扩展Dicke模型的量子相变

1、 TOC o 1-5 h z 3扩展Dicke模型的热力学极限性质 1 HYPERLINK l bookmark1 o Current Document 3.1正常相2 HYPERLINK l bookmark13 o Current Document 3.2超辐射相4 HYPERLINK l bookmark25 o Current Document 3.3相变讨论8 HYPERLINK l bookmark40 o Current Document 3.4系统量子纠缠和量子关联133扩展Dicke模型的热力学极限性质早在1954年Dicke23 提出7N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独

2、的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射。押个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原 子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态。由于原 子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以 忽略，但是可以形成相干自发辐射波。他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-radiance)。超辐射态是指原子集体激发的密度与N2 成比例，而不匙，原子是相干辐射的。这样，邸个两能级原子和单模玻色场相互作用的系 统叫做Dick e模型。这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量

3、子 点中的超辐射行为641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为66，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用。Dicke模型中原子看成是由N个相同但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的 上下能级差为V oDicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并且每个原子 的上下能级差为V。其中，第i个原子可以描述成一个自旋1；的算符Is；k = z,士，遵从 对易关系，s =s ；fjs，s = 2s。我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率 z 士 +z为的单

4、模玻色场发生作用，耦合强度为人，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成(3-1)H = lsi + a fa + 2= (a f + a)(si + si) + 云 si si+10 zn+- N z zi=1i=1i=i i=1这里h = 1，if,a是波色产生和湮灭算符，V为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合。原子-波色场相互作用项出现的kn因为是因为偶极子耦合强度最初与!?成比例，v是强场体积。强场里原子密度P = N/V，因此耦合强度正比于V ,带入相互作用项我们得到,/N因子。利用原子算符的集体算符形式，J sz;。三尤s：,这些算符遵从一般的角动量对易关 i=1i=1系j ,

5、 J =J ；【J，J = 2J。z 土 +z希尔伯特空间可以按照Dicke态j 1，J展开Dicke态是J 2和J的本征态：Jj,m=m|j,m,J21j,m=j(j+d|j,m。上升和下降算符作用在这 些态上得到：J| j,m = Jj(j +1)-m(m1)| j,m1)。j是Dicke态的“共同量子数”， 当N确定后，j取值为1;232L ,N2，我们选择j的最大值N/2。N个两能级原子系 统可以看成是一个N +1能级的系统，总的赝自选矢量长度j = N2。利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为入V T(3-2)H = J + ata + (at + a)(J + J ) + J2热力

6、学极限下，原子个数无穷N *，也就是说角动量j -8，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度七=也(气-v)/2会发生量子相变。为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个 有效哈密顿量H 1(H2)，一个H1描述正常相人七的系统，另一个H 2描述对称性破缺的 超辐射相入七。首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示J = btj2 j btb, J = J2 j btbb, J = btb j，并且玻色算符满足对易关系何,bt =1 o 将上述变化带入哈密顿量(3-2)，可以得到两类玻色子的哈密顿量H =(btb j) + ata + 人寸号(at + a)(bt ,1 t

7、j + .1 jb) + -N (btb j)2 (3-3)3.1正常相btb八l btb -通过对哈密顿量(3-3)中含J的项做简单的近似处理：因为0，所以令1 ：1-丁 1 o TOC o 1-5 h z 2 j2 J我们得到系统正常相的有效的哈密顿量H1H = Wat a + (一边 v)btb + 人(a t + a)(bt + b) + jv- j(3-4)10 N NN 0为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角化， 引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符:x = -(a t + a)x c时，他们满足非零宏观场。将上面的平移算符带AH-P变换的式子中，可以得到J = 4k。

8、只NP(),J =据(，Ed -N PM),(3-12)J = d t d 4N P (d t + d) + N P 2 j z其中根式为tE三、：1 dtd、村?/ + d)，并且k = 2 j Np 2。在热力学极限下将根式1 一 d t d-4NP (d t + d)巨按照1 j幂级数绽开至0(1N )，则 TOC o 1-5 h z kTAz1 d t d N O 八 N P 2(d ?+ d) 任 1 + - (d t + d)-2k2k8k 2将式子(3-12)代入哈密顿量(3-3)，这样我们得到了含有(ct + c)或者(dt + d)的双线性项的哈密顿量H = were + +

9、 2，弗 了攵 + 2v(P2 L)d?d20 k & N2-(2邓、k Naw)(cr + c)4人以1+-k. (j - N p 2)-yNw 0 p-2yN pv( p 2 - 2)(d ? + d)NX叫、旦(2k + Np2) + vp2(d? + d) NN (: 一 N p 2)(c ? + c)(d + d )+ 2k 2(3-13)J+(Np2 - j) + N以2-4N人以p ：攵+ N2(p2 -)202 j N 2现在用平移算符以,P将%波色算符的线性项消除掉，所以2 人。x/k -J N 以=0捋( j - n p 2)4N 0 p-24N 阮(p 2 - 2)= 0

10、(3-14)平庸解寸五=耶=0是满足正常相哈密顿量H1的解，这里对超辐射相有意义的解是p 2 = ；(1-二)2 u + v(3-15)4人2:4人2这里 u =，而且令 w =(1- p 2) = u (1- p 2)。w利用这些参量，获得了有效哈密顿量%H = wcrc + wd r d2u p 2(1- 1 p 2)+2+ vp 2(d ? + d)2(1-p 2)2人1八+(-p 2)(c? + c)(d + d)1 -p 2+Nw (p2 -：) + w以2 - 4人以p J1-p 2 + v(p 2 -1)2(3-16)为了促进这个双线性哈密顿量的对角化，我们引进如下定义的位置-动

11、量算符:X =-(cr + c)P = l -(cr -c). 0（3-25）现在讨论超辐射相下的临界值，所以我们得到了如下的图象2.01.51.00.50.0图3.1、J（一V）通过上面的图象3.1，我们可以知道当人 0一为我们的超辐射相。对于超辐射相，系统的基态能量是：gN =(P 2 - 2) + a2 一 4人ag J1一 g 2 + v( P 2 一 2)2（3-26）土一从基态能量出发，临界点也可以通过下面的方程组获得:，与式子（3.15）致。这样我们得到了一个二阶相变点婀气一c 23.3相变讨论热力学极限j T8下，系统用两个有效哈密顿量描述成两相，并给出激发态能量七。在图 3.

12、2中我们给出了激发态能量七关于原子相互作用v和耦合强度力的变化图象，依据无耦合 激发态的性质，上下两支分别对应“原子”与“声子”分支。从图3.2可以看到，耦合强度c.切（一v）接近于临界点七=一2时，声子模式的那一支激发态能量接近于0，即当人一七时，u + v )2。u + ve 。，表明存在量子相变。而七接近于 N 、:2 + ( V)2， S 1U2 + 2 UV(图3.2：激发态能量七关于原子相互作用v和耦合强度力的变化图象，V 是正常相的激发态能量，8?是超辐射相的激发态能量。在原子相互作用VJ E8X，二阶导数取不同的值时，基态能量EjN及其一阶导数合G讯2关于耦合强度人的变化如图3

13、.3,从左到右，原子相互作用V从1逐渐减小到-5。能量及其一阶导在七连续，而其二阶导数在七的非连续性表现了二级相变现象。需要特别说明的是，当V = 1时，因为临界耦合强度人c=。，这时能量二阶导还是连续的。(这.(-v)里相变点人= 一；这里避开了区域V里的特殊情况。并且当V 1时，因为利用 c 2.(-v)人= 一 无法解出实数相变点，所以没有去画出V 1这种情况下的图象。但是如 c 2(一+ v)果利用相变点人= 一力一的话就可以画出V 1时的图象)。c 2图3.3:基态能量EJN （蓝色线）及其一阶导数a eg /办（棕色线），二阶导数a 2 （黄色线）关于耦合强度力的变化图象，这里原子

14、相互作用V从1逐渐减小到-5。或者图3.3为了简单看出，也可以采用下面图3.31的图象，这里三条线分别对应v = 1,0, - 5。图 3.31在热力学极限下，平均玻色子数令，罗随耦合强度原子相互作用U变化的三维 图象，以及在原子相互作用取不同的值时，角动量土 :牛-2随耦合强阪变化的 图象我们在图3.4中也给出来了，从左到右，原子相互作用从1逐渐减小到-5。从图3.4我们可以看到，在临界点人处，角动量J ：N从-1,2突然增大到&2 -1，平均玻色子数 cz2如WN从0突然增大到a 2，出现相变现象。经过相变点之后人七，可以得到下面可观测量的解析结果J土21o 1f =一一 =P 2 - ；

15、N N22at a)N = a 2 = u P 2 疽1 P 2表格3.1是基态能量egn，平均玻色子数堂笋，角动量N的热力学极限解析分析结果。:,at a:不管是从图34还是表格3，都可以看出平均玻色子数.随随的增大是发散的，而角动J量卞随人的增大是收敛的，且收敛于0。图3.4：平均玻色子数数；随耦合强度度和原子相互作用变化的三维图象；原子相互作用腿不同的值时（从1逐渐减小到-5），角动量%=冬-2随耦合强度顷 化的图象。或者图3.4为了简单看出，也可以采用下面图3.41的图象，这里三条线分别对应V = 1,0, - 5。图 3.413.4系统量子纠缠和量子关联我们知道，量子纠缠和量子相变有

16、紧密关系，纠缠可以来探测量子相变【87】。对于多体系 统，量子态的纠缠是不容易表征的，Dicke多原子集体模型中，所有自旋完全一样，concurrence 更合适来表征两体纠缠，不依赖所选择的两个自旋。因此我们将讨论多原子与玻色场多体系 统中任意两个原子的量子纠缠-concurrence o 量子纠缠就是子系统之间的某种量子关联，它会影响强关联系统的物理性质，尤其是量子相 变。量子相变发生在零温时，这时系统处于基态，是一个纯态，其子系统之间的关联与量子 纠缠有很大的关系。量子纠缠是一种奇特的纯量子现象，反映了量子理论的本质一相干性， 空间非局域性，广泛应用于量子通信和量子计算中。从实验观测角度

17、来说，量子纠缠是测量 中体现的关联，这种关联具有相干性，是量子关联，不是经典关联。由于Dick e模型的N个自旋的对称性，所以任意两个自旋的约化密度矩阵在基矢空间400|01：,|10；,|11：；这里b 1 = 1G 0：=10。中总是可以表示成以下的X形式:ZZp =V+00yu *0（3-28）120y0I u00V N2 -2N + 4 J 2： 土4（N-1）J ：V =土4 N（N-1）其中矩阵元的具体表达式为:N 2 - 4J2）N（N-1）J 2 + J 2 ；- N 2y = - N （N -1）这里,a,b = AB + BA。= y ,对于 J a =+a =x,y,z

18、以,N (N JJ 2 + 1 o22)对于两自旋X形式的密度矩阵，量子关联QD是可以被解析求解的。按照陈庆虎的文章中的计算，我们可以推导出(3-28)式中约化密度矩阵的矩阵元:co = y = P 2 G P 2, =02 (1一 队)V =。4,+-p2)(3-29)按照陈庆虎文章中推导出的量子关联QD和经典纠缠C的表达式-(1 - P 2 )ln G - p 2)+ 202(1一 02)ln202 (_ 阮) p4 +G- p2D = -p2 In p2In p4 + ln2D = -p2 1np2-G-p2)ln(l-p2)-ln2+ ：(1 + M)ln(l + M)+(1 M)加(1 M)这里为了表述简单，我们将含有6 2的根式重写为：1)+1604。对于我们的扩展的Dicke模型，在图3.5中我们给出了量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一介导a(QD)/ax和C的一介导8(C)/办关于原子相互作用和耦合强度力的三维变化图象:图3.5:量子关联QD和经典纠缠C,以及QD的一介导3(QD)办和C的一介导8(C至办关于原子相互作用v和耦合