数列通项公式的求解方法归纳

1、数列通项公式的解法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而 作为给出数列的一种形式一一通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公 式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适 当的变形，一边转化 为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。总结方法比做题更重要！方法产生于具体数学内容的学习过程中.1.直接法2.公式法3.归纳猜想法4.累加(乘)法5.取倒(对)数法6.迭代法7.待定系数法 8.特征根法9.不动点法10.换元法门.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法 一、

2、直接法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：(1) 9, 99, 999, 9999,.1-.(3) 1二、公式法利用等差数列或等比数列的定义求通项若已知数列的前项和$”与山的关系，求数列的通项可用公式Hl求解.IAT T心 2(注意：求完后一定要考虑合并通项)例2.已知数列的前打项和S”满足S” = 2 + (1) “ / 1求数列的通项公式.已知数列的前/?项和S “满足Sn =n2+n-，求数列afJ的通项公式.已知等比数列的首项5=1,公比0vgvl,设数列0”的通项为乞=%|+2,求数列的通项公式。三、归纳猜想法如果给出了数列的前

3、几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后 再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正而证明。例3.已知点的序列入（xniQneN旗中坷=0, x2 = a a 0），码是线段码的中点，人是线段的 中点，代是线段的中点，（1）写出心与兀_,心_2之间的关系式（”上3）。（2）设”二兀+|-耳，计算如卫2卫3，由此推测&”的通项公式，并加以证明。变式:设数列号 的前料项和为Sm且方程X2anXUn = 0有一根为$】一1, =1, 2, 3,（D求如，（II）心的通项公式.四、累加（乘）法对于形如勺中二5 + /（）型或形如勺小二三（n） an型的数列

4、，我们可以根据递推公式，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，=3,你=+“求通项例5.在数列%中,4 =1,4” =2匕(weTV*),求通项五、取倒(对)数法a.=“：这种类型一般是等式两边取对数佶转化为dP5+q，再利用待定系数法求解顷数列有形如/(心卫_虫心)=0的关系，可在等式两边同乘以一先求出上，再求得.心-一土竺一解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为8 =叫+q 0 g(n)ai+h(n)例6设数列满足a =2二GwN),求心 心+3例7、设正项数列满足4=1,心=2“二2)求数列简的通项公式变式：1已知数列

5、an满足：aj =-,且an=(n 2, n e N*)求通项22an-1+n12、若数列的递推公式为=3=L2(neN),求通项“3、 已知数列满足a =ji2时，a飞=2an求通项a”4、已知数列满足：严一凹一，绚=1,求通项s3% +15、若数列中，引二1, a”广上企用N求通项“心+ 2六、迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例&设为常数，且$ / 厂I 2 a(n为正整数)证明对任意nN ,=3 #(- 1)2n + (-1)a 2n a 0七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可 对递推式变换，转

6、化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系 数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。仁通过分解常数，可转化为特殊数列a+k的形式求解。一般地，形如a”产p a+q (p*1, pq#=O)型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设an+1 +k=p (an+k)与原式比较系数可得pk-k=q，即 k=-J从而得等”一1比数列a”+k。例9、数列a满足a产1, a”=(n2),求数列“的通项公式。练习、数列满足6二1,3陀+匕一7=0,求数列“的通项公式。2、已知数列满足5=1,且勺+=3勺+2,求你.2、递推式为g=pg+严(p、q为常

7、数)时，可同除，得殆=上耳+ 1,令bn=从而化归为q q qqs + q 5、q为常数)型Mio.已知数列满足=1,=3+ 2。心血 2).求心.3、形如如=pan + an + h (p 工 IQ a 工 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令l+x( + l) + y =劝+刃，与已知递推式比较，解出乂，从而转化为 +xn + y是公比为的等比数列。例 11:设数列an： a) =4,an = 3+ 2n -1,(n 2) 求心.变式:已知数列”中，5空、点52也在直线y=x上，其中n=l,2,3-.(I)令久=%-5 -3,求证数列您淀等比数列；(II)求数列倡的通项；

8、4、形如 an+i = pa + an2 +bn + c 1、0, a H 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构适等比数列，即令勺+i +x(/? + 1)2 +y(n + 1) + C = p(an +xiV + yn + c)与已 知递推式比较，解出x,y ,z.从而转化为an +劝2 + yn + C)是公比为p的等比数列。例 12：设数列： q = 4,an = 3a“_ + 2皿一l,(n2),求 a.递推公式为2 = U + (其中p, q均为常数)。先把原递推公式转化为。“+2 $+1 =”+1 so”)s + t = p其中s, t满足fst = -q例13:已物故列o片中*

9、 4右+ = %_ +二% *求。叶变式：1已知数列 %满足q =1心=3,+2 =3色+2”(料u(I)证明：数列+_是等比数列：(II)求数列气的通项公式：dll)若数列他满足4人4彼“4如“ 二(an +1)如(neN),证明bj是等差数列.2.知数列中.I *炎=2,心=亍1+：，七求3已知数列cij中Sn是其前门项和并且=4a+ 2(n = 1,2,),q = 1,设数列仇=%2勺0 = 12.)求证：数列乞是等比数列：设数列5=凯，( =12.)，求证：数列亿是等差数列：求数列的通项公式及前项和。2.八:特征根法。1、设已知数列他的项满足 二工=can + 其中cH0,cHl,求这

10、个数列的通项公式。作出一个方程x = cx + d.则当 x0 =a时,5为常数列，即勺二5;当无工5时,二仇+如，其中”是以0为公比的等比数列，即bn =业广叫=ax-xQ.对于由递推公式ait+2 = p& + q牛=a,a2 = p给出的数列方程F -/x-g = 0，叫做数列的特征方程。若兀，兀是特征方程的两个根，当州工心时，数列”的通项为其中A, B由& =a,g = 0决定(即把-，“，和”i，2,代入=Ax； + Bx得到关于A、B的方程组)；当小=心 时，数列的通项为”=(A + B)x，其中A, B由67, =a,a2=j3决定(即把ai,a2,xi,x2和“ =1,2,代入

11、气=(A + Bn)x,得到关于A、B的方程组)。例 14： (1)已知数列”满足 q =气a2 = , 3%2 5+i +2“” = 0(/z 0,/? e AA).求数列“的通项公式。九：不动点法，形如 =竺口S +/?解法：如果数列暂满足下列条件：己知的值且对于zzeN,都有勺出二户乩+ （其中p、4.八刃均为常数，ran + h且/必工甲工0,6工一 2）,那么，可作特征方程兀=竺，当特征方程有且仅有一根心时，则 ，是等差rrx + h数列;当特征方程有两个相异的根坷、山时，贝u ）也二1 （是等比数列。 .例15：已知数列“”满足性质：对于=工一4且5 =3,求的通项公式.2“” +

12、 3变式:数列” 满足 4 = 1 且 8+1 - 16an+l + 2a +5 = 0（n 1）.记仇=（n 1）.n“ 2（【）求仞、加、加、“4的值； （II ）求数列“的通项公式及数列也的前n项和S“:换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例16已知数列%满足+=（ 1 + 4匕+Jl + 24q） , q=l,求数列勺的通项公式。例17已知数列 “”满足二|/7+1十-。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例 1&已知数列%中，5=1：数列仇中，/?! = 0o n 2 时，=+(2一

13、+仇_), =*( % +2 仇_),求久十二周期型解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。，若d=则20的值为7c. y3 V32气(0 !)例19：若数列满足勺中2A-1,(1A1.求数列aH 的通项公式.已知数列a 的前项和S”满足S”=/?2+/?-1,求数列“” 的通项公式.已知等比数列倡的首项的二1，公比0v彳v 1,设数列K的通项为b = an+i + 5+2,求数列b的通项公式。解析：由题意，S+i=。”+2 + ”+3,又是等比数列，公比为 Q.如_二今上上凹故数列0”是等比数列,b严心+丸4 +耻9（4 + 1），*心+】+ ”+2b =q（q + ）.q=qn（q + ）

14、n三、归纳猜想法如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后 再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正而证明。例3.已知点的序列A（xn,O）,ne/V其中册=0,二a a 0）,禺是线段每的中点，人是线段4A的中点，心是线段A:-2An-的中点，（3） 写出与之间的关系式（心3）。 设a=xn+i-x，计算仆S由此推测”的通项公式，并加以证明。/ 、人、X + X解析：（1）v 4r是线段AZA的中点，：心二：心 n（7）2 3）乙X3 + X2猜想=(-) nia(n e TV*)，下而用数学归纳法证明21当n=l时，=a显然成

15、立：2假设n=k时命题成立，即纵二(一) -0伙wN*)21一)X + x|则 n=k+1 时，6/,+1 =兀+2 一兀和二二 7产-3 (耳+1 _ 兀)=_厅当 I匚k+1时命题也成立，命题对任意nwN都成立。变式:设数列cin的前n项和为S”,且方程X2anxan=0有一根为S“一 1, ”=1,2, 3, -(I)求5, 2；(lD &的通项公式，写出n取1到n时的所有的四、累加(乘)法对于形如勺泊二% + / ()型或形如勺小二f (n) ait型的数列，我们可以根据递推公式，递推关系式，然后将它们分别相加(或相乘)即可得到通项公式。例4.若在数列“中，6=3, %=” + “，求

16、通项“”。解析:由”+i = an +门得 an =n，所以an-an- =-h %_ , 2=n_2,，a2 a =1将以上各式相加得：an-a. = (/?-1) + (/?-2) + - + 1,又=3所以心二蛰上+ 3例 6.在数列”中，=1, % =24“ (mN)，求通项“”。解析：由已知也二 2”，企=2“，仝土 二2-2,.，A = 2,又 4=1,anan-an-25a n a所以心二工也zl.W)2 鼻 2 - 1 = 2 2五.取倒(对)数法a.g = “；这种类型一般是等式两边取对数后转化为gm，再利用待定系数法求解b、数列有形如/ (心“一虫心)=0的关系，可在等式两

17、边同乘以一，先求出上,再求得g(n)an +h(n)例6设数列 %满足一 一解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为+ 0=2、 = a,：(n e N),求. a +3W：原条件变形为aw+l - a+3-% 两边同乘以1 得 1 + 3 an叫+护&匕+片2x3 心一1解：两边取对数得：log/=l + 21og仇是以2为公比的等比数列，勺=log； +l = l.例7、设正项数列满足q=l,心=2“二(心2)求数列血的通项公式.齐，log? + l = 2(log； T + l),设 b”=log? + l,则 bn = 2bn乞=12时，勺1 一5=25.“求通项s -4、已知数

18、列满足：5二一口一 5=1,求通项s -3% +15、若数列% 中，引二1.二上一nGN+,求通项“a +2六*迭代法迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.例8、设日。为常数，且a =3 2 a(n为正整数)证明对任意nl ,a 尸3 + (-1)2r + (-1) n 2 3 a o证明：a n=3 n-1-2 a ，=3 一 2 (3 ”弋一 2 a n-c)=3 n_l-2 3 +2 2 (3 一 2 a “)=3 2 3 +2 2 3 2s (3 n -2 a=3 52 3 +2 = 3 3 -+(-1) A-2 ax+ (-1) n- 2 = a。(-1)c . 2a。前面的 n

19、项组成首项为3 ，公比为一的等比数列，这n项的和为：=3+ (-1) 一 2 a 尸3 =+ ( 1) 一 2(-1) R 2n七、待定系数法：求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可 对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数 法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。仁通过分解常数.可转化为特珠数列2)得 a” 一 2 二(&_ 2),而 a】一 2二 1 2 二一 L22数列 一 2是以才为公比，一1为首项的等比数列S 2 二一 (X)心 二 2 (-)心2说明

20、：通过对常数1的分解，进行适当组合，可得等比数列 62，从而达到解决问题的目的。练习、1数列牯满足6二1,3周+A-7=0,求数列“的通项公式。 TOC o 1-5 h z 17解：由 3 伽+勺-7=0 得%k 17设6小+ = ( +幻，比较系数得-k二一解得*二3 34717735 一是以为公比，以 =1-=-为首项的等比数列4 -r(4r,rlx(4r4, 02、已知数列满足5=1,且霍=3勺+2,求.解：设 mi +f = (a +t)9 则 a” =3an+2t=t = n+1 +1 = 3(an +1) = an +1 )是以a +1)为首项，以3为公比的等比数列= 心+1 =+

21、1) 3心=2 3心二 =2 3心-12、递推式为%产叫+严(p、q为常数)时，可同除q,得堀二仝与+ 1,令bn=L从而化归为q q q q a = pn +q (p、q 为常数)型.n 例 10.已知数列“满足 =1, a” =3+2% (n 2).求”.解：将心=3”+2%两边同除3”，得影十善Ln影=1 + |器设“二寻则仇=l + |Ai.令 bn-t =-0 =bn =+1/=23.条件可化成_3 =叽_3),数列倡一3是以a-3 =心-3 =-为首项，3二为公比的等比数列./7n-3=-x (-ri因叽台，3”333Q O.心 =br =y x(-yr +3)工=3廉-2宙.3、

22、形如“曲=/_+初 + /? (pH IQ a HO)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+l + x(n+1) + = p an + xn + y),与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为a + xn + y是公比为p的等比数列。例 11：设数列 a ： 4=4广” =3气_ + 2n 1, n 2),求 an.解：令勺+i + x(n +1) + y = 3(如 + xn + y)化简得：勺创=3务+ 2xn + 2y _ X2x = 2(x = 所以 by-* j 解得 b,所以+s+i)=3 (勺+”)又因为4+1 = 5,所以数列”+是以5为首项，3为公比的等比数

23、列。从而可得+斤=5 x 3，月以c = 5 x 3 1 -n终、点 5、2%+_qr)变式:已知数列中， 2在直线户x上，其中】匚123.令仇=如-心-3,求证数列0”淀等比数列；(II)求数列倡的通项；4、形如 an+i = pan + an2 + bn + c (p 工 l、0, a h 0)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an+i + x(n + 1尸+ y(n +1) + C = p(an + x庄+ yn + c),与 已知递推式比较，解出xyy，乙从而转化为an + x庄+ yn + c是公比为p的等比数列。例 12：设数列”：= 4,an = 3a_ + 2n

24、 l,(n2).求 a”.递推公式为n+2 = pa+i + qa (其中p, q均为常数)。s + t = p解法先把原递推公式转化为 st = -qsg = + w )其中 s, t 满足a2 二0给出的数列方程V2 - px-q=O，叫做数.列的特征方程。若，心是特征方程的两个根，当州工勺时，数列”的通项为”二加穿+ 其中A, B由a. =a,g = 0决定(即把aa2,x：tx2和 =1,2,代入an = Ax； + Bx,得到关于A、B的方程组)；当X1 =x2时，数列心的通项为=(A +劭)x，其中A, B由q=a42=0决定(即把d,“2，X,X2和=1,2,代入an = (A

25、+ , 得到关于A、B的方程组)。例 14： (1)已知数列” 满足 q = a,a2 = b,3a”+2 - 5”i + 2a = 0(/? 0,n e N).求数列的通项公式。解法一(待定系数一一迭加法)由 3。”+2 5”+i + 2a = 0,得5+2 _ ”+i = |( 加一 ”)，且一土 _ a。2则数列中一是以b_a为首项.为公比的等比数列，于是.得勺田一匕=(b-a)(： )T。把 =123, J 代入如-=(/?-)(-).2“4 -=(/?_)(:)，2an an- =( b_a)( m)J。把以上各式相加，得 TOC o 1-5 h z 22I扩押 _ | =(/，_)

26、 + + () +，, + ( ) = 。33i 二2 2.I气=3 3(_)心(b_a) + a = 3(a_”)(_)心+3b 2a 解法二(特征根法：这种方法一般不用于解答题)：数列 四：3%2 54 中+2 心=0 (nO,ne/V),气=a.a2 =b 的特2征方程是：3 人一 5% + 2 = 0。v X. =.xy =, 3o=A 中+ Bx=A + 3 G)z。又由5 = a.a2 =b 9于是A = 3b 2aBn 故仆 33(-叫)a = A + B 2 =b=A+-B3（2）.已知数列尸”满足：n+i =a -2,ne N，=4,求”. TOC o 1-5 h z 134

27、,311解：作力 IV X = X 2,则 Xo =，pI = 4 时，q H xq ,Z?j = G H = .3222数列“是以一上为公比的等比数列.3于是仇勺（一 I）”二耳（一 I）勺=-+b（-lr*,neN./r 13232 n 223九：不动点法，形如 =化匕叫+ h解法：如果数列心满足下列条件：已知的值且对于7ZGN,都有田=5 + / （其中八4、八力均为常数， ran + h且甲工0,6 H2),那么，可作特征方程兀二巳，当特征方程有且仅有一根X。时，则v r rx + h数列;当特征方程有两个相异的根、心时，贝9幺二巴例 是等比数列。15：已知数列满足性质：对于二:伯十4

28、且q =3,求心的通项公式.2勺+ 3变式:数列“” 满足 4 = 1 且 8%山“一 16a+i + 2+5 = 0(n 1).记仇二一 (n 1).(【)求氐心加、加的值；(II)求数列饥的通项公式及数列anbj的前n项和几:换元法：类比函数的值域的求法有三角代换和代数代换两种，目的是代换后出现的整体数列具有规律性。例16已知数列满足5+=(1 + 4an + Jl + 24%) , q=l.求数列气的通项公式。解：令b” = J1 + 24 ,则二右何一 1)故曲=24机-也代入小二石。+ 24 )得德 _1) = 1 + 4 上(慎T ) + 241624即4此二(仇+掰因为仇=J1

29、+ 24故仇+i = J1 + 24田2013则 2+1 =化 + 3 ,即 Z?,|+1 = 2气 + 2 可化为乞+ - 3 = 3),所以化一 3是以勺-3 = J1 + 24 -3 = Jl + 24xl-3 = 2为首项，以上为公比的等比数列，因此2bn-3 = 2(1)-=(严，贝U = (if2 + 3,即 JF7 页；= (*)1 严+3得2 111色二二(_)+(_)”+_。3 4 2 31 3评注：木题解题的关键是通过将J + 2他的换元为化使得所给递推关系式转化b,=-b+-形式，从而可知数列2 2 n仇一3为等比数列.进而求出数列仇一3的通项公式，昴后再求出数列的通项公式。7t7t,.,a = COS22-3n总之，求数列的通项公式.就是将已知数列转化成等差(或等比)数列，从而利用等差(或等比)数列的通项公7t=cos , a? = cos-6式求其通项。十-。双数列解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例18.已知数列%中，=1：数列中.也二0。当n2时，5 = *(2 勺“ + 八_1)，“二 + 2 勺 丁求心，bn解：因勺 + 二 * (2a”_i +bn_)+ 1 (勺一