实：连续是说 左极限=右极限=f(xo),可导是：lim(x-xo)f(x)=f(xo) ,且左导二右导。请搞 清楚你要处理的问题。不要学了一个学期都是云里雾里，当然一学期没上过一 节课的同学，除外。补充：在一元函数微分学中，可导必然连续，连续未必可 导(这个显然嘛，y=|x|在x=0处连续但是不可导)。.很多初学者认为：/ (a到x)f(t)dt 中，变量是t,这是错的，你忽略了变 限积分的来历，自己去回顾一下变限积分的来历是大有裨益的。记住：这里 x 是变量，它求导=f(x)。.还有人问为什么高等数学中分母可以为 0,他说比如0/0不是以0为

16、分母， 他的错误在于没有搞清楚我们所说的 0不是真正的初等数学中的数字 0,它表示 极限0,由于极限等于0,我们习惯称为0/0形式。也就是说：若没有lim这个 符号，0/0没有意义。事实上：再比如：货真价实的数字1, 1人无穷=1 ,若是(极 限1)八无穷，则结果待定。高等数学中由于极限的四则运算包括哥指数运 算无法解决形如：0/0, 1人无穷，无穷/无穷，等等7类运算。为此，产生了 7 种特殊的式子：不定式。由于结果不确定，所以称之为不定式。综上：我们现在学的是高等数学，几乎所有问题都是放在极限这个概念下讨论， 但是你不能抛弃原有的初等数学知识理论，并且注意区分。.求数列极限不可直接使用洛必

17、达，数列是整标函数，每个孤立点不连续， 不可导，故不符合洛必达的条件1,为此：正确做法：先令n为x,再使用洛必 达，最后换为n.无穷大的倒数是无穷小，无穷小的倒数是无穷大但是请注意：这里的无穷小除去了 0。.x趋向0, limsinx/x=1 不可以使用洛必达法则证明，原因：(sinx) =cosx 这个公式的证明使用了 limsinx/x=1 ,所以犯了循环论证的错误.关于洛必达法则的运用条件绝非 0/0,无穷/无穷那么简单。洛必达的3个 条件： xa时，lim f(x)=0,lim F(x)=0;在点a的某去心邻域内f(x )与F(x)都可导，且F(x)的导数不等于0;x a时，lim(

18、f(x)/F(x)存在或为 无穷大则 xa 时，lim( f(x) / F(x)=lim( f(x)/F(x) ), 请注意：1,第三点很容易被忽略，一般地：含有lim(x趋向无穷)sinx ,或者cosx,是不会采 用洛必达的；2,在解含有抽象函数f(x)时尤其注意第二点，在求最后一步导时 我们使用的是导数定义，也就是你不能不停地洛必达直到把它洛出来，因为你 不确定它最后一步时是否满足第二个条件，所以每次做含有抽象函数的题使用 洛必达+最后一步使用导数定义！3,单侧极限对于第二点的要求只是去心邻域内单侧可导。(如果你不注意以上这些，虽然在平常考试时有些老师不在意，但 是如果你考研的话是会扣一

19、半分以上的).一般地：我们有以下结论：lim(x 趋向xo)f(x)=a ,则必然有lim(x 趋向 xo)|f(x)|=|a|。注意：若a不为0,上述结论的逆命题未必成立大多是不成立的,若a=0,上述结论逆命题仍然成立！.并不是所有二元函数极限都可以使用极坐标求解尽管极坐标是一个好方法。在使用极坐标时，应该同时注意到： 0和p的任意性。比如：(x , y)趋向 (0 , 0),求lim(xy)/(x y),容易证明该极限不存在(一条路径：y=x,另一条： y=xA2-x)，倘若使用极坐标，则得：lim p (cos 0 sin 0 )/(cos 0 +sin 0 ),此 时有分母出现0的可能

20、(取8 =45度)，因此不确定该极限是否存在，本法失效, 或者说：你无法证明(cos 0 sin 0 )/(cos 0 +sin 8)有界。综上：倘若使用极坐 标，须同时考虑0 , p的任意性，不可盲目使用。.注意仅当y=f(x)时有：y=f(x)。若y=f( ) , 不等于x时，y不等于 f()。比如：y=f(xA2) ,y=f(xA2)2x，而不是等于 改八2)。下面说明f( )和仪)的区别：f()表示已知f(x)的表达式，并且把当做 x代入， 这个过程是代值过程；而f( )的意思是求导，至于对谁求导，则根据确定。注意：仅当 二x时，f( 尸f( ),即：f(x)=f(x)其他情况没有这个式子。综上：f( ) =f()。.一元函数中说f(x)连续可导不是指f(x)既连续又可导，“连续可导”意思是说f(x)的导函数连续。 ps： f(x)的导函数连续当然有f(x)既可导又连续，反之不然。.还有多少人不会三角函数中辅助角的两个公式：asinx+bcosx= V (aA2+bA2)sin(x+u),其中 u=arctan(b/a),强制要求 a0; asinx+bcosx= V(aA2+bA2)cos(x+u), 其中 u=arctan(-a/b) , 强制要求b0。 ps： 为什么要强制要求？以第一个为例，第二个同理 原因在于：我们既然采用了用