2021年新教材人教A版高中数学必修第一册第五章三角函数 教学课件

1、5.1任意角和弧度制5.1.1 任意角5.1.2 弧度制 P255.2三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念 P435.2.2 同角三角函数的基本关系 P63 5.3诱导公式 P865.4三角函数的图象和性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象 P1115.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 P1345.4.3 正切函数的性质与图象 P1585.5三角恒等变换5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 P1785.5.2 简单的三角恒等变换 P2005.6函数yAsin（x+） P2195.7三角函数的应用 P241学习目标1.了解任意角、相反角的概念，能正确区分正角、负角和零角.2.理解象

2、限角、轴线角、终边相同的角的概念，会判断已知角的终边所在的象限以及几个已知角是不是终边相同的角.3.会用集合的形式表示象限角、轴线角和终边相同的角，能进行简单的角的集合之间的运算.核心素养：数学抽象、逻辑推理新知学习角的定义【导入】现实生活中随处可见超出0360范围的角.例如体操中的“前空翻转体 540度”“后空翻转体720度”等动作.这里不仅角度超出了0360，并 且旋转的方向也不相同.【探究】如图是两个咬合的齿轮旋转的示意图，可以看出两 个齿轮旋转的方向刚好相反，联想到角的旋转定义 (一个角的大小取决于绕顶点旋转的的射线旋转的角度)，我们知道，要准确描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要

3、知道旋转的方向，这就需要我们对角的概念加以推广.角的分类【定义】我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺 时针方向旋转形成的角叫做负角. 如果一条射线没有任何旋转，那么它就 形成了一个零角.零角的始边和终边重合，如果 是零角，那么 . 左图中的角是一个正角，它等于730.右图中，正角 ，负角 ， ，正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角.730 为了简单起见，在不引起混淆的情况下，角 或 可以简记为相等角、角的加减【1】设由射线OA绕端点O旋转而成，由射线OA绕端点O旋转而成.如果它们 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称=. 设

4、，是任意角，我们规定：把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是+. 类似于实数t的相反数是-t，我们引入角的相反角的概念.如图：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角的相反角记为-，则-=+(-). 于是角的减法可以转化为角的加法，如图：+-30-120OA相等角、角的加减【总结】（1）角的概念推广后，角度的范围不再局限于0360（2）确定任意角的度数既要知道旋转量，又要知道旋转方向，如顺时针旋 转30和逆时针旋转30缩成的角是不同的，它们互为相反角.（3）用图像表示角时，箭头的方向体现角的正负，因此箭头不能少.（4）角的概念推广后，角的加减可以类比正负数的加

5、减规则.象限角与轴线角【定义】我们通常在坐标系内讨论角.为了方便，我们把角的顶点固定在原点，角 的终边始终与 轴的非负半轴重合. 那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角.如下图左 边的角就是第一象限角，角就是第三象限角. 如果角的终边在坐标轴上，那么它就不属于任何一个象限，此时我们称这个角为轴线角.如上边右图的角.象限角与轴线角【问题】锐角，第一象限角，小于90的角，它们之间的区别是什么？=390【答】第一象限角不一定是锐角，如图左锐角是大于0且小于90的角，一定是第一象限角，如图中3075小于90的角还包括零角和负角，如图右=0=-130【问题】把角放在坐标系中之后，给定一个角，

6、就有唯一的一条终边与之对应，反 过来，对于直角坐标系内的任意一条射线OB，以它为 终边的角是否唯一？ 答案是否定的.那么终边相同的角有什么关系？终边相同的角30OB【答】不难发现，OB除了可以表示30的角之外，还可以表示390，-330等角. 与30终边相同的这些角都可以表示成30角与k个(kZ)周角的和.390=30+360(k=1) -330=30-360(k=-1)一般地，所有与终边相同的角，连同角在内，可以构成一个集合S=|=+k360，kZ即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.【总结】对于S=|=+k360，kZ的理解应注意以下几点：终边相同的角【1】是任意角【2】k

7、Z有三层含义：特殊性：每取一个整数值，就对应一个具体的角一般性：表示所有与角终边相同的角(包括角本身)从集合意义上看，k表示角的终边按一定的方向旋转的圈数，k取正整数 时，逆时针旋转；k取负整数时，顺时针旋转；k=0时，没有旋转.【3】集合中的k360与之间用+连接，如k360-30应看成k360+(-30)， 表示与-30角终边相同的角【整理】各象限角的集合表示终边相同的角|k360k360+90，kZ|k360+90k360+180，kZ|k360+180k360+270，kZ|k360+270k360+360，kZ【整理】轴线角的集合表示终边相同的角|=k360，kZ|=k360+180

8、，kZ|=k360+90，kZ|=k360+270，kZ|=k180，kZ|=k180+90，kZ|=k90，kZ【1】锐角是第几象限角？直角呢？钝角呢？【解】锐角是第一象限角；直角是轴线角；钝角是第二象限角.【2】第一象限角一定是锐角吗？轴线角一定是直角吗？第二象限角一定是钝角吗？【解】第一象限角不一定是锐角，如390； 轴线角不一定是直角，如180； 第二象限角不一定是钝角，如-210.即时巩固【3】分别写出图中终边落在两个阴影部分的角的集合【解】在03600范围来看，阴影部分的角的 范围是30105，所以在坐标系中角 的范围是3075|k360+30k360+105,kZ在0360范围来

9、看，阴影部分的角的范围是210285，所以在坐标系中角的范围是|k360+210k360+285,kZ即时巩固【4】若是第二象限角，请确定2的终边所在的位置【解】因为是第二象限角，所以k360+90 k360+180,kZ所以2k360+180 2 2k360+360,kZ 如图，即2的终边位于第三或者第四象限，或者位于y轴的负半轴上.即时巩固即时巩固【5】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置【解】因为是第二象限角，所以k360+90 k360+180,kZ所以k180+45 k180+90,kZk=2n(nZ)时，k360+45 k360+90,kZk=2n+1(nZ)时，k360+22

10、5 k360+270,kZ所以 的终边位于第一或者第三象限.也可以运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成2部分，并且依次标，则标的就是 所在的区域.【5】若是第二象限角，请确定 的终边所在的位置【解】这次我们直接运用图示的高阶方法，从 轴正半轴沿逆时针把每个象限平分成3部分，并且依次标上，则标的就是 所在的区域.即时巩固随堂小测1.下列说法正确的是 A.终边相同的角一定相等B.钝角一定是第二象限角C.第四象限角一定是负角D.小于90的角都是锐角2.与457角终边相同的角的集合是 A.|k360457，kZB.|k36097，kZC.|k360263，kZD.|k360263，

11、kZ解析4572360263，故选C.3.2 018是 A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角解析2 0185360218，故2 018是第三象限角.4.已知30，将其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_.解析3360301 110.1 1105.如图所示.(1)写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；解终边落在射线OA上的角的集合是|k360210，kZ.终边落在射线OB上的角的集合是|k360300，kZ.(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合.解终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是|k360210k360300，kZ.课堂小结1.对角的理解，初中阶段是

12、以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”.2.关于终边相同的角的认识一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合S|k360，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.注意：(1)为任意角；(2)k360与之间是“”号，k360可理解为k360()；(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360的整数倍；(4)kZ这一条件不能少.任意角和弧度制5.1.2 弧度制学习目标1.了解弧度制，体会引入弧度制的必要性.2.理解1弧

13、度的角及弧度的定义.3.掌握角度与弧度的换算公式，能进行角度与弧度的换算，并熟记几个特殊角的弧度数.4.掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算新知学习角度制、弧度制的概念【探究】度量长度可以用米、英尺、码等单位制，度量质量可以用千克、磅等不同 的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同 的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？【导入】我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 .这种 用度作单位来度量角的单位制叫做角度制.【定义】如图，射线OA绕着端点O旋转到OB形成角.在旋 转过程中，射线OA上

14、的一点P(不同于点O)的轨迹 是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角. 设=n，OP=r，点P形成的圆弧PP1的长为 ，由初中所学知识可知：(角度制、弧度制的概念【探究】如图，在射线OA上任取一点Q(不同于点O)，OQ=r，在旋转过程中，点Q 所形成的圆弧QQ1的长为 ， 与r的比值是多少?我们能得出什么结论？【结论】可以发现，圆心角所对的弧长与半径的比值， 只与的大小有关.也就是说，这个比值随的确 定而唯一确定.这就启发我们，可以利用圆的弧长 与半径的关系度量圆心角.(QQ1 我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度，记作1rad，读作1弧度.我们把半径为1的圆叫做单位圆，如图，在单位

15、元O中，AB的长度等于1，AOB就是1弧度的角.角度制、弧度制的概念 根据上述规定：在半径为r的圆中，弧长为 的的弧所对的圆心角为 rad，那么有： 对这个式子进行变形，可以得到如下结论： 其中，的正负由角的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负.当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于2或者小于-2的角.这样就可以得到弧度为任意大小的角. 一般地，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是复数，零角的弧度数是0.角度制、弧度制的概念 不管以弧度还是以角度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值，比如图中，半径为任意值，只要AOB所对弧的长等于半径，AOB就是1弧度的角

16、.用角度作为单位来度量角的制度用弧度作为单位来度量角的制度角的大小与半径无关单位“ ”不能省略单位“rad”不能省略【问题】不管以角度制和弧度制之间怎么换算呢？【答】用角度制解弧度制俩度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)；用角度制和 弧度制度量任一非零角，单位不同，数量也不同.因为周角的弧度制是2， 而在角度制下的度数是360，所以有： 360=2 rad，180= rad，角度与弧度的换算一般地，只需根据两边同除以180两边同除以就可以进行角度和弧度的换算了.弧度数=角度数角度数=弧度数【1】把6730化成弧度.【解】因为6730= ，所以【2】把1.5化成角度.【解】1.5=6730=

17、 【注意】角度中含有分 ()秒()时，化成 弧度制之前，要先化成 度().即时巩固角度与弧度的换算常见特殊角的角度与弧度对应表： 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应的关系：每个角都有唯一的实数(等于这个叫的弧度)；同样地，每个实数也都有唯一一个对应的角(弧度数等于这个实数).弧长公式与扇形面积公式【1】若用R表示圆的半径，(02)为圆心角， 是扇形弧长，S是扇形面积. 则有： 显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式简单了.在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利.【1】把下列角度化成弧度.【解】（1）2230=（1）2230 （2）-210 （3）120

18、0（2）-210=（3）1200=即时巩固【2】把下列弧度化成角度.【解】即时巩固【3】用弧度表示： （1）终边在 轴上的角的集合 （2）终边在 轴上的角的集合【解】即时巩固随堂小测1.下列说法正确的是 A.1弧度就是1度的圆心角所对的弧B.1弧度是长度为半径的弧C.1弧度是1度的弧与1度的角之和D.1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小解析由弧度的定义可知D正确.2.把 化为角度是 A.270 B.280 C.288 D.3183.若5，则角的终边在 A.第四象限 B.第三象限C.第二象限 D.第一象限解析25与5的终边相同，25是第一象限角，则5也是第一象限角.4.(2021浙江省9

19、1联盟联考)如图，以正方形ABCD的顶点A为圆心，边AB的长为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则EAD的弧度数大小为_.解析设正方形的边长为a，EAD，课堂小结1.角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.2.解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180 rad”这一关系式.3.在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，在具体应用时，要注意角的单位取弧度.三角函数的概念5.2.1 三角函数的概念学习目标1.

20、借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.2.会利用相似关系，由角终边上任意一点的坐标得出任意角的正弦、余弦和正切的三角函数的定义.3.能根据定义理解正弦、余弦和正切函数在各个象限及坐标轴上的符号，会求一些特殊角的三角函数值.4.理解并掌握公式一，并会用公式一进行三角函数式的化简或恒等式的证明.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模新知学习教材引入&任意角的三角函数定义【定义】根据研究函数的经验，我们选择在坐标系上研究这个 问题.如图，以单位圆的圆心为原点， 以射线OA为 轴的非负半轴，建立直角坐标系.则A(1，0)，P 射线OA从 轴非负半轴开始，绕点O按逆时针方向 旋转角，

21、终止位置为OP.【探究】当 时，点P的坐标是什么？当 或 时，点P的坐标又是什么？给 定一个角，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标是唯一确定的吗？教材引入&任意角的三角函数定义【分析】利用勾股定理可以发现，当 时，点P的坐标是 ；当 或 时，点P的坐标分别是 和 ，它们都是唯一确定的(如图).【结论】一般地，任意给定一个角R，它的终边OP与单位圆的交点P的坐标，无 论是横坐标 还是纵坐标 ，都是唯一确定的.所以，点P的横坐标 和 纵坐标 都是角的函数.教材引入&任意角的三角函数定义【定义】设是一个任意角，R，它的终边OP与单位圆相交于点P（1）把点P的纵坐标 叫做的正弦函数，记作sin，即 =

22、sin（2）把点P的横坐标 叫做的余弦函数，记作cos，即 =cos（3）把点P的纵坐标和横坐标的比值 叫做的正切，记作tan，即 =tan ( ). 可以看出，当 时，的终边始终在y轴上，这时 ，即此时tan无意义.除此之外，正切tan与实数是一一对应的，所以它们之间也是函数关系，我们称 为正切函数.=tan ( ) 我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.教材引入&任意角的三角函数定义【总结】三角函数可以看成是以实数(为弧度)为自变量，以 单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数.（1）正弦函数：（2）余弦函数：（3）正切函数：角实数(角的弧度)三角函数值【注意】（1）在任意角

23、的三角函数定义中，是一个使函数有意义的实数（2） 是自变量，离开自变量 的sin,con,tan是没有意义的（3）三角函数是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P在终边上的 位置无关，终边确定了，三角函数就确定了.【1】求 的正弦、余弦和正切值.【解】在坐标系中作出AOB= ，易知AOB的 终边与单位圆的 交点坐标为 ，所以即时巩固常见角的三角函数值无牢记常见的三角函数值，做题事半功倍！三角函数的定义域和函数值的符号【1】求证：角为第三象限角的充要条件为【证明】首先证明充分性，即如果都成立，那么为第三象限角.因为sin0成立，所以角的终边位于第三或者第四象限，也可能和Y轴的负半轴重合；又因为c

24、os0成立，所以角的终边位于第一或者第三象限，综合可知为第三象限角. 再证明必要性，因为是第三象限角，根据定义有sin0， cos0，所以必要性成立，即充要性成立.即时巩固诱导公式一 由三角函数的定义，我们知道：终边相同的角的对应三角函数相同.公式一：其中kZ【问题】公式一说明了角和三角函数值的什么关系？给我们什么启发？【答】公式一说明了角和三角函数值的对应关系是多角对一值的关系： 即给定一个角，它的三角函数值只要存在，就是唯一的； 反过来，给定一个三角函数值，却有无数个角与之对因.【启发】做题时，把角同化为(02)即(0360)终边相同的角，简化计算.【1】已知角、的顶点在原点，始边在 轴的

25、正半轴上，终边关于 轴对称， 若角的终边上有一点的坐标为 ，则tan的值是多少？【解】易知sin= ，cos= .因为角和角的终边关于y轴对称，则它们的正弦值相等，即sin=sin同时角和角的余弦值相反，即cos=-cos 所以sin= ，cos= ，所以tan=即时巩固【2】填表.即时巩固【3】选择适当的条件填空sin0 sin0 cos0 cos0 tan0 tan0(1)角为第一象限角的充要条件是 _(2)角为第一象限角的充要条件是 _(3)角为第一象限角的充要条件是 _(4)角为第一象限角的充要条件是 _或或或或或或或或或或或或即时巩固随堂小测1.(2021牌头中学月考)已知角的终边过

26、点(2,1)，则cos 的值为3.(2021宁波期末)若角的终边经过点P(1，1)，则A.tan 1 B.sin 14. 若是第二象限角，则点P(sin ，cos )在 A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限 D. 第四象限解析为第二象限角，sin 0，cos 0，点P在第四象限，故选D.5. 已知角的终边上有一点P(24k,7k)，k0，求sin ，cos ，tan 的值. 解当k0时，令x24k，y7k，当k0时，令x24k，y7k，则有r25k，课堂小结1.正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数.2.角的三角函数值的符号只与角所在象限有关，角所在象

27、限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.3.终边相同的三角函数值一定相等，但两个角的某一个函数值相等，不一定有角的终边相同，更不一定有两角相等.三角函数的概念5.2.2 同角三角函数的基本关系学习目标1.理解同角三角函数的两个基本关系： .2.会利用这个基本关系解决较简单的求值、化简、恒等式证明等有关问题.核心素养：数学运算、逻辑推理新知学习教材引入&任意角的三角函数定义【导入】因为三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点确定的，所以它们之间 必然有内在的关系.如图，设点P 是角的终边与单位圆的交点，过P 作 轴的垂线，交 轴与M，则OMP是直角三角形，且

28、OP=1，由勾股定理有也就是说，同一个角的正弦余弦的平方和等于1，商等于正切.OM2+MP2=1，即 ，也就是显然，当的终边与坐标轴重合时，这个公式也成立.根据三角函数的定义，当 时，有：教材引入&任意角的三角函数定义 这两个公式称为同角三角函数的基本关系. 基本关系成立的前提是“同角”，它揭示了同角而不同名的三角函数关系，但 并不是不同的角这两个关系一定不成立，sin230+cos2150=1也成立，不过这 种关系不具有一般性. “同角”指的是广义上的，与表达形式无关，30和30是同角，和也是同角 sin2是(sin)2的缩写，读作“sin的平方”，不能写成sin2 等价变形：知 一求 二基

29、本关系的应用【例1】已知 ，求 ， 的值.【解】因为 ，所以是第三或者第四象限角.由 ，得 ，则 或若是第三象限角，则 ,所以若是第四象限角，则 ,所以基本关系的应用【例2】求证：【证法一】由 知 ，所以 ，于是【证法二】因为且 ，所以基本关系的应用【例3】已知 ，为第三象限角，求 ， 的值.【解】由 ，得 ，则 或又因为是第三象限角，则 ,所以所以基本关系的应用【例4】化简：【解】基本关系的应用【例5】求证：【证明】左边=右边，得证【题型1】利用弦切互化求值.【例6】已知 ，求下列各式的值.【解】由 ，得 即时巩固【题型2】与 有关的求值.【例7】已知 ，求下列各式的值.【解】 即时巩固【题

30、型3】利用同角三角函数关系式证明恒等式.【例8】已知 ，求证：【证明】由 ，可得 即 ,也就是 整理得： ，即展开得： ，即即时巩固【例9】化简： 【解】原式=所以原式=即时巩固【证明】由题意可知 ，所以sinA0，cosA0联立解得：所以即时巩固随堂小测证明方法一(比较法作差)方法二(比较法作商)课堂小结1.利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.2.利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.3.在三角函数的变换求值中，已知sin

31、 cos ，sin cos ，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.4.在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题

32、目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点.利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法.5.在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.5.3诱导公式学习目标1.借助单位圆的对称性利用定义推导诱导公式.2.掌握三角函数的诱导公式.3.能运用诱导公式化简简单的三角函数式及证明简单的三角恒等式.核心素养：数学运算、逻辑推理

33、新知学习诱导公式二四【导入】如图，设坐标系内任意角的终边与单位圆交于点P （1）做P关于原点的对称点Q，以OQ为终边的角与角 有什么关系？角,的三角函数值之间有什么关系？ （2）如果作P点关于两个横轴和纵轴的对称点R和T，又 会得到什么结论？【分析】以OQ为终边的角都是与角+终边相同的角，即=2k+(+)(kZ). 因此只需要研究角+和角的三角函数关系即可.设P ，由对称 关系有Q ，根据三角函数的定义得 ， ， ；这就是公式二：诱导公式二四【回顾1】诱导公式一的内容和作用是什么？【答】内容：作用：把任意角的三角函数值转化为02上角的三角函数值.【回顾2】点P 关于 轴、 轴和原点的对称点是什

34、么？【答】关于 轴对称： ; 关于 轴对称： ; 关于原点对称：【思考】通过公式一及公式二你有什么发现？【答】诱导公式二四【拓展】进一步，通过作出P点关于 轴的对称点和关于 轴的对称点，我们可以得出如下结论：【公式三】【公式四】诱导公式二四【总结】对于公式一四的概括：【1】+2k，-，()的三角函数值，在绝对值上 等于的同名函数值，正负取决于把看成锐角时 原函数值的符号. 即“函数名不变，符号看象限.”【2】对于正弦与余弦的诱导公式，可以为任意角；对 于正切的诱导公式，的终边不能落在y轴上，即【3】诱导公式即可以用弧度制表示，也可以用角度制 表示.诱导公式二四【问题1】如何用公式二和公式三推导

35、出公式四？【答】【问题2】关于“函数名不变，符号看象限”的理解.【答】“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号看象限”是指把原角看成锐角时新角在原函数下的符号，由 新角所在象限确定符号.如sin(+)，若把看成锐角，则+在 第三象限，所以取负值，故sin(+)=-sin诱导公式的应用【例1】利用公式求下列三角函数的值.【解】诱导公式的应用【利用诱导公式一四把任意角的三角函数转化成锐角的三角函数的步骤】任意负角的三角函数用公式一或公式三任意正角的三角函数02的角的三角函数用公式二或公式四锐角的三角函数用公式一利用诱导公式化简的一般思路：切化弦，负化正、大化小；异名化同名，异角化同角.诱导

36、公式的应用【例2】化简【解】因为所以原式=填表：即时巩固诱导公式五六【问题1】【分析】作角的终边关于 的对称边，根据集合 对称关系，设P点坐标为 ，则Q点坐标为 ，由三角函数的定义有：同理我们有诱导公式五六【总结1】公式五和公式六可以概括如下： 的正弦(余弦)函数值，分别等于角的余弦(正弦)函数值，前面 加上一个把看成锐角时原函数值的符号.简记为：“函数名改变，符号看象限”【总结2】六组诱导公式各有什么用？公式一：将任意角转化成02之间的角求值公式二：将02之间的角转化成0之间的角求值公式三：将负角转化成正角求值公式四：将 之间的角转化成 之间的角求值公式五、六：实现正弦和余弦之间的相互转化六

37、组诱导公式的横向对比六组诱导公式的横向对比【1】诱导公式都是的三角函数与 的三角函数之间的转化，记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限【2】“奇变偶不变”：角前面的是 ，如果 是 的奇数倍，那么得到的 三角函数名要发生变化，即正弦变余弦，余弦变正弦；如果 是 的偶数倍， 那么得到的三角函数名不变化【3】“符号看象限”：将角看成一个锐角(为了判断符号，实际可以不是锐角)， 此时判断 所在的象限，并观察原三角函数对这个角运算得到的符号 是正还是负.【4】这些规律对任何三角函数(只要存在，有意义)都成立【例1】证明：【证明】 即时巩固【例2】已知 ，且 ，求 的值.【分析】注意到(53-)+(37+)=

38、90，如果设= 53-，= 37+，那 么+=90，所以可以利用诱导公式. 【解】设= 53-，= 37+，则+=90，=90-.所以sin=sin(90-)=cos因为-270-90，所以143323由 ，得143180所以所以即时巩固随堂小测1.已知tan 4，则tan()等于 A.4 B.4 C.4 D.4解析tan()tan 4.解析sin 585sin(360225)sin(18045)3.(2021牌头中学月考)利用诱导公式化简：sin(x)_，sin(x)_.sin x sin x 5.已知600角的终边上有一点P(a，3)，则a的值为_.解析tan 600tan(360240)

39、tan(18060)课堂小结1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为02之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”三角函数的图象和性质5.4.1 正弦函数、余弦函数的图象学习目标1.理解正弦函数、余弦函数图象的画法.2.借助图象变换，了解函数之间的内在联系.3.通过三角函

40、数图象的三种画法（描点法、几何法、五点法），体会用“五点法”作图给我们的学习带来的好处，并会熟练地画出一些较简单的函数的图象.核心素养：数学抽象、直观想象、逻辑推理新知学习正弦函数的图像【探究】首先我们研究 的图像，从画函数 开始.如图，在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆， O 与 轴正半轴的交点为A(1,0)，在单位圆上讲点A绕着点O旋转 弧度到点B，根据定义有点B的纵坐标 .由此，以 为横坐标， 为纵坐标化点，即得到函数图像上的点正弦函数的图像【探究】若把 轴上 这一段分成12等份，让 的值分别为 ， 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按刚才画点 的方法，就可以画出

41、自变量取这些值时，图像上对应函数值的点.利用信息技术取到足够多的点，再将这些点用光滑的曲线连起来，就可以得到比较精确的函数 的图像.正弦函数的图像【探究】由诱导公式一 可知，每经过 个单位长度，函 数 会重复出现，所以只需将 内的函数图像不段复制平移 即可得到 的图像(几何画法).几何画法的步骤：建系画图12等分圆找横坐标连线得图找纵坐标左右平移五点画图法【问题】在确定正弦函数的图像形状时，有哪些关键的点？【答】观察图像可知，处于函数连接处和转折处的五个点起关键作用.在非精确作图时，一般选取这五个点快速画出正弦函数的图像来解决问题.五点画图法【三种作图法的比较】描点法几何法五点法列表描点连线利

42、用单位圆在0，2上取足够多的点连线描最高点最低点,图像和坐标轴的三个交点只能取近似值，误差较大较为精确，但步骤繁琐实用，高效余弦函数的图像【分析】对于函数 ，由诱导公式 ，得到，而函数 的图像可以通过正弦函数 的图像向左平移 个单位长度得到.所以，将正弦函数的图像向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图像，如图. 余弦函数 的图像叫做余弦曲线，它和正弦曲线有相同形状“波浪起伏”的连续光滑曲线.【1】画出函数的简图：【解】如图：即时巩固【2】画出函数的简图：【解】如图：即时巩固函数图像的平移和对称变换【平移】【对称】左加右减，上加下减.【例1】画出函数 的简图.【解】 取五个关键点列表： 把 的

43、图像向下平移1个单位即可得到 的图像即时巩固【例2】用五点法分别画出函数 和函数 在 上的图像.【解】 取五个关键点列表： 即时巩固【例3】思考函数 和函数 的关系,并画出函数 的图像.【解】 把函数 图像在 轴下方的部分翻折到 轴上方，加上原来上方的部分就可以得到函数 的图像(蓝色部分)，如图.即时巩固【例4】已知函数 （1）作出函数 的图像； (2)求方程 的解.【解】 (1)当 时， 当 时， 所以 ，图像如图所示.(2)由图像可知方程 的解是 即时巩固随堂小测1.用“五点法”作y2sin 2x的图象时，首先描出的五个点的横坐标是 解析由ysin x在0,2上的图象作关于x轴的对称图形，

44、应为D项.2.下列图象中，ysin x在0,2上的图象是 3.不等式cos x0)，则f(x)的奇偶性A.与有关，且与有关 B.与有关，但与无关C.与无关，且与无关 D.与无关，但与有关解析因为当k，kZ时，函数f(x)cos(x)cos x，为偶函数；sin x，为奇函数.所以f(x)的奇偶性与无关，但与有关.A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为的偶函数f(x)cos 2x.又f(x)cos(2x)cos 2xf(x)，f(x)是最小正周期为的偶函数.4.函数ycos x在区间，a上为增函数，则a的取值范围是_.(，0解析因为ycos x在，0上是增函数，在0，上是减函数，所以只有0，

45、xR)的周期T .2.判断函数的奇偶性，必须坚持“定义域优先”的原则，准确求函数定义域和将式子合理变形是解决此类问题的关键.如果定义域关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系，从而判断奇偶性.3.求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法4.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.5.求三角函数值域或最值的常用方法将y表示成以sin x(或cos x)为元的一次或二次等复合函数，再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围.三角函数的图象和性质5.4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.借助图象理解正切函数

46、在区间 内的性质.2.能画出ytan x的图象.3.会用正切函数的性质解决有关问题.核心素养：数学抽象、逻辑推理、直观想象新知学习如何研究正切函数的性质和图象？【思考】根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的 图象和性质？能用不同的方法研究正切函数吗？【解答】(1)应先作出正切函数的图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识， 再从代数的角度对性质作出严格表述.(2)对于正切函数，也可以从其定义出发研究它的性质，再利用性质研究 其图象.【问题】正切函数 的定义域是什么？【解答】由正切函数的定义可知，它的定义域是如何研究正切函数的性质和图象？【正切函数的性质】【1】周期性：

47、 由诱导公式 可知， 正切函数是周期函数，周期是.【2】奇偶性： 由诱导公式 可知， 正切函数有奇偶性，是奇函数.表明正切函数的定义域关于原点对称表明正切函数的图象关于原点对称如何研究正切函数的性质和图象？【问】你能证明正切函数的周期性吗？【答】当k是偶数时，当k是奇数时，综上，有由周期函数的定义可知，正切函数的周求是 是它的最小正周期.【再问】这有什么用？【再答】可以先研究正切函数在 之间的图象和性质，再加以拓展.如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出函数 的图象？【答】如图，设 ，在坐标系中画出角 的终边与单 位圆的交点 .过点B作 轴的垂线，垂足为 M；过点A(1，0)作 轴的垂线

48、与角 的终边交于点T，则由此可见，当 时，线段AT的长度就是角 的正切值，利用线段AT画出函数 的图象如图所示. 观察可知，函数图象呈类似于指数型的增长，向右上方无限接近直线如何研究正切函数的性质和图象？【问】如何画出正切函数的全部图象？【答】利用奇偶性和对称性，把函数在 之间的部分进行复制平移即可. 我们把正切函数的图象叫做正切曲线。从图象可以看出，正切曲线是被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无数个形状相同的曲线组成的如何研究正切函数的性质和图象？【问】正切函数的图象有怎样的特征？【答】图象关于原点对称图象在 轴上方的部分下凹；在 轴下方的部分上凸.图象被相互平行的直线 隔开，图象无限 接近

49、这些直线，但永不相交。 正切函数和正弦余弦函数一样，都可以画出一个周期内的函数图象，然后进行左右平移，就可以得到全部的图象。 或者也可以类比正弦余弦函数用三点两线法.正切函数的单调性和值域【单调性】观察正切曲线可知，正切函数在区间 上单调递增； 由周期性可知，正切函数在每个区间 上都单调递增【问】由正切函数是奇函数，可以得到它的图象关于原点对称。结合图象，还能 发现其它的对称中心吗？有对称轴吗？【答】正切函数的图象有无数个对称中心，包括图象与横轴的交点和渐近线与 横轴的交点。 正切函数不是轴对称图形，没有对称轴.正切函数的单调性和值域【值域】观察图象，当 时， 在 内可以取到任意实数 值，但没有最大值或者最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.奇函数【例1】求函数 的定义域和周期.【解】自变量 的取值满足条件所以函数的定义域是设 ，又 ，所以即因为 都有所以，函数的周期为2即时巩固【例2】观察正切曲线，直接写出满足下列条件的 的范围.【解】即时巩固【例3】求下列函数的周期.【解】所以函数 的周期为 .所以函数 的周期为 .即时巩固【例4】若 在 内为减函数，则（ ）【解】由题意有 ，且 ，所以