简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1、1010 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词.判断下列结论正误（在括号内打“鬼“X”）命题“5瞰52”是假命题.（）（2）命题,虢（p A q）是假命题，则命题p, q中至少有一个是真命题.（）（3）长方形的对角线相等”是特称命题.（）（4）?x0C M, p（x0）与？xCM, p（x）的真假性相反.（）.已知p： 2是偶数，q： 2是质数，则命题,虢p, B q, pVq, pAq中真命题的 个数为（）A.1B.2C.3D.4.命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是.已知命题 p： ?xo R, x2 + 4xo+60B.?xCR, x2 + 4x+60C.?xCR, x2+4x

2、+ 60D.?xCR, x2+4x + 60.已知命题p： f(x)= x3 ax的图象关于原点对称；命题 q： g(x) = xcos x的图象 关于y轴对称则下列命题为真命题的是()A柳 pB.qC.pA qD.pA 倒 q)冗 冗 . 若?x, m|b|,则a2b2;命题q： m, n是直线，a为平面，若 m / a, n? a,则m/n.下列命题为真命题的是（）A.pAqB.pA . q）C.（p）Aq D.俾 p）八倒 q）【训练11 （1）若命题pVq”与命题 税p”都是真命题，则（）A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题p是真命题，命题q是假命题D.命题

3、p是假命题，命题q是真命题 命题p：若向量a b1 ,命题 q： ?xCR, 2x+ 21 x = 2V2,则下列命23题中是真命题的是（）A.pA qB.(B p)Aq C.pA (B q) D.(p)八倒 q)【训练2】（角度1）命题？x0CR, 1f（x0）&2的否定形式是（）A.?xC R,1f(x) 2B.?x0CR, 12D.?xCR, f(x) &峨 f(x)21(2)(角度 2)已知命题 p： ?xCR, x + -?命题 q： ?xo (0, + 8)x0 x3,则下 x列命题中为真命题的是()A.(B p)AqB.pA 倒 q)C.(p)A(q)D.pA q 考点三由命题的

4、真假求参数 -典例迁移【例3】 已知命题p： ?xC0, 1, ax;命题q： ?xo R,使得x0 + 4x0 + a = 0”若命题pA q”是真命题，则实数a的取值范围为.一 . 一 一 .c1 x 一一一一一(经典母题)已知 f(x) = ln(x2+1), g(x)= 2 -m,若对？xiC0, 3, ?x2C1,2,使得f(xi)通(x2),则实数m的取值范围是.【迁移】 本例(2)中，若将？x2C 1, 2做为?x2 1 , 2”，其他条件不变，则 实数m的取值范围是.【训练3】 已知命题p： ?xCR, 2x0),若存在x1C0, 1及x2C0, 1,使得f(x1)=g(x2)

5、成立，求实数k的取值范围4、，-1 .一【例 3】已知函数 f(x) = x+x，g(x) = 2x + a,若？xiC /, 1 , ?x2C2, 3,使得 f(xi)啕(x2),则实数a的取值范围是 .思考1:在例3中，若把?x22, 3”变为?x2 2, 3”时，其它条件不变， 则a的取值范围是.问题 等价转化”为f(x)max&g(x)min,请读者完成.，一 ,，z1，z 1 ,思考2：在例3中，若将？xe 2, 1 ”改为？x1e 2，1 ,其它条件不变，则a的取值范围是.问题 等价转化”为f(x)min可(x)max,请读者自行求解.一、选择题.命题 p： ?x1, x210，则

6、 p为()A.?x1, x2-10 B.?x&L x2-11, x0- 1 0D.?x0&l x0- 1nB.?nC N*, f(n)? N*或 f(n)nC.?n0CN*, f(n。)？ N*且 f(n0)n。D.?n0CN*, f(n。)？ N*或 f(n0)n。.已知命题p： ?xCR, x2-x+1Q命题q：若a2vb2,则ax2, q： ab4”是a2, b2”的充分不必 要条件，则下列命题为真命题的是()A.pAqB.倒 p)AqC.pA 倒 q)D.(p)八倒 q)c1.已知命题？xC R, 4x2+(a 2)x + 100是假命题，则实数a的取值范围为()A.( 8, 0)B.

7、0, 4C.4, + 8)D.(0, 4).命题p：函数y= log2(x 2)的单调递增区间是1, + )命题q：函数y=311 的值域为(0, 1).下列命题是真命题的为()A.pAqB.pVqC.pA 倒 q)D翩 q.已知函数f(x) = a2x 2a+ 1.若命题？xC(0, 1), f(x)w说假命题，则实数a的 取值范围是()1 ,一- 1 1 A. 2，1B.(1 , 十 )C. 2, + 00 D. 2, 1 U (1 , + oo)二、填空题.若?x 0, 4 , tan x前 是真命题，则实数 m的最小值为.命题p的否定是对所有正数x , mx + 1”，则命题p可写为.

8、下列四个命题：p1：任意 xCR, 2x0; p2：存在 xCR, x2 + x+ 1Q p3：任 意xCR, sin xx2 + x+1.其中是真命题的为 .已知命题 p： ?x0CR, (m+1)(x0+1)&Q 命题 q： ?xCR, x2+mx+10 恒成立.若p A q为假命题，则实数m的取值范围为 .13命题？xC R, ?nC N*,使得n身2”的否定形式是()A.?xC R, ?nC N*,使得 nx2A.?xC R, ?nC N*,使得 nx2C.?xC R, ?n C N*,使得 nx2B.?xC R, ?nC N*,使得 nx2D.?xo R,?n C N*,使得 nsi

9、n x,则命题 pVq 为真C.命题 ？x0CR, xO+x0+10” 的否定是 ？xCR, x2 + x+10”D.命题 若乂 = 丫，则sin x=sin y”的逆否命题是真命题3x, xq给出下列两个命题：命题 p： ?mC( oo, 0),1万程f(x) = 0有解；命题q：若m=1,则甲(一1) = 0,那么，下列命题为真命题9的是 K序号).pAq；倒p)Aq；pA俾q);俾p)A倒q).16.已知命题p： ?xCR,不等式ax2+2x+10的解集为空集；命题 q： f(x) =(2a 5)x在R上满足f x02x - y ? 0表示的平面区域为 D.命题p： ?(x, y)CD,

10、 2x + y?命题q： ?(x, y)CD, 2x + y瞰52”是假命题.()(2)命题,虢(p A q)是假命题，则命题p, q中至少有一个是真命题.()(3)长方形的对角线相等”是特称命题.()(4)?xoC M, p(xo)与？xCM,印 p(x)的真假性相反.()解析(1)错误.命题pVq中，p, q有一真则真.(2)错误.pA q是真命题，则p, q都是真命题.错误.命题 长方形的对角线相等”是全称命题.答案(1) X (2) X (3) X (4) V.已知p： 2是偶数，q： 2是质数，则命题,虢p, B q, pVq, pAq中真命题的 个数为()A.1B.2C.3D.4解

11、析p和q显然都是真命题，所以 p,q都是假命题，pVq, pAq都是真命 题.答案B.命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是答案有些表面积相等的三棱锥体积不相等.已知命题 p： ?x0CR, x2 + 4xo+60B.?xCR, x2 + 4x+60C.?xCR, x2+4x + 60D.?xCR, x2+4x + 60解析依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.答案A.已知命题p： f(x)= x3 ax的图象关于原点对称；命题 q： g(x) = xcos x的图象 关于y轴对称则下列命题为真命题的是()A柳 pB.qC.pA qD.pA 倒 q)解析 根据题意，对于 f

12、(x) = x3ax,有 f(x) = ( x)3a( x)= (x3ax) = -f(x),为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g(x) = xcos x, g(x) = ( x)cos(x) = xcos x,为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，贝UB p为假命题，q为假命题，p A q为假命题，p A(虢q)为真命题. 答案D兀 兀 . 右?x - - , mtanx+2为真命题，则头数 m的取大值为.4 3解析由 xC 1 &tanx+20计6.4 3,九 7t. 4 r一 .: ？“ 一4，3，mtanx+ 2 为真命题，则 m|b|,则a2b2;命题q： m, n是

13、直线，a为平面，若m / a, n? a,则m/n.下列命题为真命题的是()A.pAqB.pA . q)C.(p)Aq D.俾 p)八倒 q)解析 (1)取 a=c=(1, 0), b=(0, 1),显然 a b=0, b c=0,但 a c= 1 wQ . . p 是假命题.又a, b, c是非零向量，由 a / b 知 a=xb(x R),由 b / c 知 b = yc(y R),a = xyc,a II cq 是真命题.综上知pV q是真命题，pA q是假命题.B p为真命题， q为假命题.微p)八倒q), p A倒q)都是假命题.(2)对于命题p,由a|b|两边平方，可得到 a2b2

14、,故命题p为真命题.对于命题 q,直线m / %但是m, n有可能是异面直线，故命题 q为假命题，,虢q为真命 题.所以pA倒q)为真命题.答案(1)A(2)B规律方法1. 6V q”、 pAq、 B p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词 或“且“非”含义的理解，其操作步骤是：(1)明确其构成形式；判断其中命题p, q的真假；(3)确定pVq p入q p”形式命题的真假.2.pAq形式是 假必假，全真才真，pVq形式是 真必真，全假才假”虢p 则是与p的真假相反:【训练11 (1)若命题pVq”与命题 税p”都是真命题，则()A.命题p与命题q都是真命题B.命题p与命题q都是假命题C.命题

15、p是真命题，命题q是假命题D.命题p是假命题，命题q是真命题 命题p：若向量a b0,则a与b的夹角为钝角；命题 q：若cos a cos B= 1, 则sin(a+ 9 = 0.下列命题为真命题的是()A.pB柳 qC.pA qD.pVq解析(1)因为 p为真命题，所以p为假命题，又pV q为真命题，所以q为真 命题.(2)当a, b方向相反时，a b11 ,命题 q： ?xCR, 2x+21 x =2 , 2,则下列命题中是真命题的是()A.p A qB.倒 p) A qC.pA 俾 q)D.倒 p)A 俾 q)解析(1)二.定义域为R的函数f(x)不是偶函数，. ？xCR, f(x)=f

16、(x)为假命 题，.？xo(R, f(x。)丑x。)为真命题.(2)因为 y= xn(n N*)在(。，+ oo上递增.?xCN*, 1 成立，p为真命题. 2 O又 2x + 21 x2x 21 x =2也1当且仅当2x = 2.x,即x = 2时，上式取等号，则q为真命题.因此pA q为真命题.答案(1)C (2)A规律方法1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改 写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.2.判定全称命题？xCM, p(x)”是真命题，需要对集合 M中的每一个元

17、素x,证 明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x = x。，使p(x。)成立即可.【训练2】(1)(角度1)命题？X0CR, 1f(x0)&2的否定形式是( A.?xC R, 1f(x) 2 B.?X0CR, 1f(xo) 2 D.?xC R, f(x) &或 f(x)21(2)(角度 2)已知命题 p： ?xCR, x + -?命题 q： ?xo (0, + 8)x0 x3,则下 x列命题中为真命题的是()A.询 p)AqB.pA 倒 q)C.俾 p)A 倒 q)D.pAq解析(1)特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为？xCR, f(x)&l或f(x)2对

18、于p：当x=1时，x+= 2, p为假命题.对于q：取x0C(0, 1),此 x时x2x3,. q为真命题.从而 p为真命题，(虢p) A q为真命题.答案(1)D (2)A考点三由命题的真假求参数川典例迁移【例 3】(1)已知命题 p： ?xC0, 1, ax;命题 q：?xo R,使得 x0 + 4x0+ a = 0”.若命题pA q”是真命题，则实数a的取值范围为.(2)(经典母题)已知 f(x) = ln(x2+1) , g(x)=2x m,若对？ x1C0, 3, ?x2C 1 , 2,使得f(x1)号(x2),则实数m的取值范围是 .解析(1)若命题pAq”是真命题，那么命题 p,

19、 q都是真命题.由？xC 0, 1, ax,得 a 由？x0CR,使 xO+4x0+a=0,得 A= 16 4aQ 则 a4 因此 e箱04则实数a的取值范围为e, 4.(2)当 xC0, 3时，f(x)min=f(0) = 0,一 一 一1当 xC1, 2时，g(x)min = g(2) = 4m，由 f(x)min 词(x)min ,得。金m，所以mg.-1答案(1)e, 4 (2) 4, 十00【迁移】本例(2)中，若将？x2C1, 2”改为？x2C1, 2”，其他条件不变，则 实数m的取值范围是.1解析 当 xC1, 2时，g(x)max = g(1) = 2m,对？x1C0, 3,

20、?x2C1, 2使得 f(x1)多(x2)等价于 f(x)min 用(x)max,得 0,m, m J.-1答案 2，+00规律方法 1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.全称命题可转化为恒成立问题.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.【训练3】 已知命题p： ?xCR, 2Kx,要使(p)Aq为真，所以 p与q同时为真.X2X2一 3得彳 2X 由1所以x(0D由 x2 = 2 x,得 x= 1 或 x = 2.由知x= 2.答案 D类型1形如 对任意xi A,者B

21、存在x2C B,使得g(x2)= f(xi)成立”的问题191【例 1】 已知函数 f(x) = x3+(1 a)x2 a(a + 2)x, g(x) = x-3,右对任息 x1 1, 1,总存在x2 0, 2,使得fx(1)+2ax1 = g(x2)成立，求实数a的取值范 围.1 一解 由题意知，g(x)在0, 2上的值域为一3, 6 .3令 h(x) = f x) + 2ax=3x2+2x a(a+2),则 h x0 = 6x + 2,由 h x) = 0 得 x = ；.3 TOC o 1-5 h z 当 x 1, -1 时，hx00,所以h(x)min = 3310-1h 3 a 2a

22、 3.h ( 1) 0 6又由题意可知，h(x)的值域是一1, 6的子集，所以一a22a：A333h (1)解得实数a的取值范围是 2, 0.思维升华 理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是 等价转化，即 函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包含 关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.类型2形如 存在x1 C A及x2 C B,使得f(x1)= g(x2)成立”的问题【例2】已知函数f(x) =2x【例2】已知函数f(x) =2x3x+ 11 , 11一3乂+6，xC 0, 2 ,函数 g(x) = ksin-6 2k +2(k0),若存在x

23、1C0, 1及x2C0, 1,使得f(x1) = g(x2)成立，求实数k的取值 范围.解 由题意，易得函数f(x)的值域为0, 1, g(x)的值域为22k, 2-3k ,并且 两个值域有公共部分.先求没有公共部分的情况，即 2-2k1或2 3k4,所以，要223使两个值域有公共部分，k的取值范围是1, 4 .2 3思维升华 本类问题的实质是 两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述 解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个存在”均改为 任意”，则 等价转化”策略是利用f(x)的值域和g(x)的值域相等”来求解参数的取值 范围.类型3形如 对任意xiC A,者B存在

24、X2C B,使得f(xi)g(x2)成立”的问题【例 3】 已知函数 f(x) = x+4, g(x) = 2X+a,若？xiC J 1 , ?X2C2, 3,使 TOC o 1-5 h z X2得f(xi)啕(x2),则实数a的取值范围是. 解析 依题意知f(x)max可(x)max.4, 1117.f(x)=x+x在 2, 1 上是减函数，；f(x)max=f 2 =万.又 g(x)=2x+a 在2, 3上是增函数，；g(x)max=8+a, 因此1270讣a,则ag.1答案 2，+00思维升华理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max1, x210，则 p为()A.?x1, x2-1

25、0 B.?x&l x2-11, x- 1 0D.?x0&l x2-11, x210，则 p 为：？x01, x0- 1 nB.?nCN*, f(n)? N*或 f(n) nC.? no) N*, f(n0)? N*且 f(n0)n0D.? n0 N*, f(n0)? N*或 f(n0)n0解析 V全称命题的否定为特称命题，该命题的否定是：？n0CN*, f(n。)？ N*或 f(n0)n0.答案 D.已知命题p： ?xCR, x2-x+1Q命题q：若a2b2,则a0恒成立，所以p为真命题，则 p为假命 题；当a=1, b= 2时，满足a2b2,但不满足ax2, q： ab4”是a2, b2”的

26、充分不必 要条件，则下列命题为真命题的是()A.pAqB.倒 p)AqC.pA 倒 q) D.俾 p)八倒 q)解析 当x = 2时，2x = x2,所以p是假命题；由a2, b2可以推出ab4；反之 不成立，例如a=2, b=4,所以ab4”是a2, b2”的必要不充分条件，故 q 是假命题；所以 俾p)A倒q)是真命题.答案D1.已知命题?xR, 4x2+(a-2)x+400是假命题，则实数a的取值范围为()A.( 8, 0)B.0, 4A.( 8, 0)B.0, 4C.4, +oo)D.(0, 4)1解析因为命题 ？xC R, 4x 实数a的取值范围是实数a的取值范围是2, 1 U(1,

27、 +8)c1?xCR, 4x2 + (a 2)x + 40 是真命题.1 c则 A= (a 2)2 4MX4 = a2-4a0,解得0a0,得 3x+ 11,所以 07x71 , 3 I1所以函数v= MT1的值域为(0，1)，故命题q为真命题. 3所以pA q为假命题，pV q为真命题，pA (海q)为假命题，,虢q为假命题.答案 B.已知函数f(x)=a2x 2a+1若命题？ x C (0, 1), f(x) w加假命题，则实数a的取值范围是()1.一 1 A. 2，1B.(1 , 十 0) C. 2, + 00 D. 2, 1 U (1 , + oo)解析二.函数 f(x)=a2x2a+

28、1,命题？xC(0, 1), f(x)w呢假命题，原命题的否定：?x0 (0, 1),使f(x0)=0”是真命题， .f(1)f(0)0,即(a22a+ 1)(-2a+1)0,解得 a2,且 aw答案D二、填空题.右?x 0, 4 , tan x的是真命题，则头数 m的取小值为.乙一，.兀 一，、-_、,一5r、一一解析 二,函数 y= tan x在0, 4上是增函数，；ymax = tan 4=1,依题息，m刊max，即m1 .：. m的最小值为1.答案1.命题p的否定是对所有正数x , Vxx + 1”，则命题p可写为 .解析 因为P是 P的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否

29、定 即可.答案 ？x0C(0, + ), yx00+ 1.下列四个命题：P1：任意 xCR, 2x0; P2：存在 xCR, x1JT.3取 x = - 2 时,cos1JT.3取 x = - 2 时,cos 2 cos 6=2，但 x2 + x+1=3f23,则 P4 为真.综上，P1, P4为真命题，P2, P3是假命题.答案P1, P412.已知命题 p： ?xo R, (m+1)(x0+1)&Q 命题 q： ?xCR, x2+mx+10恒成 立.若p A q为假命题，则实数m的取值范围为 .解析 由命题 p： ?xoCR, (m+1)(x0+1)&彳m m0 恒成立，即 A= m240,可得一2m2,若pAq为真命题，则2m0 1,因为pAq为假命题，所以m 1.意xCR, sin xx2 + x+1.其中是真命题的为 解析？ x C R, 2x0恒成立,p1是真命题.又 x2又 x2 + x+ 1 =o3- 4+21- 2+Xp2是假命题.33由sin 2兀= 12 万阳知p3是假命题.答案 2 U 答案 2 U ( 1, + oo).命题？xCR, ?nCN*,使得n改2”的否定形式是（）A.?xC R, ? nC N*,使得 nx万程f（x） = 0有解；命题q：若m=9,则甲（一万程f（x） =