圆锥曲线存在性问题

1、精心整理精心整理圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标（x,y）（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在

2、于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。二、典型例题：例1：已知椭圆C:兰+兰=i(ab0)的离心率为远，过右焦点F的直a2b23线l与C相交于A,B两点，当/的斜率为1时，坐标原点O到/的距离为至。2求a,b的值C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有OP=OA+OB成立？若存在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由解：e=3:b:c=、；

3、3:迈:1a3则a=、，3c,b=Qc，依题意可得：F(c,0)，当l的斜率为1时d=旦=解得：c=10-1b0)的右焦点F的直线交椭圆于A,B两a2b22点，F为其左焦点，已知AFB的周长为8，椭圆的离心率为112求椭圆r的方程是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆r恒有两个交点P,Q，且OP丄OQ?若存在，求出该圆的方程；若不存在,请说明理由解：由AFB的周长可得：4a=8na=21椭圆r:乂+y2=14(2)假设满足条件的圆为x2+y2=r2，依题意，若切线与椭圆相交,则圆应含在椭圆内若直线PQ斜率存在，设PQ:y=kx+m，P(x,y),Q(x,y)1122PQ与圆相切.

4、dPQ与圆相切.dO-lm=rum2=rk2+12+1)OP丄OQnOP-OQ0即xx+yy01212联立方程：Tjkx+m(联立方程：TnU+4k2丿x2+8kmx+4m2-40 x2+4y245m2一4k2一4=0对任意的m,k均成立将m将m2=r2(k2+1)代入可得:5r2(k2+1)一4(k2+1)=0存在符合条件的圆，其方程为：X2+y2=5当PQ斜率不存在时，可知切线PQ为x=255若PQ若PQ:x=25，贝IP|丈,?:.0P-OQ=0.PQ:x=2b0)经过点C&3),离心率为1，左，右焦点分别为a2b22F(-c,0)和F(c,0)12求椭圆c的方程设椭圆C与x轴负半轴交点

5、为A，过点M(-4,0)作斜率为k(k丰0)的直线l，交椭圆C于B,D两点(B在M,D之间)，N为BD中点，并设直线ON的斜率为k1证明：k-k为定值1是否存在实数k，使得FN丄AD?如果存在，求直线/的方程；如果不存在，请说明1理由解：(1)依题意可知：e=-=可得：a:b:c=2:J3:1a2:椭圆方程为：二+啟=1，代入)可得：c=14c23c2：椭圆方程为：才+=1(2)证明：设B(x,y),D(x,y)，线段BD的中点N(x,y)112200设直线l的方程为：y=k(x+4)，联立方程：y_+化为:（3+4k2）x2+32k2X+64k212=03x2+4y2=12由A0解得：k20

6、解得：k24且X+X=,XX=124k2+3124k2+3假设存在实数k，使得F1N丄AD，则%-kAD=-1即4k2x+16k2二2二（4k2一1）x+8k2一2nx=2-8k2b0)的右焦点，点P1,3在椭圆Ea2b2I2丿上，直线1：3x-4y-10=0与以原点为圆心，以椭圆E的长半轴长为半0径的圆相切求椭圆E的方程过点F的直线1与椭圆相交于A,B两点，过点P且平行于AB的直线与椭圆交于另一点Q，问是否存在直线1,使得四边形PABQ的对角线互相平分？若存在，求出1的方程；若不存在，说明理由解：(1)1与圆相切0将p1斗代入椭圆方程兰+22=1可得：b=73I2丿4b2椭圆方程为：乂+21

7、=143(2)由椭圆方程可得：F(1,0)设直线1:y=k(x-1)，则pQ:y一3=k(X一1)联立直线1与椭圆方程：y-kx-1消去y可得：(4k2+3)x2-8k2X+4k2-12=03x2+4y2=12同理：联立直线PQ与椭圆方程:3b0)的左右焦点分别为F,F，右顶点为A，TOC o 1-5 h za2b212P为椭圆C上任意一点，且PFPF的最大值的取值范围是c2,3c2，112L其中c=；a2-b2求椭圆C的离心率e的取值范围1设双曲线C以椭圆C的焦点为顶点，顶点为焦点，B是双曲线C212在第一象限上任意一点，当e取得最小值时，试问是否存在常数九(九0)，使得ZBAF=XZBFA

8、恒成立？若存在，求出九的值；若不存i在，请说明理由解:设P(x,y),F(-c,0),F(c,0)12由乂+兰二1可得：y2二b2-冬x2代入可得:a2b2a2当e=1时，可得：a=2c,b仝c2双曲线方程为乂-兰=1,A(2c,0),F(-c,0)，设B(x,y),x0,y0c23c210000当AB丄x轴时，00tanBFA=3c=1.ZBFA丄因为ZBAF=-13c1412所以九二2，下面证明九二2对任意B点均使得ZBAF=XZBFA成立11考虑tanZBAF=-k=-yo,tanZBFA=k=yo1ABx-2c1BF1x+c00由双曲线方程乂-2L=1，可得：y2=3x2c23c200

9、结论得证/.X=2时，ZBAF=XZBFA恒成立11例6:如图，椭圆E:乂+21=1(ab0)的离心率是連，过点P(0,1)的a2b22动直线l与椭圆相交于A,B两点，当直线l平行于x轴时，直线l被椭圆E截得的线段长为2迈(1)求椭圆E的方程(2)在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得对于任意直线1，闕嘀恒成立？若存在求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解:(1)解:(1)c迈e=a2:.a:b:c=；2:1:1.椭圆方程为工+兰=12b2b2由直线1被椭圆E截得的线段长为2辽及椭圆的对称性可得:点(21)在椭圆上椭圆方程为宁+琴=1(2)当1(2)当1与x轴平行时，由对称

10、性可得:PA=PB圈=開=1即创=的Q在AB的中垂线上，即Q位于y轴上，设Q(0,y)当i与x轴垂直时，则a忑),bC-72)PAPB=、PAPB=、2-1可解得y=1或y=20y+V2/2+10y0P,Q不重合y=2P,Q不重合y=20下面判断Q(0,2)能否对任意直线均成若直线1的斜率存在，设l:y=kx+1，QBxA(x,y),B(x,y)1122联立方程可得:x2联立方程可得:x2+2y2=4y=kx+1nC+2k2)x2+4kx-2=0由回-QB由回-QB|PB|只需证明k=knk+k=0QAQBQAQBy-2y-2x(y-2)+x(y-2)k+k=厶+2=2_112QAQBxxxx

11、1212PA可想到角平分线公式，即只需证明QP平分ZBQAxy+xy-2(x+x)-1-212xx12因为A(x,y),B(x,y)在直线y=kx+1上,人=+1代入可得1122Iy=kx+122联立方程可得：|x2+2y2=4n(1+2k2)x2+4kx-2=0Iy=kx+1k+k二0成立QAQBQP平分ZBQA由角平分线公式可得：里=旦|QB|PB|例7：椭圆C:a2+备=心b)的上顶点为A,(3,(是C上的一点,以AP为直径的圆经过椭圆C的右焦点F求椭圆C的方程动直线1与椭圆C有且只有一个公共点，问：在x轴上是否存在两个定点，它们到直线1的距离之积等于1?若存在，求出这两个定点的坐标；如

12、果不存在，请说明理由解：由椭圆可知：A(o,b),F(c,0)AP为直径的圆经过FFA丄FP由pf4b在椭圆上，代入椭圆方程可得：33丿椭圆方程为乂+y2=12(2)假设存在x轴上两定点M(九,0),M(九,0)，(九b0)的焦点到直线x-3y=0的距离为也9,a2b25离心率为2辽，抛物线G:y2=2px(p0)的焦点与椭圆E的焦点重合，斜率为k的直线1过G的焦点与E交于A,B，与G交于C,D(1)求椭圆E及抛物线G的方程为常数？若存在，求出九的值;(2)是否存在常数九，使得丄+厶为常数？若存在，求出九的值;|AB|CD|若不存在，请说明理由解:(1)设E,G的公共焦点为F(c,0)(2)设

13、直线1:y=k(x-2)，A(x,y),B(x,y),C(x,y),D(x,y)11223344与椭圆联立方程：Jy=k(x-2)(与椭圆联立方程：Jn5k2+1丿x2-20k2x+20k2-5=0 x2+5y2=5直线与抛物线联立方程：J直线与抛物线联立方程：Jnk2x2一(4k2+8)x+4k2=088(k2+1)CD=x+x+4=34k2.x+x二圧+*cd是焦点弦4k2若命+侖为常数，则20+心4例10:如图，在平面直角坐标系xOy中,椭圆c:乂+兰=1(ab0)的a2b2离心率为总,直线1与x轴交于点E,与椭圆C交于A,B两点，当直线1垂直于x1垂直于x轴且点E为椭圆C的右焦点时，弦

14、AB的长为空63（1）求椭圆C的方程（2）是否存在点E，使得丄+丄为定EA2EB2值？若存在，请求出点E的坐标，并求出该定值；若不存在，请说明理由解：依题意可得：e二C出a:b:c=朽:1:迈a3当1与x轴垂直且E为右焦点时，|AB|为通径（2）思路：本题若直接用用字母表示A,e,B坐标并表示EB，则所求式子较为复杂，不易于计算定值与E的坐标。因为E要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出E点及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得丄+丄为定值。EA2EB2解：（2）假设存在点E，设E（x,0）若直线AB与x轴重合，则AC/6,o）BC/6,0）若直线|AB|与x轴垂直，则A,B关

15、于x轴对称(x2+6)C-x2)=6(x2-6丄，可解得:00设(x2+6)C-x2)=6(x2-6丄，可解得:00TOC o 1-5 h z2x2+126二n2-6)26-x20oo若存在点E，则EC3,0)。若EC3,0)，设A(x,y),B(x,y)1122设AB:x二my+护,与椭圆C联立方程可得：壮+眇=6,消去y可得:x=my+-J31EA2/1、（31EA2/1、（3一x）+y2iim2y2+y211=/1、Cm21同理：1EB21、+l）y22代入y+代入y+y1223m一冇y1y2一3可得:m2+3所以+为定值，定值为2|EA|2|EB|2若ECp3,0），同理可得+为定值2

16、|EA|2|EB|2综上所述：存在点E.3,0），使得+L为定值2|EA|2|EB|2三、历年好题精选1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E:兰+21=心b0）过a2b2点p近，离心率为1，过直线l:x=4上一点M引椭圆E的两条切I2丿2线，切点分别是A,B（1）求椭圆E的方程（2）若在椭圆乂+2!=i（ab0）上的任一点N（x,y）处的切线方程a2b2oo是豊+注=1，求证：直线AB恒过定点C，并求出定点C的坐标a2b2（3）是否存在实数九，使得|Aq+|Bq=x|Aq|Bq恒成立？（点c为直线ab恒过的定点），若存在，求出九的值；若不存在，请说明理由2、已知椭圆C:兰+21=1（ab0

17、）的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点a2b2重合，d1,3是椭圆C上的一点I2丿（1）求椭圆C的方程（2）设a,B分别是椭圆C的左右顶点，P,Q是椭圆C上异于A,B的两个动点，直线AP,AQ的斜率之积为-1，设APQ与BPQ的面积分别4为S,S，请问：是否存在常数X（XeR），使得S=九S恒成立？若存在,1212求出九的值，若不存在，请说明理由3、已知椭圆一l（ab0）经过点丿，离心率为入，左，右焦点分别为a2b22F（-c,0）和F（c,0）12（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（-4,0）作斜率为k（k主0）的直线l，交椭圆C于B,D两点（B在M,D之间），N为

18、BD中点，并设直线ON的斜率为k1证明：k-k为定值1是否存在实数k，使得FN丄AD?如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明1理由4、已知圆M：（+、：5）+y2-36，定点N（5,0），点P为圆M上的动点,点Q在NP上，点G在MP上，且满足NP2NQ,GQ-NP0（1）求点G的轨迹C的方程_（2）过点（2,0）作直线1,与曲线C交于A,B两点，O是坐标原点，设OS-OA+OB，是否存在这样的直线l，使得四边形OASB的对角线相等（即O芈|AB|）?若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由5、（2014，福建）已知双曲线E:兰-211（a0,b0）的两条渐近线分a2b2别为l:y2

19、x，l:y-2x12(1)求双曲线E的离心率如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线/,/于A,B两点(A,B12习题答案:1、解析：（1）e=na:b:c=2:J3:1a2椭圆过点P苗迈2丿+=1，再由a:b:c=2:富3:1解得：a=2,b=订3a24b2,椭圆方程为：宁+号=1直线上一点M(4,t)，依题意可(2)设切点坐标为A(x,y)直线上一点M(4,t)，依题意可得:两条切线方程为:罕+単=143，由切线均过M可得:XX+巧=143A(x,y),B(x,y)均在直线11223因为两点唯一确定一条直线AB:x+3-y=1，即过定点(1,0)，即点C的坐标为(1,0)3）AC+BC|=X

20、|AC3）AC+BC|=X|AC卜|BC|。九=AC+BCAC-BC11+ACBC联立方程：0,y01212+121212+1212,3X4，使得|AC+BCX|AC|-|BC|恒成立2、解析：抛物线y24X的焦点为(I,。).C-1依题意可知:19依题意可知:19+0解得：k21且x+x=,xx=64k2-324124k2+3124k2+3假设存在实数k，使得F1N丄AD，则k-k=-11FNAD即4k2x+16k2=(4k2-1)x+8k2-2nx=-2-8k2-2222因为D在椭圆上，所以xe-2,2，矛盾2所以不存在符合条件的直线l4、解析：由NP=2NQGQNP=0可得Q为PN的中点，且GQ丄PNGQ为PN的中垂线-PG=#NG点的轨迹是以M,N为焦点的椭圆，其半长轴长为a=3，